第二節(jié)二重積分的計(jì)算法(2)

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束1一、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、小結(jié) 思考題第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法( () )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分首先分割區(qū)域首先分割區(qū)域D 常數(shù)（一系列同心圓）常數(shù)（一系列同心圓） 射線）射線）常數(shù)（一系列過(guò)極點(diǎn)的常數(shù)（一系列過(guò)極點(diǎn)的 兩組曲線將兩組曲線將D分割成許多小區(qū)域分割成許多小區(qū)域AoD用用1.極坐標(biāo)系下二重積分表達(dá)式極坐標(biāo)系下二重積分表達(dá)式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束3AoDii ii iii

2、分割區(qū)域分割區(qū)域 sincos yx再再作作代代換換將典型小區(qū)域?qū)⒌湫托^(qū)域近似看作矩形（近似看作矩形（面積面積= =長(zhǎng)長(zhǎng)寬寬）則則 面積元素面積元素 ddd 扇形扇形弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)徑向徑向?qū)挾葘挾萪ddd機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束4.)sin,cos(),( DDddfdxdyyxf 則則二重積分極坐標(biāo)二重積分極坐標(biāo)表達(dá)表達(dá)式式可得下式可得下式【注意注意】極坐標(biāo)系下的面積元素為極坐標(biāo)系下的面積元素為dd d 直角坐標(biāo)系下的面積元素為直角坐標(biāo)系下的面積元素為ddxdy 區(qū)別區(qū)別機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束5.)sin,cos()()(21

3、 dfd Dddf )sin,cos(2. .二重積分化為二次積分的公式二重積分化為二次積分的公式區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 （1）極點(diǎn)極點(diǎn)O在區(qū)域在區(qū)域D的邊界曲線之外時(shí)的邊界曲線之外時(shí) ADo)(1 )(2 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束6若區(qū)域特征如圖若區(qū)域特征如圖, ).()(21 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(AoD)(2 )(1 特別地特別地機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束7AoD)( .)sin,cos()(0 dfd（2）極點(diǎn)極點(diǎn)O恰在區(qū)域恰在區(qū)域D的邊界曲線之上時(shí)的邊

4、界曲線之上時(shí)區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 Dddf )sin,cos(（1）的特例的特例機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束8 Dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd3. 極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Ddd 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 DoA)( ,2 0（3）極點(diǎn)極點(diǎn)O在區(qū)域在區(qū)域D的邊界曲線之內(nèi)時(shí)的邊界曲線之內(nèi)時(shí)（2）的特例的特例機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束9觀察練習(xí)觀察練習(xí) 下列各圖中區(qū)域下列各圖中區(qū)域 D 分別與分別與 x , y 軸相切軸相切于原點(diǎn)于原點(diǎn),試試問(wèn)問(wèn) 的變化范圍

5、是什么的變化范圍是什么? ?答答: : ;0)1( )(rDoyx)(rDoyx(1)(2)22)2( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束101 yx122 yx【解解】 sincosyx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 dfd機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束11【解解】D：a 0， 20. dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae xyo的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) , ,故本題無(wú)法故本題無(wú)法【注注】1.由于由于用直角坐標(biāo)計(jì)算用直角坐標(biāo)計(jì)算. .2xe 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè)

6、下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束12【注】2.利用利用例例2可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中以及工程上非常有用的以及工程上非常有用的反常反常積分公式積分公式2d02 xex事實(shí)上事實(shí)上, 當(dāng)當(dāng)D 為為 R2 時(shí)時(shí), Dyxyxedd22 yexeyxdd22 20d42 xex利用利用例例2的結(jié)果的結(jié)果, 得得 )1(limd42220aaxexe 故故式成立式成立 .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束1332 61 sin4 r Dyxyxdd)(22 sin4sin22drrr)32( 15 yyx422 yyx222 03 yx【解解】03

7、 xy sin2 roxy24 36d 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束14【解解】 Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42 dd. 4 14DD 1D注意被積函數(shù)要有奇偶性注意被積函數(shù)要有奇偶性, ,積分區(qū)積分區(qū)域同時(shí)要有對(duì)稱性域同時(shí)要有對(duì)稱性. . 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束15【解解】)(2)(222222yxayx ,222aayx 1D,2cos2 a 14Ddxdy 2cos2064aadd).33(2 a機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束16二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在極坐