汽車制動距離問題

1、汽車制動距離問題Pollution and Purification of river water 匯報人： LISTEN FOR ME 建模小組出品/ 必屬精品 一、一、問題重述：問題重述：制動距離是衡量一款車的制動性能的關(guān)鍵性參數(shù)之一，它的意思就是人們在車輛處于某一時速的情況下，從開始制動到汽車完全靜止時，車輛所開過的路程。是汽車在一定的初速度下，從駕駛員急踩制動踏板開始，到汽車完全停住為止所駛過的距離。 通過對汽車制動距離問題的分析，我們可以更好的知道汽車速度的情況，這在實際生活中也有非常大的用處，正確掌握汽車制動距離對保障行車安全起著十分重要的作用。下表是一份國外某高速公路關(guān)于制動距離

2、的統(tǒng)計表。速度（mph）反應(yīng)距離（ft） 制動距離（ft）總制動距離（ft）202218-2240-44252825-3153-59303336-4569-78353947-5886-97404464-80108-124455082-103132-1535055105-131160-1865561132-165193-2266066162-202228-2686572192-245268-3177077237-295314-3727583283-353366-4368088334-418422-506 建模小組出品/ 必屬精品 問題1：建立總制動距離與汽車行駛速度的關(guān)系式。問題3：能否給出不同

3、速度下汽車行駛間隔建議。要求：建立上述問題的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)軟件要求：建立上述問題的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)軟件Lingo求解，參照數(shù)學(xué)建模論文模版寫成論求解，參照數(shù)學(xué)建模論文模版寫成論文的格式，要求有標(biāo)題、摘要、問題重述、符號說明、基本假設(shè)、問題分析、模型建立，模文的格式，要求有標(biāo)題、摘要、問題重述、符號說明、基本假設(shè)、問題分析、模型建立，模型求解等模塊。在型求解等模塊。在6月月1日之前將完成的論文發(fā)送到郵箱：日之前將完成的論文發(fā)送到郵箱：andyw_ , 打印并上打印并上交完成的論文。各小組做好交完成的論文。各小組做好PPT，準(zhǔn)備在，準(zhǔn)備在6月月1日作報告，闡述模型建立的過程和得到的結(jié)果。日作

4、報告，闡述模型建立的過程和得到的結(jié)果。 問題2：現(xiàn)有兩種汽車行駛間隔的建議：一種認(rèn)為速度每提高10mph，汽車的間隔就要提 高15ft。另一種認(rèn)為，汽車的間隔只需要保持在以汽車現(xiàn)時速度行駛2秒的距離以內(nèi)。試用（1）所建立的數(shù)學(xué)模型來研究上述兩種建議的可行性。 建模小組出品 / 必屬精品 二、二、問題假設(shè)：問題假設(shè)：二、模型的假設(shè)二、模型的假設(shè)1. 制動距離與制動器作用力、車重、車速、輪胎類型、道路、氣候等因素有關(guān)，所以我們假定在一定條件下,制動器的性能正常，道路、氣候看成是不變的2.司機(jī)踩下剎車后，輪胎為絕對靜止3.汽車在平直公路上行駛剎車過程中沒有改變行駛方向4.汽車在反應(yīng)階段做勻速運動，在

5、制動階段做勻減速運動，加速度只與輪胎類型及當(dāng)?shù)刂亓铀俣扔嘘P(guān)5.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作的功等于汽車動能的改變，且F與車的質(zhì)量m成正比6.車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動距離d2的和7.摩擦系數(shù)不變我們經(jīng)過自己的考慮，認(rèn)為問題1汽車的剎車距離有以下幾種情況：當(dāng)然這是一個很復(fù)雜的問題，下面我們考慮一種較為簡單的情況：我們忽略掉了環(huán)境對汽車行駛的各種影響，制動距離與制動器作用力、車重、車速、輪胎類型、道路、氣候等因素有關(guān)所以我們假定在一定條件下,制動器的性能正常，道路、氣候看成是不變的。假定人的反應(yīng)相同情況假定人的反應(yīng)相同情況發(fā)現(xiàn)情況發(fā)現(xiàn)情況開始剎車開始剎車汽車停止汽車停止剎車距離剎車距離 建模

6、小組出品 / 必屬精品 由于總的剎車距離等于反應(yīng)的距離加剎車的距離可知：D=d1+d2三、三、模型分析、建立與求解：模型分析、建立與求解：根據(jù)反應(yīng)距離等于反應(yīng)時間乘以車速可知：d1=v*t根據(jù)公式末速度的平方減去初速的平方等于2乘以加速度乘以剎車的距離：v-v1=2ad2可知：d2=(-v)/(2*a)根據(jù)公式摩擦力等于乘以物體對地面的壓力，且由題意可知汽車對地面的壓力等于汽車的重力且汽車剎車后的加速度方向與行駛速度相反可知：f=-*F F=m*g即f=-*m*g根據(jù)公式加速度等于一個方向的力除以物體的質(zhì)量可知：a=f/m即a=-*g結(jié)合以上內(nèi)容可得：D=v*t+v/2*g 建模小組出品 /

7、必屬精品 三、三、模型分析、建立與求解：模型分析、建立與求解：由上述可知= 2.27則總制動距離與速度關(guān)系為：D=0.75*v+v/45.4問題問題1根據(jù)題目提供的表格可知反應(yīng)時間t接近0.75秒，所以秒，所以t取取0.75秒。秒。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣热?0米/（秒）由模型的建立中的d2=(-v)/(2*a)和a=-*g可知：= v/(2*g*d2)速度（mph）速度速度（英尺（英尺/秒）秒）反應(yīng)距離（ft）制動距離（ft）總制動距離（ft）2029.342218-2240-442536.6752825-3153-593044.013336-4569-783551.3453947-5886-974

8、058.684464-80108-1244566.0155082-103132-1535073.3555105-131160-1865580.68561132-165193-2266088.0266162-202228-2686595.35572192-245268-31770102.6977237-295314-37275110.02583283-353366-43680117.3688334-418422-506 建模小組出品 / 必屬精品 三、三、模型分析、建立與求解：模型分析、建立與求解：問題問題2 現(xiàn)有兩種汽車行駛間隔的建議：一種認(rèn)為速度每提高10mph，汽車的間隔就要提高15ft。

9、另一種認(rèn)為，汽車的間隔只需要保持在以汽車現(xiàn)時速度行駛2秒的距離以內(nèi)。試用（1）所建立的數(shù)學(xué)模型來研究上述兩種建議的可行性。想法想法2：汽車的間隔只需要保持在以汽車現(xiàn)時速度行駛2秒的距離以內(nèi)。想法想法1：速度每提高10mph，汽車的間隔就要提高15ft。即速度每提高14.7英尺每秒，汽車的間隔就要提高15。 建模小組出品 / 必屬精品 三、三、模型分析、建立與求解：模型分析、建立與求解：想法想法1：速度每提高10mph，汽車的間隔就要提高15ft，即速度每提高14.7英尺每秒，汽車的間隔就要提高15ft。將問題將問題1中得到的總制動距離與速度的關(guān)系式中得到的總制動距離與速度的關(guān)系式MATLAB作

10、圖所得圖為：作圖所得圖為：由上圖可得出速由上圖可得出速度每提升度每提升14.7英英尺每秒，汽車的尺每秒，汽車的間隔并不是僅僅間隔并不是僅僅提高提高15.8ft，故，故而想法而想法1不成立不成立 建模小組出品 / 必屬精品 三、三、模型分析、建立與求解：模型分析、建立與求解：想法想法2：汽車的間隔只需要保持在以汽車現(xiàn)時速度行駛2秒的距離以內(nèi)。將問題將問題1中得到的總制動距離與速度的關(guān)系式（即中得到的總制動距離與速度的關(guān)系式（即D=0.75*v+v/45.4）和汽車行駛）和汽車行駛2秒的距離和汽車的速度的關(guān)系（即秒的距離和汽車的速度的關(guān)系（即d=2*v）作圖：所得圖為：）作圖：所得圖為： 建模小組

11、出品 / 必屬精品 想法想法2：汽車的間隔只需要保持在以汽車現(xiàn)時速度行駛2秒的距離以內(nèi)。其中綠色的線為其中綠色的線為d=2*v 藍(lán)色線條為藍(lán)色線條為D=0.75*v+v/45.4由上圖比較得出當(dāng)汽車行駛速度小于56.89英尺每秒時汽車按初始速度行駛2秒的的距離大于汽車行駛中發(fā)現(xiàn)情況到踩下剎車再到汽車停止的距離，當(dāng)汽車行駛速度大于56.89英尺每秒時汽車按初始速度行駛2秒的的距離小于汽車行駛中發(fā)現(xiàn)情況到踩下剎車再到汽車停止的距離。所以可知當(dāng)汽車行駛速度小于56.89英尺每秒時想法2成立，當(dāng)汽車行駛速度大于56.89英尺每秒時想法2不成立。 建模小組出品 / 必屬精品 三、三、模型分析、建立與求解

12、：模型分析、建立與求解： 問題問題3根據(jù)問題根據(jù)問題2的想法的想法1（速度每提高10mph，汽車的間隔就要提高15ft，即速度每提高14.7英尺每秒，汽車的間隔就要提高15ft）和想法）和想法2（汽車的間隔只需要保持在以汽車現(xiàn)時速度行駛2秒的距離以內(nèi)）可以得出當(dāng)汽車初始行駛速度小于）可以得出當(dāng)汽車初始行駛速度小于56.9英尺每秒的時候汽車的間隔英尺每秒的時候汽車的間隔只需要保持在以汽車行駛速度行駛只需要保持在以汽車行駛速度行駛2秒的距離以內(nèi)即可，但當(dāng)汽車行駛速度大于秒的距離以內(nèi)即可，但當(dāng)汽車行駛速度大于56.9英尺英尺每秒時汽車行駛所需要保持的距離會大大上升。每秒時汽車行駛所需要保持的距離會大

13、大上升。問題3：能否給出不同速度下汽車行駛間隔建議。四、模型符號的說明四、模型符號的說明符號符號說說明明t為為反反應(yīng)時間應(yīng)時間v車車的速度的速度f開始剎開始剎車車后后產(chǎn)產(chǎn)生的摩擦阻力生的摩擦阻力D為總為總的剎的剎車車距離距離d1反反應(yīng)應(yīng)的距離的距離d2剎剎車車的距離的距離車輪車輪與地面的摩擦系數(shù)與地面的摩擦系數(shù)a剎剎車車后汽后汽車車的加速度的加速度g當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣犬?dāng)?shù)氐闹亓铀俣菷汽汽車對車對地面的地面的壓壓力力 建模小組出品 / 必屬精品 五、五、模型評價與改進(jìn)：模型評價與改進(jìn)：缺點：(1)在處理此問題時有假設(shè)與理想化的思想，與實際問題的求解還有一定的距離(2) 缺點及改進(jìn)：首先，沒有考慮

14、到不同牌子、不同新舊程度的輪胎的摩擦系數(shù)，對于數(shù)據(jù)的取值存在誤差，導(dǎo)致剎車距離的結(jié)果存在誤差.模型只是從初始速度、反應(yīng)時間、摩擦力、反應(yīng)距離、制動距離這幾個方面考慮，忽略了汽車行駛過程中周圍的道路情況和氣候因素以及汽車的輪胎類型、制動器的性能等等因素變化產(chǎn)生的實際問題，故而該模型的建立偏離一定實際，從而計算結(jié)果不精確。年齡段的選取不全，在不同年齡的人的反應(yīng)時間是有差別的，不同的年齡的人的反應(yīng)時間不同，所提供的數(shù)據(jù)不具很強(qiáng)的說服力，不同的反應(yīng)時間是會影響剎車過程中的反應(yīng)距離，這在模型的實際運用中不是很合理.因此在考慮到此方面的因素，可研究各年齡段的司機(jī)的反應(yīng)時間，進(jìn)而結(jié)合制動時間，給予司機(jī)安全駕駛建議.優(yōu)點：(1)本題所建立的模型成功的分析了汽車行駛中司機(jī)發(fā)現(xiàn)情況到踩剎車再到汽車停止這段過程中汽車經(jīng)過的距離以及汽車初始速度的關(guān)系。根據(jù)所建立的模型，我們成功的知道了汽車在行駛過程中根據(jù)現(xiàn)在的車速應(yīng)該與前面的車保持大概多少距離。 建模小組出品 / 必屬精品