高等數(shù)學(xué)第六章5

1、 由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過程中有一個(gè)不變的力過程中有一個(gè)不變的力F作用在這物體上，且作用在這物體上，且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在物體移動(dòng)了距離物體移動(dòng)了距離s時(shí)，力時(shí)，力F對(duì)物體所作的功為對(duì)物體所作的功為sFW . 如如果果物物體體在在運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功例例 1 1 把把一一個(gè)個(gè)帶帶 q 電電量量的的點(diǎn)點(diǎn)電電荷荷放放在在 r 軸軸

2、上上坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)處處，它它產(chǎn)產(chǎn)生生一一個(gè)個(gè)電電場(chǎng)場(chǎng)這這個(gè)個(gè)電電場(chǎng)場(chǎng)對(duì)對(duì)周周圍圍的的電電荷荷有有作作用用力力由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道，如如果果一一個(gè)個(gè)單單位位正正電電荷荷放放在在這這個(gè)個(gè)電電場(chǎng)場(chǎng)中中距距離離原原點(diǎn)點(diǎn)為為 r 的的地地方方，那那么么電電場(chǎng)場(chǎng)對(duì)對(duì)它它的的作作用用力力的的大大小小為為 2rqkF （k是是常常數(shù)數(shù)） ，當(dāng)當(dāng)這這個(gè)個(gè)單單位位正正電電荷荷在在電電場(chǎng)場(chǎng)中中從從 ar 處處沿沿 r 軸軸移移動(dòng)動(dòng)到到 br 處處時(shí)時(shí)，計(jì)計(jì)算算電電場(chǎng)場(chǎng)力力 F 對(duì)對(duì)它它所所作作的的功功解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,drrr

3、,功元素功元素,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處drrkqwa 2 arkq1.akq 點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停例例 2 2 一圓柱形蓄水池一圓柱形蓄水池高為高為 5米，底半徑為米，底半徑為3 米，池內(nèi)盛滿了水米，池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoxdxx 取取x為為積積分分變變量量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,xoxdxx 5這一薄層水的重力為這

4、一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)解解 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖栌描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第相等，問第 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入

5、多少？次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？n設(shè)設(shè) 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘米厘米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n hhkxdxw0,22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n 由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道，在在水水深深為為h處處的的壓壓強(qiáng)強(qiáng)為為hp ，這這里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面積積為為A的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深為為h處處，那那么么，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力為為ApP 如果平板垂直放

6、置在水中，由于水深不同如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等，平板一側(cè)所受的水壓力不相等，平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思”思想想二、水壓力二、水壓力例例 4 4 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為設(shè)桶的底半徑為R，水的比重為，水的比重為 ，計(jì)算桶的一端面，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力上所受的壓力解解 在端面建立坐標(biāo)系如圖在端面建立坐標(biāo)系如圖xo取取x為為積積分分變變量量，, 0Rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx 小矩形片上各處的壓強(qiáng)

7、近小矩形片上各處的壓強(qiáng)近似相等似相等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxR ,xp 小小矩矩形形片片的的壓壓力力元元素素為為dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的壓壓力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 例例 5 5 將將直直角角邊邊各各為為a及及a2的的直直角角三三角角形形薄薄板板垂垂直直地地浸浸人人水水中中，斜斜邊邊朝朝下下，直直角角邊邊的的邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)與與水水面面平平行行，且且該該邊邊到到水水面面的的距距離離恰恰等等于于該該邊邊的的邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)，求求薄薄板板所所受受的的側(cè)側(cè)壓壓力力解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoa2a2a

8、面積微元面積微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道，質(zhì)質(zhì)量量分分別別為為21, mm相相距距為為r的的兩兩個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)間間的的引引力力的的大大小小為為221rmmkF ，其其中中k為為引引力力系系數(shù)數(shù)，引引力力的的方方向向沿沿著著兩兩質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的連連線線方方向向 如如果果要要計(jì)計(jì)算算一一根根細(xì)細(xì)棒棒對(duì)對(duì)一一個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力，那那么么，由由于于細(xì)細(xì)棒棒上上各各點(diǎn)點(diǎn)與與該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離是是變變化化的的，且且各各點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力方方向向也也是是變變化化的的，就就不不能能用用此此公公式式

9、計(jì)計(jì)算算三、引力三、引力例例 6 6 有一長(zhǎng)度為有一長(zhǎng)度為l、線密度為、線密度為 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)M，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力的引力2l2l xyoMa解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖取取y為為積積分分變變量量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為,dy rydyy 小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkd

10、Fx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？思考題解答思考題解答 該球面所受的總壓力方向向上（下

11、半球該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關(guān)球浸沒的深度無關(guān)一、一、 直徑為直徑為20厘米，高為厘米，高為80厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？體積縮小一半，問需要作多少功？二二、 一一物物體體按按規(guī)規(guī)律律3tcx 作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，媒

12、媒質(zhì)質(zhì)的的阻阻力力與與速速度度的的平平方方成成正正比比，計(jì)計(jì)算算物物體體由由0 x移移至至ax 時(shí)時(shí)，克克服服媒媒質(zhì)質(zhì)阻阻力力所所作作的的功功 . .三三、 有有一一等等腰腰梯梯形形閘閘門門，它它的的兩兩條條底底邊邊各各長(zhǎng)長(zhǎng)610 米米和和米米，高高為為20米米，較較長(zhǎng)長(zhǎng)的的底底邊邊與與水水面面相相齊齊. .計(jì)計(jì)算算閘閘門門的的一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力 . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面相切，入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一塊一塊a高

13、為高為 ，b底為底為的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄板每面所受的壓力板每面所受的壓力 . .六、六、 設(shè)有一半設(shè)有一半R徑為徑為，中心，中心 角角為為的圓弧形細(xì)棒，其的圓弧形細(xì)棒，其線密度為線密度為 常數(shù)常數(shù)，在圓心處有一質(zhì)，在圓心處有一質(zhì)的的量為量為 m質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)M點(diǎn)點(diǎn)的引力的引力 . .七七、 油油類類通通過過直直油油管管時(shí)時(shí)，中中間間流流速速大大，越越靠靠近近管管壁壁流流速速越越小小，實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)測(cè)測(cè)定定，某某處處的的流流與與速速 v流流處處到到管管子子中中心心的的距距之之間間離離 r有有關(guān)關(guān)系系式式)(22rakv , ,其其中中為比例為比例k常常數(shù)數(shù)，為為油油管管a半半徑徑. .求求通通過過油油管管的的流流量量 （注注： 當(dāng)當(dāng)流流速速為為常常量量時(shí)時(shí)， 流流量量 = = 流流