概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章習(xí)題課

1、1 1 掌握隨機(jī)事件及樣本空間，事件之間的掌握隨機(jī)事件及樣本空間，事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算關(guān)系及其運(yùn)算. .2 2 理解頻率與概率的概念，掌握概率的基理解頻率與概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)及其計(jì)算本性質(zhì)及其計(jì)算. .3 3 掌握古典概型，幾何概率定義掌握古典概型，幾何概率定義. .4 4 會(huì)用條件概率，乘法公式，全概率公式會(huì)用條件概率，乘法公式，全概率公式和貝葉斯公式和貝葉斯公式. .5 5 事件獨(dú)立性事件獨(dú)立性, ,貝努里概型貝努里概型. .教教 學(xué)學(xué) 要要 求求主要計(jì)算公式主要計(jì)算公式古典概率古典概率中中基基本本事事件件的的總總數(shù)數(shù)包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)SAAP )(求逆公式求逆

2、公式)(1)(APAP )()()()(ABPBPAPBAP 加法公式加法公式( ( 可以推廣可以推廣 ) )求差公式求差公式）（）（ABPAPBAP )( 條件概率條件概率0)( , )()()( APAPABPABP全概率公式全概率公式)()()(1iniiBPBAPAP 乘法公式乘法公式0)( , )()()( APAPABPABP0)( )()( BPBAPBP )()A()( )()( 112221112121APAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 條件概率條件概率0)( , )()()( APAPABPABP)()()(BAPABPAP 若事件若事件 A1 , A2 , .

3、 , An 是相互獨(dú)立的，則是相互獨(dú)立的，則)(1)(2121nnAAAPAAAP )()()(121nAPAPAP 貝葉斯公式貝葉斯公式)()()()()(1jnjjiiiBPBAPBPBAPABP 全概率公式全概率公式)()()(1iniiBPBAPAP 例例1 1、某地發(fā)行某地發(fā)行A，B，C三種報(bào)紙，已知在市民中訂閱三種報(bào)紙，已知在市民中訂閱A報(bào)的有報(bào)的有45%45%，訂閱，訂閱B報(bào)的有報(bào)的有35%35%，訂閱，訂閱C報(bào)的有報(bào)的有30%30%，同時(shí)訂閱，同時(shí)訂閱A及及B報(bào)的有報(bào)的有10%10%，同時(shí)訂閱，同時(shí)訂閱A A及及C C報(bào)的有報(bào)的有8%8%，同時(shí)訂閱，同時(shí)訂閱B及及C報(bào)的有報(bào)的有

4、5%5%，同時(shí)訂閱，同時(shí)訂閱A，B，C報(bào)的有報(bào)的有3%3%。試求下列事件的概率：試求下列事件的概率：1 1 只訂只訂A報(bào)；報(bào)；2 2 只訂只訂A及及B報(bào)；報(bào)；3 3 至少訂一種報(bào)紙；至少訂一種報(bào)紙；4 4 不訂任何報(bào)紙；不訂任何報(bào)紙；5 5 恰好訂兩種報(bào)紙；恰好訂兩種報(bào)紙；7 7 至多訂一種報(bào)紙。至多訂一種報(bào)紙。6 6 恰好訂一種報(bào)紙；恰好訂一種報(bào)紙；解：解：設(shè)訂閱設(shè)訂閱 A 報(bào)的為報(bào)的為“A”事件，事件， 訂閱訂閱B B報(bào)的為報(bào)的為“ “ B ”B ”事件，訂閱事件，訂閱 C 報(bào)的為報(bào)的為“ “ C ” ”事件事件)()()()(ABCPACPABPAP 1 1、只訂、只訂A報(bào)；報(bào)； =0.

5、45-0.1-0.08+0.03=0.3)()( )()(ABCPABPABCABPCABP 2 2、只訂、只訂A及及B報(bào)；報(bào)；=0.1-0.03=0.07由已知由已知 P( (A)=0.45)=0.45， P( (B)=0.35, )=0.35, P( (C)=0.3)=0.3, , P( (AB)=0.1, )=0.1, P( (AC)=0.08, )=0.08, P( (BC)=0.05, )=0.05, P( (ABC)=0.03,)=0.03,) (CBAP)(CABP )()()()(CPBPAPCBAP=0.45+0.35+0.3-0.1-0.08-0.05+0.03=0.9)(

6、)()()(ABCPBCPACPABP )(1)() (CBAPCBAPCBAP =1- 0.9=0.13 3、至少訂一種報(bào)紙；、至少訂一種報(bào)紙；)(CBAP4 4、不訂任何報(bào)紙；、不訂任何報(bào)紙；) (CBAP5 5、恰好訂兩種報(bào)紙；、恰好訂兩種報(bào)紙；)(BCACBACABP )()()()()()()()()(ABCPBCPABCPACPABCPABPBCAPCBAPCABP =0.1+0.08+0.05-0.03-0.03-0.03=0.14)()( ) (1ABCPBCACBACABPCBAP =1- 0.1- 0.14- 0.03=0.7383.073.01 .0 6 6、恰好訂一種報(bào)

7、紙；、恰好訂一種報(bào)紙；) (CBACBACBAP 7 7、至多訂一種報(bào)紙。、至多訂一種報(bào)紙。) (CBACBACBACBAP ) (CBACBACBACBAP 從從5 5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4 4只，問這只，問這4 4只鞋子中至只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？少有兩只配成一雙的概率是多少？例例2 2、法法1 1：)(1) (APAP 78910468101 2113 法法2 2：)(1) (APAP 41012121212451CCCCCC 2113 法法3 3：) (AP410252815CCCC 2113 ， 求求) ()(BAPABP pAP )().(BP例例3

8、 3、已知、已知A，B兩個(gè)事件滿足兩個(gè)事件滿足，且，且)()()(-1 ) (-1) () (ABPBPAPBAPBAPBAP )() (ABPBAP 又又由由解：解：)()()(-1)(ABPBPAPABP 得得pAPBP-1)(-1)( 例例4 4：對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為時(shí)，產(chǎn)品的合格率為0.9，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為其合格率為0.3，每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好，每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為的概率為0.75，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求已知某日早

9、上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？設(shè)設(shè) A ： “ “ 產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格 ” ” ，解解B ： “ 機(jī)器調(diào)整良好機(jī)器調(diào)整良好 ” P (A B) =0.9,P (A B)=0.3,P (B) =0.75,P (B) =0.25由貝葉斯公式由貝葉斯公式)(ABP25.03.075.09.075.09.0 9.0 后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率B ，B 是是樣本空間樣本空間 S 的一個(gè)的一個(gè)劃分劃分例例5 5、根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具

10、有如下的效果：如下的效果： 事件事件A: “: “試驗(yàn)反應(yīng)為陽性試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”事件事件B: “: “被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥”先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率)(ABPP (B) =0.005求：求：后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率解解)(ABP995.005.0005.095.0005.095.0 087.0 )()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 由由P (A B) = 0. 9505. 095. 01)(1)( BAPBAPP (A B) = 0. 95B ，B 是樣本空間是樣本空間 S 的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分說明：一定注意區(qū)分說明：一定注意區(qū)分P (A B) 和和)(ABP例例6 6、 524

11、950492020)(250149 AAAPA: :解：解：法法1 1：法法2 2：)()()(ABPBAPAP 524920503049195020 假如一個(gè)比賽中贏假如一個(gè)比賽中贏 6 6 次才算贏，兩人在甲贏次才算贏，兩人在甲贏 5 5 次，次，乙贏乙贏 2 2 次的情況下中斷比賽，獎(jiǎng)金應(yīng)按什么比例次的情況下中斷比賽，獎(jiǎng)金應(yīng)按什么比例分配（設(shè)每次比賽相互獨(dú)立）？分配（設(shè)每次比賽相互獨(dú)立）？（1 1）假設(shè)兩個(gè)人的技術(shù)水平相同；）假設(shè)兩個(gè)人的技術(shù)水平相同；（2 2）假設(shè)兩個(gè)人的技術(shù)水平不同。）假設(shè)兩個(gè)人的技術(shù)水平不同。例例7 7、解：解：設(shè)甲贏為設(shè)甲贏為“Ai (i=1,2,3,4)”事件，

12、事件，乙贏為乙贏為“Bi (i=1,2,3,4)”事件事件)()1(4321BBBBP161)21(4 獎(jiǎng)金應(yīng)按獎(jiǎng)金應(yīng)按 15:1 15:1 分配分配; ;)()2(4321BBBBP4)72( 24018 獎(jiǎng)金應(yīng)按獎(jiǎng)金應(yīng)按 2393:82393:8分配分配. . 課課 堂堂 練練 習(xí)習(xí)4 4、設(shè)事件、設(shè)事件 是是 的子事件的子事件, , P(B)0， 則下列選項(xiàng)必然成立的是則下列選項(xiàng)必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)25 5、一批零件共、一批零件共100100個(gè)，次品率為個(gè)，次品率為1010%，每次從中取，每次從中取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取一個(gè)

13、零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率到合格品的概率. . 5 5、一批零件共、一批零件共100100個(gè)，次品率為個(gè)，次品率為1010%，每次從中取，每次從中取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率到合格品的概率. . )(321AAAP解：解：設(shè)設(shè) Ai 表示表示“第第 i 次取到的是合格品次取到的是合格品”(i=1,2，3)， 所求概率為所求概率為)|()|()(213121AAAPAAPAP 0083. 0 如果取到一個(gè)合格品后就不再繼續(xù)取零件，求在三如果取到一個(gè)合格品后就不再繼續(xù)取零件，求在三次內(nèi)取得合格品

14、的概率次內(nèi)取得合格品的概率. .989099910010 6 6、市場(chǎng)上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供應(yīng)、市場(chǎng)上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供應(yīng), ,其供其供 應(yīng)量為應(yīng)量為: :甲廠家是乙廠家的甲廠家是乙廠家的2倍倍, , 乙和丙兩個(gè)廠家乙和丙兩個(gè)廠家 相等相等, , 且各廠產(chǎn)品的次品率為且各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%,(1) (1) 求市場(chǎng)上該種商品的次品率求市場(chǎng)上該種商品的次品率. .(2) (2) 若從市場(chǎng)上的商品中隨機(jī)抽取一若從市場(chǎng)上的商品中隨機(jī)抽取一 件件, ,發(fā)現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)是 次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率? ?（1 1）設(shè)設(shè)Ai i 表示取到第表示取到第 i 個(gè)工廠產(chǎn)

15、品，個(gè)工廠產(chǎn)品，i=1,2,3, =1,2,3, B表示取到次品表示取到次品, ,由題意由題意 得得: :P( (A1 1)=0.5,)=0.5,P( (A2 2)=)=P( (A3 3)=0.25, )=0.25, P( (B| |A1 1)=0.02,)=0.02,P( (B| |A2 2)=0.02,)=0.02,P( (B| |A3 3)=0.04)=0.04由全概率公式得由全概率公式得: :)|()()(31iiiABPAPBP =0.025： 4 . 0025. 001. 0)(1 BAP(2)由由貝葉斯公式貝葉斯公式得得: :7 7、某工人同時(shí)看管三臺(tái)機(jī)床，每單位時(shí)間、某工人同時(shí)

16、看管三臺(tái)機(jī)床，每單位時(shí)間( (如如30分鐘分鐘) )內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率：內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率： 甲機(jī)床為甲機(jī)床為0.9，乙機(jī)床為，乙機(jī)床為0.8，丙機(jī)床為，丙機(jī)床為0.85。 若機(jī)床是自動(dòng)且獨(dú)立地工作，求若機(jī)床是自動(dòng)且獨(dú)立地工作，求（1 1）在）在30分鐘內(nèi)三臺(tái)機(jī)床都不需要看管的概率分鐘內(nèi)三臺(tái)機(jī)床都不需要看管的概率（2 2）在）在30分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī)分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī) 床需要看管的概率床需要看管的概率 解：解：設(shè)設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床不需要為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床不需要（1 1）P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) =0.9 0

17、.8 0.85 =0.612(2) (2) P(A1A2 A3)= P(A1) P(A2) P( A3) = 0.9 0.8 (1-0.85)=0.108依題意有依題意有 3A看管的事件，看管的事件，為丙機(jī)床需要看管的事件，為丙機(jī)床需要看管的事件，8 8、三個(gè)元件串聯(lián)的電路中、三個(gè)元件串聯(lián)的電路中, , 每個(gè)元件發(fā)生斷電的每個(gè)元件發(fā)生斷電的概率依次為概率依次為0.3, 0.4, 0.6, 0.3, 0.4, 0.6, 各元件是否斷電相互各元件是否斷電相互獨(dú)立獨(dú)立, , 求電路斷電的概率求電路斷電的概率. . 解解 設(shè)設(shè)A1, ,A2, ,A3分別表示第分別表示第1, ,2, ,3個(gè)元件斷電個(gè)元

18、件斷電, , A表示電路斷電表示電路斷電, ,則則A1, ,A2, ,A3相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , A= = A1U UA2U UA3, ,P( (A)=)=P( (A1U UA2U UA3)=)=)(1321AAAPUU )()()(1321APAPAP =1-0.168=0.832=1-0.168=0.8329 9、 加工某一零件共需經(jīng)過三道工序加工某一零件共需經(jīng)過三道工序. .設(shè)第一、設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是二、三道工序的次品率分別是2%，3%，5%. .假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率是多少？件的次品率是多少？ ( (可用兩種方法解決可用兩種方法解決) )0.096931010、甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，命、甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別為中率分別為0.6和和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是甲擊中的概率為是甲擊中的概率為( )( )= =0.6/0.8=3/4或或)(1/)()(/ )()|(CPAPCPACPCAP 解解設(shè)設(shè)A=甲中甲中,B=乙中乙中,C=目標(biāo)被擊中目標(biāo)被擊中,所求所求 P( (A| |C) )= =P( (AC)/)/P( (C) )= =P( (A)/)/P( (A)+)+P( (B)-)-P( (A) )P( (B)討論討論: 甲、