小波變換與信號的分解重構(gòu)

1、( )( )cossin( )21( ) cossin2iwtF wf x edtwtiwtf xdtf xwtiwt dti( , )()etatt a21/4() 2cos(5 )tgtet22() cos(2) cosf tttt21/4() 2cos(5 )l st ksTgctet22( )( )/( )gctgc tgc t( )( )2()G wH t gc tdt22,( )( )( )( )( )( )( )1( ),;0Ra btL RF wF wF wCdwwtttbta bRaaa設(shè)，其傅立葉變換為，若滿足容許條件（完全重構(gòu)條件/恒等分辨條件）：則稱為一個基本小波或母小

2、波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得：2,2( )( )1( , ),( )11( )( , )fa bRff tL RtbW a bff tdtaatbf tW a bdadbCaa 對任意函數(shù)的連續(xù)小波變換為：其重構(gòu)公式（逆變換）為： ,2( )( )( )( )( )(0)0( )(2),0a bjtttt dtF wF wFt dtF wAFwBAB由于基本小波生成的小波序列在小波變換中對被分析信號起著觀察窗的作用，故還應(yīng)滿足一般函數(shù)的約束條件：故是一個連續(xù)函數(shù)，這意味著為了滿足完全重構(gòu)條件，在原點要等于零，即：為使信號重構(gòu)的實現(xiàn)在數(shù)值上穩(wěn)定，還要求滿足穩(wěn)定性條件：*2( )( )( )( )

3、(2)jjttFwF wFw若小波滿足穩(wěn)定性條件，則定義一個對偶小波，其傅立葉變換為：可見，穩(wěn)定性條件實際上是對分母的約束條件，保證對偶小波的傅立葉變換存在。一個小波的對偶小波一般并不唯一，而實際應(yīng)用卻希望一個小波具有唯一的對偶小波。尋找這樣的小波是小波分析的基本問題之一。( )( , )()( ,)( )( , )( )1(,)fffff tW a bf tW a bf tW a bf ctW ca cbcab（1）線性：一個多分量信號的小波變換等于各分量的小波變換之和；（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為；（3）伸縮共變性：若的小波變換為，則的小波變換為；（4）自相似性：對應(yīng)不

4、同尺度參數(shù) 和不同平移參數(shù) 的連續(xù)小波之間是自相似的；（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余。11 211 211 2( , )( )d( )d( )ddkfkkkkkkkktbW a bf t atatbf k atatbtbaf kttaa 221121000( )( ),0( )( )(2 ),( )(),() |jj Zjjjjjj Zj ZjjLRVLRMRAVVVjZVVLRf xVfxVjZf xVf xkVkZRieszgVg xk 空間中一列閉子空間稱為的一個多分辨分析（），若該序列滿足下列條件：（1）單調(diào)性：；（2）逼近性：，；（3）伸縮性：；（4）平移不變性：；（

5、5）基存在性：存在，使011jjjjjkZVRieszVVVVW構(gòu)成的基。多分辨分析是由一個尺度函數(shù)建立起來的，故多分辨分析的建立等價于尋找尺度函數(shù)在多分辨分析的框架下的性質(zhì)。下面根據(jù)以及建立尺度函數(shù)方程的關(guān)系式。 121,22( )(2)2( ) (2)(2)(2)22( )2(2)jj Zkk Zkjjklk Zjlkljkk ZjjjkVxhxkhxxkdxxlhxkhxxk設(shè)是一個具有尺度函數(shù) 的正交多分辨分析，則下列尺度關(guān)系式成立：其中，等價于： 22121( )( )(2)( )( )(2)( )( )( 1)2(2)( )jkj Zkk Zkk Zkkkjjjk ZjjjjjVt

6、MRAhlxhxkxxgxkxL RghWspanxkWWjjWVWx 設(shè),是一個正交，則存在使得下面的雙尺度方程成立，且利用尺度函數(shù)構(gòu)造函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的正交基，其中當(dāng)時，。上述定義的函數(shù)稱為小波函數(shù)。11112222jjjjjjjjH fH ffHfDf（1）基本思想設(shè)為能量有限信號在分辨率 下的近似，則可進一步分解為 在分辨率下的近似以及位于分辨率與 之間的細節(jié)之和，其分解過程如下所示： 21,21,1111111122( )2( )2( )( )kkmnjnj mmnjnj mjjjjjkjkkkjjkjkkjjjkkkhghgHf xaxkDf xdxkH f xaxaad（2）引理雙尺度方程中系數(shù)、可通過內(nèi)積來計算。（3）信號分解重構(gòu)設(shè)則信號分解與重構(gòu)變?yōu)閷ふ蚁禂?shù) 、與之間的關(guān)系