四年級奧數(shù)-容斥問題

1、 容斥問題容斥問題主講：劉文峰主講：劉文峰專題簡析：專題簡析：容斥問題涉及到一個重要原理包含與排除原理，也叫容斥原理。即當兩個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標準，按性質a分類與性質b分類（如圖），那么具有性質a或性質b的事物的個數(shù)=NaNbNab。NabNbNa例1 、一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學作業(yè)？請舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)。 分析 解答：完成語文作業(yè)的有37人，完成

2、數(shù)學作業(yè)的有42人，一共有：3742=79人人，多于全班人數(shù)。這是因為語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數(shù)時算過一次，在統(tǒng)計做完數(shù)學作業(yè)的人數(shù)時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有：7948=31人。人。 練練 習習 一一1，五年級有，五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試，每名學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有優(yōu)秀的有65人，數(shù)學優(yōu)秀的有人，數(shù)學優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？都優(yōu)秀的有多少人？2，四年級一班有，四年級一班有54人，訂閱人，訂

3、閱小學生優(yōu)秀作文小學生優(yōu)秀作文和和數(shù)學大世界數(shù)學大世界兩種讀物的有兩種讀物的有13人，訂人，訂小學小學生優(yōu)秀作文生優(yōu)秀作文的有的有45人，每人至少訂一種讀物，人，每人至少訂一種讀物，訂訂數(shù)學大世界數(shù)學大世界的有多少人？的有多少人？3，學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知，學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有會拉手風琴的有24人，會彈電子琴的有人，會彈電子琴的有17人，其人，其中兩種樂器都會演奏的有中兩種樂器都會演奏的有8人。這個文藝組一共人。這個文藝組一共有多少人？有多少人？例2 、某班有36個同學在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人

4、。問多少個同學兩題都答得不對？分析 與解答：已知答對第一題的有25人，兩題都答對的有15人，可以求出只答對第一題的有：2515=10人。人。又已知答對第二題的有23人，用只答對第一題的人數(shù)，加上答對第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對的人數(shù)：1023=33人。人。所以，兩題都答得不對的有：3633=3人。人。 練 習 二1，五（1）班有40個學生，其中25人參加數(shù)學小組，23人參加科技小組，有19人兩個小組都參加了。那么，有多少人兩個小組都沒有參加？2，一個班有55名學生，訂閱小學生數(shù)學報的有32人，訂閱中國少年報的有29人，兩種報紙都訂閱的有25人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？3，某校選出50

5、名學生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學比賽，結果3人兩項比賽都獲獎了，有27人兩項比賽都沒有獲獎。已知作文比賽獲獎的有14人，問數(shù)學比賽獲獎的有多少人？例例3、某班有某班有56人，參加語文人，參加語文競賽的有競賽的有28人，參加數(shù)學競人，參加數(shù)學競賽的有賽的有27人，如果兩科都沒人，如果兩科都沒有參加的有有參加的有25人，那么同時人，那么同時參加語文、數(shù)學兩科競賽的參加語文、數(shù)學兩科競賽的有多少人？有多少人？分析分析 、要求兩科競賽同時參加的人數(shù)，應先求出至少參加一科競賽的人數(shù)：5625=31人，人，再求兩科競賽同時參加的人數(shù)：282731=24人。 練練 習習 三三1，一個旅行社有，一個旅行社有36人，

6、其中會英語的有人，其中會英語的有24人，會法人，會法語的有語的有18人，兩樣都不會的有人，兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多人。兩樣都會的有多少人？少人？2，一個俱樂部有，一個俱樂部有103人，其中會下中國象棋的有人，其中會下中國象棋的有69人，人，會下國際象棋的有會下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有人，這兩種棋都不會下的有12人。人。問這兩種棋都會下的有多少人？問這兩種棋都會下的有多少人？3，三年級一班參加合唱隊的有，三年級一班參加合唱隊的有40人，參加舞蹈隊的人，參加舞蹈隊的有有20人，既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有人，既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有14人。這兩人。這兩隊都沒有參加的有

7、隊都沒有參加的有10人。請算一算，這個班共有多少人。請算一算，這個班共有多少人？人？例4、在1到100的自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？分析：從1到100的自然數(shù)中，減去5或6的倍數(shù)的個數(shù)。從1到100的自然數(shù)中，5的倍數(shù)有1005=20個，6的倍數(shù)有16個（1006=164），其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個（10030=310）。因此，是6或5的倍數(shù)的個數(shù)是16203=33個，既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：10033=67個。 練練 習習 四四1，在1到200的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個？2，在1到130

8、的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？3，五（1）班做廣播操，全班排成4行，每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個，從后面數(shù)第8個。這個班共有多少個學生？例5 、光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？分析 ：由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數(shù)，22幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數(shù)。2422=46幅，這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六兩個年級共參展的10

9、幅作品，即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數(shù)，再除以2，即可求出其他年級參展作品的總數(shù)。（242210）2=18幅。 練練 習習 五五1，科技節(jié)那天，學校的科技室里展出了每個年級，科技節(jié)那天，學校的科技室里展出了每個年級學生的科技作品，其中有學生的科技作品，其中有110件不是一年級的，有件不是一年級的，有100件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有32件。其他年級參展的作品共有多少件？件。其他年級參展的作品共有多少件？2，六（，六（1）兒童節(jié)那天，學校的畫廊里展出了每個）兒童節(jié)那天，學校的畫廊里展出了每個年級學生的圖畫作品，其中有年級學生的圖畫作品，其中有25幅畫不是三年級的，幅畫不是三年級的，有有19幅畫不是四年級的，三、四兩個年級參展的畫幅畫不是四年級的，三、四兩個年級參展的畫共有共有8幅。其他年級參展的畫共有多少幅？幅。其他年級參展的畫共有多少幅？3，實驗小學舉辦學生書法展，學校的櫥窗里展出，實驗小學舉辦學生書法展，學校的櫥窗里展出每個年級學生的書法作品，其中有每個年級學生的書法作品，其中有28幅不是五年級幅不是五年級的，有的，有24幅不是六年級的，