wl直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量

1、 新泰一中 王玲 新泰一中 王玲研究 從今天開(kāi)始從今天開(kāi)始, ,我們將進(jìn)一步來(lái)體會(huì)向量這一工我們將進(jìn)一步來(lái)體會(huì)向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用具在立體幾何中的應(yīng)用. .1.如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間中的位置如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間中的位置2.在空間中給一個(gè)定點(diǎn)在空間中給一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)定方向，和一個(gè)定方向，能確定一條直線(xiàn)在空間中的位置嗎？能確定一條直線(xiàn)在空間中的位置嗎？3.給定一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向，能確給定一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向，能確定一個(gè)平面在空間中的位置嗎？定一個(gè)平面在空間中的位置嗎？4.給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向，能確定一個(gè)給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向，能確定一個(gè)平面在空間中的位置嗎？平面在空間中的位置嗎？思考

2、思考一、點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置的向量表示一、點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置的向量表示點(diǎn)點(diǎn)OP基點(diǎn)基點(diǎn)空間中任意一點(diǎn)空間中任意一點(diǎn)P的的位置可用向量位置可用向量 表示表示 OP直線(xiàn)直線(xiàn)APla()APaR定點(diǎn)定點(diǎn)A和和 不僅可以確定不僅可以確定直線(xiàn)直線(xiàn)l的位置，還可以具體表的位置，還可以具體表示出示出l上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)P。a平面平面OP ab( ,)OPxayb x yR點(diǎn)點(diǎn)O和和 、 不僅可以確定平面不僅可以確定平面 的位置，還可以具體表示出的位置，還可以具體表示出 內(nèi)的任內(nèi)的任意一點(diǎn)意一點(diǎn)P。a b二、平面的法向量二、平面的法向量平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線(xiàn)段所

3、在直線(xiàn)垂的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)垂直于平面直于平面 ，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面 ,記作記作 ，如果如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n An l 給定一點(diǎn)給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量和一個(gè)向量 ,那么過(guò)點(diǎn)那么過(guò)點(diǎn)A,以向量以向量 為法向量的平面是完全確定的為法向量的平面是完全確定的.n n 幾點(diǎn)注意：幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 是是 與平面平行或在平面內(nèi)，則有與平面平行或在平面內(nèi)，則有0n

4、 m n m 由兩個(gè)三元一次方程由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是組成的方程組的解是不惟一的，為方便起不惟一的，為方便起見(jiàn)，取見(jiàn)，取z=1z=1較合理。較合理。其實(shí)平面的法向量不其實(shí)平面的法向量不是惟一的。是惟一的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設(shè)平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 則，（ ， ， ）， （ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，）問(wèn)題：如何求平面的

5、法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線(xiàn)的找出（求出）平面內(nèi)的111222(3), ,0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根據(jù)據(jù)法法向向量量的的定定義義建建立立關(guān)關(guān)于于的的方方程程組組個(gè)解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟一，合理取值即合理取值即可。可。例例3. 3. 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) 點(diǎn)點(diǎn) ，平面，平面 的法向量為的法向量為 ， 為平面為平面 內(nèi)任意一點(diǎn)，求內(nèi)任意一點(diǎn)，求 滿(mǎn)足的關(guān)系式。滿(mǎn)足的

6、關(guān)系式。),(000zyxP),(CBAe ),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz ，解：由題意可得解：由題意可得 0 PMe000(,) (,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得： 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線(xiàn)和因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線(xiàn)和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線(xiàn)的平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量表示空間直線(xiàn)、平方向向量與平面的法向量表示空間直線(xiàn)、平面間的面間的平行、垂直、夾角平行、垂直、夾角等位置關(guān)系等位置關(guān)系. . 那么如何用直線(xiàn)的方向向量表示空間那么如何用直線(xiàn)的方向向量表

7、示空間兩直線(xiàn)平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之兩直線(xiàn)平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小呢？二面角的大小呢？線(xiàn)線(xiàn)面面平平行行 面面面面平平行行 三、平行關(guān)系：三、平行關(guān)系：111222(,),(,),lea b cna b c設(shè)直線(xiàn) 的方向向量為平面 的法向量為則121 21 2/00;lena abbc cABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例4 4 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面

8、互相垂直，點(diǎn)所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在對(duì)角線(xiàn)分別在對(duì)角線(xiàn)上，且上，且求證：求證：ABCDEFxyzMN), 0 ,2(caBMABNANM)0 ,3 , 0(bAD 0NM AD 由NMAD得到簡(jiǎn)證：因?yàn)榫匦魏?jiǎn)證：因?yàn)榫匦蜛BCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 為正交為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)設(shè)AB,AD,AF長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為3a，3b，3c，AB AD AF ， ，則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有又平面又平面CDECDE的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是因?yàn)橐驗(yàn)镸N不在平

9、面不在平面CDE內(nèi)內(nèi)所以所以MN/平面平面CDE四、垂直關(guān)系：四、垂直關(guān)系：111222222,0, /abca b cenabc當(dāng)時(shí)111222(,),(,),ea b cna b c若則121212/,.lenenaa bb ccA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：中點(diǎn)，求證：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方體在正方體中，中，E、F分別是分別是BB1,1,，平面平面ADE 證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1， 為單位正交為單位正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：則可得：1,DADCDD 以以， 1(1,0,0)(

10、1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 又又因因?yàn)闉?0n DAn DE 則則由由，得得 所以所以1D FADE 平平面面ADEnxyz 設(shè)設(shè)平平面面的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量為為 =(=( ， ， ) )000102xxyz 12xyz 則則 =0=0，不不妨妨取取，得得01 -2n 所所以以 =(=( ， ， ) )/1D F n 所所以以還有其他方法嗎？還有其他方法嗎？如何用向量法求點(diǎn)到平面的距離如何用向量法求點(diǎn)到平面的距離：思考題分析思考題分析 n A P O 詳細(xì)答案詳細(xì)答案DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG

11、 ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyz 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 1答案答案2答案答案APDCBMN2.(2.(課本第課本第116116頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)2)2)如圖，如圖，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線(xiàn)直線(xiàn)ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直ABAB，已，已知知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長(zhǎng)的長(zhǎng). . BACD 解：如圖解：如圖, ,以以D D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D Dxyzxyz 則則D(0

12、,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aa2aaaDMPNAxCBzy2.2.如圖，如圖，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點(diǎn)，直線(xiàn)兩點(diǎn)，直線(xiàn)ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直ABAB，已知已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長(zhǎng)的長(zhǎng). . BACD 鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)設(shè) 分別是直線(xiàn)分別是直線(xiàn)l1,l2的方向向量的方向向量,根據(jù)下根據(jù)下 列條件列條

13、件,判斷判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系的位置關(guān)系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據(jù)根據(jù) 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關(guān)系的位置關(guān)系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交1、設(shè)平面、設(shè)平面 的法向量為的法向量為(1,2

14、,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),若若 ，則，則k= ；若；若 則則 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量為的方向向量為(2,m,1)，平面，平面的法向量為的法向量為(1,1/2,2),則則m= .3、若、若 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面 的法向量為的法向量為(1,1/2,2),且且 ，則，則m= .鞏固性訓(xùn)練3/llll1如圖，正方體如圖，正方體 中，中， E為為 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 證明：證明： /平面平面AECDCBAABCDDD DB DABA BCCDE2 2、在正方體、在正方體AC 中，中，E、F、G、P、 Q、R分別是所在棱分別是所