相似多邊形的性質(zhì)(1)概述

1、w你還記得相似三角形對應(yīng)高的比與相似比的關(guān)你還記得相似三角形對應(yīng)高的比與相似比的關(guān)系及其理由嗎系及其理由嗎?w如圖如圖ABCDEF.B =E.w又又AMB =DNE =900.wAMBDNE.w(兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似).w相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.理由是:w(相似三角形對應(yīng)邊成比例相似三角形對應(yīng)邊成比例).ABCMDEFN.DEABDNAMw即即,相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.w你還記得相似三角形對應(yīng)角平分線的比與相似你還記得相似三角形對應(yīng)角平分線的比與相似比的關(guān)系及其理由嗎比的關(guān)系及其理由嗎? ?w如圖如圖ABCDEF

2、.B =E, BAC=EDF.又又AM,DN分別是分別是BAC和和EDF的角平分線的角平分線.wBAM=EDN.wAMBDNE.w(兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似).w相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比.w理由是理由是:w(相似三角形對應(yīng)邊成比例相似三角形對應(yīng)邊成比例).ABCMDEFN.DEABDNAM即即, ,相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比. . .w你還記得相似三角形對應(yīng)中線的比與相似你還記得相似三角形對應(yīng)中線的比與相似比的關(guān)系及其理由嗎比的關(guān)系及其理由嗎?w如圖ABCDEF.wB

3、=E,w相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比.理由是理由是:w(相似三角形對應(yīng)邊成比例).ABCMDEFN.DEABDNAM.EFBCDEAB又又AM,DN分別是分別是ABC和和DEF的中線的中線.EFBCENBMAMBDNE.(兩邊對應(yīng)成比兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似例且夾角相等的兩個三角形相似).ENBMDEAB且且B =E.即即, ,相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比. .w你還記得相似三角形周長的比與相似比的關(guān)系你還記得相似三角形周長的比與相似比的關(guān)系及其理由嗎及其理由嗎? ?w如圖如圖,在在 ABC與與 ABC中中

4、,wABCABC,且相且相似比為似比為k.w相似三角形周長的比等于相似比相似三角形周長的比等于相似比. .理由是理由是: :(相似三角形對應(yīng)邊成比例相似三角形對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)邊的比叫做相似比對應(yīng)邊的比叫做相似比).即即,相似三角形周長的比等于相似比相似三角形周長的比等于相似比. kCBBCCAACBAAB.等比kCBCABABCACABABCABCw你還記得相似多邊形周長的比與相似比的關(guān)系及其你還記得相似多邊形周長的比與相似比的關(guān)系及其理由嗎理由嗎?w如圖如圖六邊形六邊形ABCDEF六邊形六邊形A1B1C1D1E1F1,且相似比是且相似比是k.w相似多邊形周長的比等于相似比相似多邊形周長的比

5、等于相似比.理由是理由是:即即, ,相似多邊形周長的比等于相似比相似多邊形周長的比等于相似比. .BCDEFAB1C1D1E1F1A1.,.1:11111111111111111111111111111kFEDCBAABCDEFkAFFEEDDCCBBAFAEFDECDBCABkAFFAFEEFEDDEDCCDCBBCBAAB的周長六邊形的周長六邊形等比對應(yīng)邊的比叫做相似比例相似多邊形對應(yīng)邊成比解 l三個角對應(yīng)三個角對應(yīng)相等相等, ,三條邊對應(yīng)三條邊對應(yīng)成比例成比例的兩個三角形的兩個三角形, , 叫做相似三角形叫做相似三角形(similar trianglec)(similar triangl

6、ec)l相似三角形的各相似三角形的各對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等, ,各對應(yīng)邊各對應(yīng)邊對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例. .l相似三角形相似三角形對應(yīng)高對應(yīng)高的比的比, ,對應(yīng)角平分線對應(yīng)角平分線的比的比, ,對應(yīng)對應(yīng)中線中線的比，的比，對應(yīng)周長對應(yīng)周長的比等于相似比的比等于相似比. .l相似比等于相似比等于1 1的兩個三角形全等的兩個三角形全等. .l注意：注意：l要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上. .l反之反之, ,寫在對應(yīng)位置上的字母就是對應(yīng)角的頂點！寫在對應(yīng)位置上的字母就是對應(yīng)角的頂點！l由于相似三角形與其位置無關(guān)由于相似三角形與其位置無關(guān), ,因此因此,

7、,能否弄清能否弄清對應(yīng)對應(yīng)是正是正確解答的前提和關(guān)鍵確解答的前提和關(guān)鍵. .l判定兩個三角形相似的方法判定兩個三角形相似的方法: :l兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似. .l三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似. .l兩邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例, ,且夾角相等的兩個三角形且夾角相等的兩個三角形相似相似. .l斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似. .l平行于三角形一邊的直線截其它兩邊平行于三角形一邊的直線截其它兩邊( (或其或其延長線延長線), ),所截得的三角形與原三角形相似所截得的三角形與原三角形相似.

8、.ABCDEADEBCEDCBA益智的“模型”n兩個極具代表性的相似兩個極具代表性的相似三角形基本三角形基本模型模型： “A”型和型和“X” 型型知識源于悟.BCDEACAEABAD若ADE ABC,則DAE=BAC, ADE= A BC,AED=ACB,.ABACBCADAEDE若ABC ADE,則BAC=DAE, B=D,C=E,ABCDEEDCBA結(jié)論結(jié)論1:1:平行于三角形一邊直線截其它兩邊平行于三角形一邊直線截其它兩邊( (或其延長線或其延長線), ),所截得的三角形與原三角形所截得的三角形與原三角形相似相似; ;w如圖如圖, 已知已知ABC, DE BC, 交交AB,AC或其延長線

9、于或其延長線于D,E,則有如下結(jié)論則有如下結(jié)論:ABCDE.;ACECABDBAEECADDBACAEABADECAEDBAD或或或那么如圖:在ABC中,如果DEBC，那么ADEABC.結(jié)論結(jié)論2:平行于三角形一邊直線截其它兩邊平行于三角形一邊直線截其它兩邊(或其延長線或其延長線),所得的對應(yīng)線段成比例所得的對應(yīng)線段成比例.如圖:在ABC中,如果DEBC，ADEBCEDCBAw如圖, 直角三角形斜邊上的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原三角形相似.根據(jù)上面的結(jié)論可得到相等的角或?qū)?yīng)成比例的線段.即,有三對相似三角形.ACD ABCCBD ABCACD CBD.常用的成比例的線段有常用的成比

10、例的線段有: :ABCDw如如, ,常用的相等的角有：常用的相等的角有：wA =DCB;B =ACD;A =DCB;B =ACD; 讓數(shù)學(xué)模型“雙垂直”三角形,成為你的好友!;2ABADAC;2ABBDBC;2DBADCD.CDABBCAC老師的建議老師的建議:上面紅色字表示出的關(guān)系式,是幾個重要的結(jié)論,若能理解記憶并運用,將會促進能力的提高.n例題、如圖所示例題、如圖所示, ,在等腰在等腰ABCABC中中, ,底底邊邊BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,四邊形四邊形PQRSPQRS是正方形是正方形. .n(1). (1). ASRASR與與ABCABC相似嗎

11、相似嗎? ?為什么為什么? ?n(2).(2).求正方形求正方形PQRSRPQRSR的邊長的邊長. .n解解:( :(1) 1) ASRASRABC.ABC.理由是理由是: :n(2).由(1)可知, ASRABC.四邊形四邊形PQRS是正方形是正方形RSBCASR= BARS= CASRABC.BCSRADAE設(shè)正方形設(shè)正方形PQRS的邊長的邊長為為x cm, 則則AE=(40-x)cm,.604040 xx解得解得,x=24.所以正方形所以正方形PQRS的的邊長為邊長為24cm.ABCSREPD Q( (相似三角形對應(yīng)高的相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比比等于相似比) )親歷知識的發(fā)生和發(fā)展

12、n問題問題:n如果如果ABCABC它們它們面積的比與相似比有什么關(guān)面積的比與相似比有什么關(guān)系系?n如圖如圖, ABCABC,相相似比是似比是k(如如3 4).n(1)ABC與與ABC的面積的面積如何表示如何表示?n(2)ABC與與ABC的面積的面積的比是多少的比是多少?n解解:分別作高分別作高CD,CD,則則n如果兩個相似三角形的相似如果兩個相似三角形的相似比是比是k ,通過上面的活動通過上面的活動,你你得出了什么結(jié)論得出了什么結(jié)論?;21CDABSABC.21DCBASCBA CABCAB.4321212 DCCDBAABDCBACDABDCBACDABSSCBAABCDDn相似三角形面積的

13、比等于相似比的平方.n如圖如圖,如果如果ABCABC,且且這個結(jié)論在今后的學(xué)習(xí)中作用很大這個結(jié)論在今后的學(xué)習(xí)中作用很大, ,若能理若能理解運用解運用, ,則受益非淺則受益非淺. .CBAA B C.kBAAB.,2kSSCBAABC那么n如圖如圖,四邊形四邊形A1B1C1D1四邊形四邊形A2B2C2D2,且且相似比為相似比為k.?,222111222111各是多少DCADCACBACBASSSSA1B1C1D1A2B2C2D2w (1).(1).四邊形四邊形A A1 1B B1 1C C1 1DD1 1與四與四邊形邊形A A2 2B B2 2C C2 2DD2 2周長的比周長的比是多少是多少?

14、 ?w (2).(2).連接相應(yīng)的對角線連接相應(yīng)的對角線A A1 1C C1 1, A, A2 2C C2 2所得的所得的A A1 1B B1 1C C1 1與與 A A2 2B B2 2C C2 2相相似嗎似嗎? ? w A A1 1C C1 1DD1 1與與 A A2 2C C2 2DD2 2呢呢? ?w 如果相似如果相似, ,它們的相似比各它們的相似比各是多少是多少? ?(3).設(shè)設(shè)A1B1C1, A1C1D1, A2B2C2, A2C2D2.的面積的面積分別是分別是SA1B1C1, SA1C1D1, SA2B2C2, SA2C2D2,那么那么,(4).四邊形四邊形A1B1C1D1與四邊

15、形與四邊形A2B2C2D2.面積的比是多少面積的比是多少?n如果把四邊形換成五邊形如果把四邊形換成五邊形, ,那么結(jié)論又如何那么結(jié)論又如何? ?A1B1C1D1A2B2C2D2w ?w 換成換成n邊形呢邊形呢? w 通過上面的活動通過上面的活動,你得你得出了什么結(jié)論出了什么結(jié)論?相似多邊形周長的比等于相似多邊形周長的比等于 ,對應(yīng)對角線的比等于對應(yīng)對角線的比等于 ,對應(yīng)三角形相似對應(yīng)三角形相似,且相似比等于且相似比等于 ,對應(yīng)三角形面積的比等于對應(yīng)三角形面積的比等于 ;相似多邊形面積的比等于相似多邊形面積的比等于 .相似比相似比相似多邊形的相似比相似比的平方相似比的平方n下圖是某市城區(qū)外環(huán)路示

16、意圖下圖是某市城區(qū)外環(huán)路示意圖, ,比例尺為比例尺為1100 0001100 000n(1)(1)設(shè)法求出圖上外環(huán)路的長度設(shè)法求出圖上外環(huán)路的長度, ,并由此求出外環(huán)路的實際并由此求出外環(huán)路的實際長度長度; ;n(2)(2)估計外環(huán)路所圍成的區(qū)域的面積估計外環(huán)路所圍成的區(qū)域的面積. .你是怎么做的你是怎么做的? ?與同與同伴交流伴交流. .n點撥n(1)用一根線繩沿圖中的外環(huán)路重疊放置,此時線繩的長度就是外環(huán)路的圖上距離;n(2)把圖上的外環(huán)路近似地看作一個矩形.平坦立交橋大陽泉義井橋n某市城市廣場某市城市廣場, ,是一個因周邊環(huán)境設(shè)計是一個因周邊環(huán)境設(shè)計建造的一個不規(guī)則多邊形建造的一個不規(guī)則

17、多邊形, ,具有和諧的具有和諧的自然美自然美. .設(shè)計圖的比例尺是設(shè)計圖的比例尺是110 000.110 000.圖上多邊形與實際多邊形相似嗎圖上多邊形與實際多邊形相似嗎? ?如果如果相似相似, ,它們的相似比是多少它們的相似比是多少? ?圖上多邊形圖上多邊形與實際多邊形的周長比是多少與實際多邊形的周長比是多少? ?面積呢面積呢? ?歸納提煉n相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì): :n相似三角形相似三角形對應(yīng)高對應(yīng)高的比的比, ,對應(yīng)角平分線對應(yīng)角平分線的比的比, ,對應(yīng)對應(yīng)中線中線的比的比, ,對應(yīng)周長對應(yīng)周長的比都等于相似比的比都等于相似比. .n相似三角形相似三角形面積的比面積的比等于相似比的等于相似比的平方平方. .n相似多邊形相似多邊形對應(yīng)對角線對