第二章過程特性及其數(shù)學(xué)模型

1、肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院第二章 過程特性及其數(shù)學(xué)模型 肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院內(nèi)容提要內(nèi)容提要11、化工過程的特點及其描述方法、化工過程的特點及其描述方法2、對象數(shù)學(xué)模型的建立、對象數(shù)學(xué)模型的建立（1）建模目的）建模目的（2）機(jī)理建模）機(jī)理建模（3）實驗建模）實驗建模3、描述對象特性的參數(shù)、描述對象特性的參數(shù)（1）放大系數(shù)）放大系數(shù)（2）時間常數(shù)）時間常數(shù) （3）滯后時間）滯后時間肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院第一節(jié) 化工過程的特點及其描述方法 自動控制系統(tǒng)自動控制系統(tǒng)是由被控對象、測量變送裝置、控制器和執(zhí)行器組成。系統(tǒng)的控制質(zhì)量與被控對象的特性有密切的關(guān)系。 研究對象的特性，就是用數(shù)學(xué)的方法來描述出對象用數(shù)學(xué)的方法來描述

2、出對象輸入量與輸出量之間的關(guān)系輸入量與輸出量之間的關(guān)系。這種對象特性的數(shù)學(xué)描述就稱為對象的數(shù)學(xué)模型。干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素，如下圖所示。輸出變量輸出變量輸入變量輸入變量通道通道 控制通道控制通道干擾通道干擾通道？幾個概念幾個概念2圖2-1 對象的輸入輸出量肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院對象的數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動態(tài)數(shù)學(xué)模型對象的數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)基礎(chǔ)特例特例3第一節(jié) 化工過程的特點及其描述方法肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院一般是在工藝一般是在工藝流程和設(shè)備尺流程和設(shè)備尺寸等都確定的寸等都確定的情況，研究對情況，研究對象的象

3、的輸入變量輸入變量是如何影響輸是如何影響輸出變量的出變量的。研究的目研究的目的是為了的是為了使所設(shè)計使所設(shè)計的控制系的控制系統(tǒng)統(tǒng)達(dá)到更達(dá)到更好的控制好的控制效果效果。 在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)量已確定的情況量已確定的情況下，通過模型計下，通過模型計算，算，確定設(shè)備的確定設(shè)備的結(jié)構(gòu)、尺寸、工結(jié)構(gòu)、尺寸、工藝流程和某些工藝流程和某些工藝條件藝條件。 （a）（b）（c）用于用于控制控制的數(shù)學(xué)模型（的數(shù)學(xué)模型（a、b）與用于）與用于工藝設(shè)計與分工藝設(shè)計與分析析的數(shù)學(xué)模型（的數(shù)學(xué)模型（c）不完全相同。）不完全相同。4第一節(jié) 化工過程的特點及其描述方法肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式分類51.1.

4、非參量模型非參量模型 當(dāng)數(shù)學(xué)模型模型是采用曲線或數(shù)據(jù)表格等來表示用曲線或數(shù)據(jù)表格等來表示時，稱為非參量模型。非參量模型可以通過記錄實驗結(jié)果來得到，有時也可以通過計算來得到。 特點特點形象、清晰，比較容易看出其定性的特征 缺點缺點直接利用它們來進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計往往比較困難 表達(dá)形式表達(dá)形式對象在一定形式輸入作用下的輸出曲線或數(shù)據(jù)來表示 第一節(jié) 化工過程的特點及其描述方法肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)方程式數(shù)學(xué)方程式來來描述時，稱為參量模型。對象的參量模描述時，稱為參量模型。對象的參量模型可以用描述對象輸入、輸出關(guān)系的型可以用描述對象輸入、輸出關(guān)系的微微分方程式、偏微分

5、方程式、狀態(tài)方程、分方程式、偏微分方程式、狀態(tài)方程、差分方程等差分方程等形式來表示。形式來表示。 2.2.參量模型參量模型6第一節(jié) 化工過程的特點及其描述方法肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn011101117對于線性的集中參數(shù)對象對于線性的集中參數(shù)對象 通常可用常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程式來描述，如果以x（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，則對象特性可用下列微分方程式來描述 在允許的范圍內(nèi)，多數(shù)化工對象動態(tài)特性可以忽略輸入量的導(dǎo)數(shù)項，因此可表示為 txtyatyatyatyannnn0111（2-1）第一節(jié) 化工過程的特點及其描述方

6、法肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 txtyatya01 tKxtytyT8舉例舉例一個對象如果可以用一個一階微分方程式來描一個對象如果可以用一個一階微分方程式來描述其特性（通常稱一階對象），則可表示為述其特性（通常稱一階對象），則可表示為0011,aKaaT或表示成或表示成式中式中（2-2）（2-3） 上式中的系數(shù)與對象的特性有關(guān)，一般需要通過對象的內(nèi)部機(jī)理分析或大量的實驗數(shù)據(jù)處理得到。第一節(jié) 化工過程的特點及其描述方法肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立 一、建模目的一、建模目的9（1）控制系統(tǒng)的方案設(shè)計 （2）控制系統(tǒng)的調(diào)試和控制器參數(shù)的確定 （3）制定工業(yè)過程操作優(yōu)化方案 （4）新型控制方案及控

7、制算法的確定 （5）計算機(jī)仿真與過程培訓(xùn)系統(tǒng) （6）設(shè)計工業(yè)過程的故障檢測與診斷系統(tǒng) 肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院二、機(jī)理建模二、機(jī)理建模10 根據(jù)對象或生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，列寫出各種有關(guān)的平衡方程平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、動量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、設(shè)備的特性方程、化學(xué)反應(yīng)定律、電路基本定律等，從而獲取對象（或過程）的數(shù)學(xué)模型，這類模型通常稱為機(jī)理模型。 第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院二、機(jī)理建模二、機(jī)理建模對于某些對象，人們還難以寫出它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者表達(dá)式中的某些系數(shù)還難以確定時，不能適用。具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很大的適應(yīng)性，便于對模型參數(shù)

8、進(jìn)行調(diào)整。 優(yōu)點優(yōu)點缺點缺點11第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院舉例舉例1.1.一階對象一階對象（1）水槽對象）水槽對象對象物料蓄存量的變化率對象物料蓄存量的變化率單位時間流入對象的物料單位時間流出對象的物單位時間流入對象的物料單位時間流出對象的物料料依據(jù)依據(jù)12圖2-2 水槽對象第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院AdhdtQQ21sRhQ 213（2-4）若h的變化量很微小變化量很微小，可以近似認(rèn)為Q2與h 成正比（2-5）將上式代入（2-4）式，移項1QRhdtdhARssssRKART,1KQhdtdhT令令則則圖2-2 水槽對象第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)

9、院0eiReidtdeCi014（2）RC電路電路ei若取為輸入?yún)?shù)， eo為輸出參數(shù)，根據(jù)基爾霍夫定理 ieedtdeRC00ieedtdeT00RCT 消去消去i i由于由于或或圖2-3 RC電路第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院dtQAdh112.2.積分對象積分對象當(dāng)對象的輸出參數(shù)與輸入?yún)?shù)對時間的積分成比例關(guān)系時，當(dāng)對象的輸出參數(shù)與輸入?yún)?shù)對時間的積分成比例關(guān)系時，稱為積分對象。稱為積分對象。Q2為常數(shù)，變化量為0dtQAh11說明，所示貯槽具有積分特性。其中，A為貯槽橫截面積，h為液位，Q1為流入量的變化量。15圖2-4 積分對象第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院2

10、221112RhQRhQ22121121AdhdtQQAdhdtQQ163.3.二階對象二階對象（1）串聯(lián)水槽對象）串聯(lián)水槽對象假定輸入、輸出量變化很小的情況下，貯槽的液位與輸出流量具有線性關(guān)系。 假定每只貯槽的截面積都為A，則圖2-5 串聯(lián)水槽對象第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院11ART 22ART 2122121111QQAdtdhQQAdtdh1222122221KQhdtdhTTdthdTT消去消去Q Q1212、Q Q2 2、h h1 1整理得式中 為第一只貯槽的時間常數(shù)； 為第二只貯槽的時間常數(shù)； 為整個對象的放大系數(shù)。 2RK 17第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇

11、慶學(xué)院0222112111111eRidtiiCdtiiCRieidtiCe220118（2 2）RC串聯(lián)電路串聯(lián)電路根據(jù)基爾霍夫定律根據(jù)基爾霍夫定律ieedtdeCRCRCRdtedCRCR002122112022211整理得整理得圖2-6 RC串聯(lián)電路第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院三、實驗建模三、實驗建模19 對象特性的實驗測取法，就是在所要研究的對象上，加上一個人為的輸入作用（輸入量），然后，用儀表測取并記錄表征對象特性的物理量（輸出量）隨時間變化的規(guī)律，得到一系列實驗數(shù)據(jù)（或曲線）。這些數(shù)據(jù)或曲線就可以用來表示對象的特性。 實驗方法實驗方法研究對象特性研究對象特性第二節(jié) 對

12、象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院定義：定義：應(yīng)用對象的輸入輸出的實測數(shù)據(jù)來決定其模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 。特點：特點：把被研究的對象視為一個黑匣子，完全從外部特性上來測試和描述它的動態(tài)特性，不需要深入了解其內(nèi)部機(jī)理 。系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識20第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院21實驗性能的測試方法實驗性能的測試方法1. 階躍反應(yīng)曲線法階躍反應(yīng)曲線法 用實驗的方法測取對象在階躍輸入作用下，輸出量y隨時間的變化規(guī)律。 圖2-7 簡單水槽對象圖2-8 水槽的階躍反應(yīng)曲線優(yōu)點優(yōu)點簡單缺點缺點穩(wěn)定時間長測試精度受限簡單水槽的動態(tài)特性簡單水槽的動態(tài)特性舉例舉例第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院222

13、. 矩形脈沖法矩形脈沖法 當(dāng)對象處于穩(wěn)定工況下，在時間t0突然加一階躍干擾，幅值為A，到t1時突然除去階躍干擾，這時測得的輸出量y隨時間的變化規(guī)律，稱為對象的矩形脈沖特性，而這種形式的干擾稱為矩形脈沖干擾。此外，還可以采用矩形脈沖波和正弦信號。圖2-9 矩形脈沖特性曲線 圖2-10 矩形脈沖波信號圖2-11 正弦信號第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 混合建模23 先由機(jī)理分析的方法提供數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，然后對其中某些未知的或不確定的參數(shù)利用實測的方法給予確定。 這種在已知模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過實測數(shù)據(jù)來確定其中的某些參數(shù)，稱為參數(shù)估計。 舉例舉例 以換熱器建模為例，可以先列寫出其熱

14、量平衡方程式，而其中的換熱系數(shù)K值等可以通過實測的試驗數(shù)據(jù)來確定。 途徑第二節(jié) 對象數(shù)學(xué)模型的建立肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)一、放大系數(shù)K 對于前面介紹的水槽對象，當(dāng)流入流量Q1有一定的階躍變化后，液位h也會有相應(yīng)的變化，但最后會穩(wěn)定在某一數(shù)值上。如果我們將流量Q1的變化 Q1 1看看作對象的輸入作對象的輸入，而液位h的變化 h看作看作對象的輸出對象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時，對象一定的輸入就對應(yīng)著一定的輸出，這種特性稱為對象的靜態(tài)特性。 24肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)1QhK25圖2-12 水槽液位的變化曲線或K在數(shù)值上等于對象重新穩(wěn)定后的輸出變化量與輸入變化量

15、之比。K越大，就表示對象的輸入量有一定變化時，對輸出量的影響越大，即被控變量對這個量的變化越靈敏。1QKh肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院26舉例舉例以合成氨的轉(zhuǎn)換爐為例，說明各個量的變化對被以合成氨的轉(zhuǎn)換爐為例，說明各個量的變化對被控變量控變量K的影響的影響 生產(chǎn)過程要求一氧化碳的轉(zhuǎn)化率要高，蒸汽消耗量要少，觸媒壽命要長。通常用變換爐一段反應(yīng)溫度作為被控變量，來間接地控制轉(zhuǎn)換率和其他指標(biāo)。 圖2-13 一氧化碳變換過程示意圖圖2-14 不同輸入作用時的被控變量變化曲線第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 二、時間常數(shù)T28 從大量的生產(chǎn)實踐中發(fā)現(xiàn)，有的對象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達(dá)到了穩(wěn)

16、定值；有的對象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經(jīng)過很長時間才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。 圖2-15 不同時間常數(shù)對象的反應(yīng)曲線第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院如何定量地表示對象受如何定量地表示對象受干擾后的這種特性呢？干擾后的這種特性呢？ 在自動化領(lǐng)域中，往往用時間常數(shù)T來表示。時間常數(shù)越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達(dá)新的穩(wěn)定值所需的時間越長。 29第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院1KQhdtdhT30舉例舉例簡單水槽為例由前面的推導(dǎo)可知假定Q1為階躍作用， t0或t=0時Q1=A，如左圖。 TteKAth1則函數(shù)表達(dá)式為（2-33）圖2-16 反應(yīng)曲線第三

17、節(jié) 描述對象特性的參數(shù)肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 KAh AhK 從上頁圖反應(yīng)曲線可以看出，對象受到階躍作用后，被控變量就發(fā)生變化，當(dāng)t時，被控變量不再變化而達(dá)到了新的穩(wěn)態(tài)值h（），這時上式可得： 或或 對于簡單水槽對象，K=RS，即放大系數(shù)只與出水閥的阻力有關(guān)，當(dāng)閥的開度一定時，放大系數(shù)就是一個常數(shù)。（2-34）31第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù) TteKAth1（2-33）肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 KAeKATh632. 011 hTh632. 032將將 t=T 代入式（代入式（2-33），得），得（2-35）將式（將式（2-34）代入式（）代入式（2-35），得），得（2-36） 當(dāng)對象受到當(dāng)對象受到階躍輸

18、入階躍輸入后，后，被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.263.2所需的時間，就是時間常數(shù)所需的時間，就是時間常數(shù)T，實際工作中，常用這，實際工作中，常用這種方法求取時間常數(shù)。種方法求取時間常數(shù)。第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù) TteKAth1（2-33）肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院圖2-17 不同時間常數(shù)下的反應(yīng)曲線T1T2T3T4 說明說明時間常數(shù)大的對象（如時間常數(shù)大的對象（如T4)對輸入的反應(yīng)較慢，對輸入的反應(yīng)較慢，一般認(rèn)為慣性較大。一般認(rèn)為慣性較大。33第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院TteTKAdtdh ThTKAdtdht00tdtdh34在輸入作用加入的瞬間，液位h的

19、變化速度是多大呢？將式（將式（2-332-33）對）對 t 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得（2-37）當(dāng)當(dāng) t =0（2-38）當(dāng)當(dāng) t 時，式（時，式（2-37）可得）可得（2-39）第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù) TteKAth1（2-33）肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 hKAeKATh95. 095. 0133圖2-18 時間常數(shù)T的求法 由左下圖所示，式（由左下圖所示，式（2-38）代表了曲線在起始點時切線的）代表了曲線在起始點時切線的斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值h（）上截得的一段時間正好）上截得的一段時間正好等于等于T。由式（2-33），當(dāng) t =時，h = KA。當(dāng) t=3T時，代入式（

20、2-33）得（2-40） 從加入輸入作用后，經(jīng)過3T時間，液位已經(jīng)變化了全部變化范圍的95，這時，可以近似地認(rèn)為動態(tài)過程基本結(jié)束。所以，時間常數(shù)T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過程所需要的時間的一個重要參數(shù)。 結(jié)論35第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)食品進(jìn)度肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院 三、滯后時間定義分類 對象在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。滯后性質(zhì)傳遞滯后容量滯后 傳遞滯后又叫純滯后，一般用0表示。0的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需要一段時間而引起的。 對象在受到階躍輸入作用x后，被控變量y開始變化很慢，后來才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩(wěn)定值。36第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)肇慶學(xué)院肇慶學(xué)院371. 1. 傳遞滯后傳遞滯后 顯然顯然，純滯后時間0與皮帶輸送機(jī)的傳送速度v和傳送距離L有關(guān)。溶解槽及其反應(yīng)曲線純滯后時間舉例舉例第三節(jié) 描述對象特性的參數(shù)肇慶學(xué)