M(四章1講)表象理論

1、光電信息學(xué)院 李小飛第四章：表象與矩陣力學(xué)第四章：表象與矩陣力學(xué)量子力學(xué)的三種表述：量子力學(xué)的三種表述：Solved第第一一講：講：態(tài)的表象態(tài)的表象引入：引入：= x xy yz zaea eae幾何空間一矢量可以有多種描述：幾何空間一矢量可以有多種描述：直角坐標(biāo)基矢：直角坐標(biāo)基矢：球坐標(biāo)基矢：球坐標(biāo)基矢： , xyze e e , re ee r ra ea ea e 3= i iiPae3= n nnae3= a e P( , , ) ( , , )x y zr 選取不同的坐標(biāo)系，可以簡化問題的處理過程！選取不同的坐標(biāo)系，可以簡化問題的處理過程！前面我們學(xué)習(xí)的波函數(shù)、力學(xué)量算符和薛定諤方前

2、面我們學(xué)習(xí)的波函數(shù)、力學(xué)量算符和薛定諤方程等都是以程等都是以位置位置為自變量的，為自變量的，( , ) r t () pixyx A( , ) f r pr rrr rr22(, )(U (, t)(, ) 2ir trr tthvvvh量子力學(xué)就象幾何學(xué)一樣，可以在不同的基底上量子力學(xué)就象幾何學(xué)一樣，可以在不同的基底上進行表述，稱為表象理論進行表述，稱為表象理論它們它們能不能采用其他力學(xué)量的基矢作基底呢？能不能采用其他力學(xué)量的基矢作基底呢？定義：量子力學(xué)中選取一組基矢作基底定義：量子力學(xué)中選取一組基矢作基底就稱選取一種表象就稱選取一種表象動動量量表表象象能能量量表表象象角角動動量量表表象象常

3、用的常用的表象（表象（基矢）基矢）位位置置表表象象粒粒子子數(shù)數(shù)表表象象自自旋旋表表象象rrvrv*( )( , )( , ) pc p tt drrrrrrrr( ,)( , )( ) pr tcp trd pr vhrvh3/21( ) (2)iprpre變換因子：變換因子： 是動量是動量算符算符本征函數(shù)本征函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換. .動量表象中的波函數(shù)動量表象中的波函數(shù)rr( , )( , ) r tc p t 位置表象位置表象中中的波函數(shù)的波函數(shù)， 動量表象動量表象中中的波函數(shù)的波函數(shù)。r( ,) r tr( , ) c p t展開操作展開操作投影操作投影操作同一態(tài)函數(shù)可在多個表象中進

4、行描述同一態(tài)函數(shù)可在多個表象中進行描述rrrrrrrr( ,)( , )( )( , ) ( ) ppr tcp trd pcp tr如何求其他表象中的波函數(shù)？如何求其他表象中的波函數(shù)？2( , ) r tr 測得力學(xué)量測得力學(xué)量 為的概率為的概率 rr2( , ) c p tr測得力學(xué)量測得力學(xué)量 為的概率為的概率 pr rr pr ggg ggg關(guān)系：關(guān)系： 是是 在動量表象中的投影（系在動量表象中的投影（系數(shù)）數(shù)）( , ) c p tr( , ) r trrrvrv*( )( , )( , ) pc p tt drrrrrrr r( ,)( , )( ) pr tcp trdp本征函數(shù)

5、系：本征函數(shù)系：rv( ) pr. .任意表象下的波函數(shù)的具體形式任意表象下的波函數(shù)的具體形式vvr*(,)( , )( )qa qtr t durrrr( ,)(,) ( ) qr taqtu rdq動量表象動量表象本征函數(shù)系：本征函數(shù)系： ( )qu rQ連續(xù)連續(xù)為簡單起見：為簡單起見：*(,)( , ) =( )qqa qtr t drtuarvvr2( , )a q t 表示測得力學(xué)量表示測得力學(xué)量 為的概率為的概率qQ 設(shè)設(shè) 是任一表象是任一表象 中的波函數(shù)，則中的波函數(shù)，則( , )a q tQ表象表象rv*( )()( , ) nnua tr tr( ,)() ( )() ( )

6、 qqnnnr ta tu r dqa tu rrrr具有分立的本征譜：具有分立的本征譜：vv ( ) ( ) qnu ru rQ2()1na t 即：只要知道的本征函數(shù)系，就能寫出表象即：只要知道的本征函數(shù)系，就能寫出表象中波函數(shù)的具體形式。中波函數(shù)的具體形式。2211( )( ) .) ( )( )(nna ta ta tu ru ru rrrMrrr( ,)() ( ) nnnr ta tu rrrr1122() ( )() ( ) . . .() ( ) nna tu ra tu ra tu r系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣基底基底改寫成矩陣形式：改寫成矩陣形式： 的本征譜含有連續(xù)部分：的本征譜含有

7、連續(xù)部分：vv ( ), ( ) nqu r u rrrr( ,)() ( )() ( ) nnqqnr ta tu ra tu rdqrv*( )()( , ) nnua tr trrvv*()( , ) ( )qqa tr t drruQ22()()1nqa ta t dq12( )( ) .( ) .( ) nqu ru ru ru rrrrrr( ,) r t12( )( ) ( )( )nqa ta ta ta tMMrrr( ,)() ( )() ( ) nnqqnr ta tu ra tu rdq改寫成矩陣形式：改寫成矩陣形式：12( )( ) ( )( )nqa ta ta t

8、a tMMQQ基底上的基底上的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 r( , ) r t 稱為坐標(biāo)表象中的稱為坐標(biāo)表象中的狀態(tài)狀態(tài)波函數(shù)，波函數(shù)， 稱為稱為動量表象中的動量表象中的狀態(tài)狀態(tài)波函數(shù)；波函數(shù)；稱為稱為表象中的表象中的狀態(tài)狀態(tài)波函數(shù)。波函數(shù)。r( ,) r tr( , ) c p t量子態(tài)的量子態(tài)的函數(shù)形式函數(shù)形式量子態(tài)的量子態(tài)的矩陣形式矩陣形式12( )( ) ( )na ta ta t MM共軛矩陣轉(zhuǎn)置共軛矩陣轉(zhuǎn)置+矩陣元復(fù)共軛矩陣元復(fù)共軛12( )*( )*( )* na ta ta t LL1212( )( )( )*( )*( )* ( )( )*( )1nnnnna ta ta ta ta

9、ta ta ta t LLMM1 歸一化公式的矩陣形式歸一化公式的矩陣形式有有：3 .3 . 實 例 實 例例例1. 1. 求平面波在動量表象中的具體形式求平面波在動量表象中的具體形式*( )( , )( , )pc p tx txdx/( , )( )piE tpx tx e/*( )( )pi Epptxxedx*/()pi E tppxxedx/( )pi E tepp( )( )c ppphh1/21( ) (2)ip xpxe動動量算符量算符的的本征函數(shù)本征函數(shù)（平面波函）在自身（平面波函）在自身表表象象中是中是函數(shù)函數(shù)。例例2.2.粒子處于如下波函數(shù)描寫的粒子處于如下波函數(shù)描寫的能

10、量能量基態(tài)（基態(tài)（n=1n=1）時：）時： 2sin0nnxxx aaa 求態(tài)函數(shù)求態(tài)函數(shù)在能量和動量表象中在能量和動量表象中的具體表示的具體表示形式形式。解：解：（1）能量表象）能量表象： 2sinnnxxaa能量本征函數(shù)能量本征函數(shù) 12sinnnnxxaExaa *11( )nnnnaExx能量算符能量算符的本征函數(shù)的本征函數(shù)在自身在自身表象表象中也取中也取函數(shù)函數(shù)形式形式。110 0A M 一般結(jié)論一般結(jié)論: : 力學(xué)量力學(xué)量算符的本征函數(shù)在自身算符的本征函數(shù)在自身表象表象中是中是函數(shù)。函數(shù)。00 10mA MM第第m m行行1m具體地看具體地看態(tài)態(tài)1態(tài)態(tài)m *111( )nnnaEx

11、x *( )mnmmnnaExx 1/21 2ipxpxehh動量本征函數(shù)動量本征函數(shù)（2 2）動量表象動量表象: :102( )sin( )( )apxxc px dpaa 1pc pxx dx1/2012( )sin.2iapxc px edxaa22221 /ipaaep ahhh123 aAaar三維矢量空間三維矢量空間123, eeevvv基矢構(gòu)成完備集：基矢構(gòu)成完備集：正交歸一條件：正交歸一條件：. nmnme ev v31 12 23 31 i iiAaeaea ea evrvvv任一矢量都可以通過基矢展開（投影）：任一矢量都可以通過基矢展開（投影）：1e2e3eA矢量與展開系數(shù)

12、所構(gòu)成的坐標(biāo)矩陣有對應(yīng)關(guān)系矢量與展開系數(shù)所構(gòu)成的坐標(biāo)矩陣有對應(yīng)關(guān)系4 . H i l b e r t 4 . H i l b e r t 空 間空 間12( )( ) ( )na ta ta tM量子力學(xué)的態(tài)空間量子力學(xué)的態(tài)空間12, .,nuuu本征函數(shù)本征函數(shù)構(gòu)成完備集：構(gòu)成完備集：正交歸一化條件：正交歸一化條件：(),mnmnuu1122( )( )( ).( )nnnnna t ua t ua t ua t u任一任一態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù)都可以在這個完備集上展開：都可以在這個完備集上展開：態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù)與展開系數(shù)所構(gòu)成的坐標(biāo)矩陣有對應(yīng)關(guān)系與展開系數(shù)所構(gòu)成的坐標(biāo)矩陣有對應(yīng)關(guān)系矢量空間與態(tài)空間的對應(yīng)

13、矢量空間與態(tài)空間的對應(yīng)矢量空間量子力學(xué)態(tài)空間矢量空間量子力學(xué)態(tài)空間維度維度n n完備集完備集基矢基矢集集本征函數(shù)本征函數(shù)集集uu1 1,u,u2 2,u,un n 123, eeevvv. nmnme ev v( ,1,2,3)n m正交正交歸一歸一(),mnmnuu完備性完備性31 i iiPAerr( ) nnna t u矩陣矩陣表示表示123PAAA12( )( ) ( )na tatat M歸一化歸一化1 1P P (, ) nnatu iiAe Prrg投影投影系數(shù)系數(shù)選定一個選定一個特定力學(xué)量特定力學(xué)量 表象，就相當(dāng)于表象，就相當(dāng)于在矢量空在矢量空間選定一間選定一種種坐標(biāo)系坐標(biāo)系,

14、 ,力學(xué)量力學(xué)量算符算符 的的正交歸一正交歸一完備本完備本征函數(shù)征函數(shù)系系 構(gòu)成這個坐標(biāo)系的基矢構(gòu)成這個坐標(biāo)系的基矢基底基底。QnuQ3 3選取不同力學(xué)量選取不同力學(xué)量表象表象，相當(dāng)于選定不同，相當(dāng)于選定不同坐標(biāo)系坐標(biāo)系結(jié)論結(jié)論. .任意任意態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù) 就相當(dāng)于矢量空間的一個矢量，在就相當(dāng)于矢量空間的一個矢量，在 基底基底上的上的展開系數(shù)展開系數(shù)矩陣矩陣稱為稱為在在表象中的表示表象中的表示QQ. .數(shù)學(xué)上把這種由線性函數(shù)系張開的一個數(shù)學(xué)上把這種由線性函數(shù)系張開的一個多維多維矢量空矢量空間稱為間稱為HilbertHilbert空間。波函數(shù)就是空間。波函數(shù)就是HilbertHilbert空間的一

15、個空間的一個矢量，稱為態(tài)矢量，可用其空間任一基組上的展開矢量，稱為態(tài)矢量，可用其空間任一基組上的展開系系數(shù)數(shù)矩陣矩陣來代替來代替作業(yè)：作業(yè)：（1 1）求坐標(biāo)算符求坐標(biāo)算符x x的本征函數(shù)，及其在動量表象中的的本征函數(shù)，及其在動量表象中的具體形式。具體形式。（2 2）證明：一般力學(xué)證明：一般力學(xué)量量算符的算符的本征函數(shù)本征函數(shù)在自身在自身表象表象中中都具有都具有函數(shù)的形式函數(shù)的形式（3 3）作業(yè)作業(yè)：已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)),(32),(312111 YY 試問：試問： （1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征態(tài)？的本征態(tài)？ （2 2）是否是是否是 L Lz z 的

16、本征態(tài)？的本征態(tài)？ （3 3）求）求 L L2 2 的平均值；的平均值； （4 4）在）在 態(tài)中分別測量態(tài)中分別測量 L L2 2 和和 L Lz z 時得到的時得到的可能值可能值及其及其相應(yīng)的幾率。相應(yīng)的幾率。解解： ),(32),(31)1(211122 YYLL 212112)12(232)11(131YY 211122312YY 沒有確定的沒有確定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故 不是不是 L L2 2 的本征態(tài)。的本征態(tài)。 ),(32),(31)2(2111 YYLLzz21113231YY 21113231YY是是 L Lz z 的本征態(tài)，本征值為的本征態(tài)，本征值為 。（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I）已歸一化已歸一化（ dxxFxF)()(*驗證歸一化：驗證歸一化： dc *21 dYYYYc2111211123231*3231 dYYYYYYYYc11212111212111112*92*92*94*9122959491cc 53 c歸一化波函數(shù) 21113231YYc dLL2*2 dYYLYY211122111251