中考攻略專題9幾何三大變換之對稱探討含答案

1、【2013年中考攻略】專題9：幾何三大變換之軸對稱探討軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換。由一個平面圖形變?yōu)榱硪粋€平面圖形，并使這兩個圖形關(guān)于某一條直線成軸對稱，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對稱變換。軸對稱具有這樣的重要性質(zhì)： （1）成軸對稱的兩個圖形全等；（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。在初中數(shù)學以及日常生活中有著大量的軸對稱和軸對稱變換的知識，是中考數(shù)學的必考內(nèi)容。結(jié)合2012年全國各地中考的實例，我們從下面九方面探討軸對稱和軸對稱變換：（1）軸對稱和軸對稱圖形的識別和構(gòu)造；（2）線段、角的軸對稱性；（3）等腰（邊）三角形的軸對稱性；（4）矩形、菱形、正方

2、形的軸對稱性；（5）等腰梯形的軸對稱性；（6）圓的軸對稱性；（7）折疊的軸對稱性；（8）利用軸對稱性求最值；（9）平面解析幾何中圖形的軸對稱性。一、軸對稱和軸對稱圖形的識別和構(gòu)造：典型例題：例1. （2012重慶市4分）下列圖形中，是軸對稱圖形的是【 】ABCD【答案】B?！究键c】軸對稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合。因此，A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，故本選項正確；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤。故選B。例2. （2012廣東湛江4分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的

3、是【 】A B C D【答案】A。【考點】軸對稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，因此A、是軸對稱圖形，符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意。故選A。例3. （2012四川達州3分）下列幾何圖形中，對稱性與其它圖形不同的是【 】【答案】A?！究键c】軸對稱圖形，中心對稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱及中心對稱的定義，分別判斷各選項，然后即可得出答案：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；B、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；C、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；D、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。故可

4、得選項A與其他圖形的對稱性不同。故選A。例4. （2012廣西柳州3分）娜娜有一個問題請教你，下列圖形中對稱軸只有兩條的是【 】【答案】C?！究键c】軸對稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱圖形的概念，分別判斷出四個圖形的對稱軸的條數(shù)即可： A、圓有無數(shù)條對稱軸，故本選項錯誤；B、等邊三角形有3條對稱軸，故本選項錯誤；C、矩形有2條對稱軸，故本選項正確；D、等腰梯形有1條對稱軸，故本選項錯誤。故選C。例5. （2012福建三明8分）如圖，已知ABC三個頂點的坐標分別為A（2，1），B（3，3），C（1，3）.畫出ABC關(guān)于x軸對稱的A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（4分）畫出ABC關(guān)于原點O對稱的A2B

5、2C2，并寫出點A2的坐標.（4分）【答案】解：如圖所示，A1（2，1）。如圖所示，A2（2，1）。 【考點】軸對稱和中心對稱作圖?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱和中心對稱的性質(zhì)作圖，寫出A1、A2的坐標。例6. （2012四川樂山9分）如圖，在1010的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點ABC（即三角形的頂點都在格點上）（1）在圖中作出ABC關(guān)于直線l對稱的A1B1C1；（要求：A與A1，B與B1，C與C1相對應(yīng)）（2）在（1）問的結(jié)果下，連接BB1，CC1，求四邊形BB1C1C的面積【答案】解：（1）如圖，A1B1C1 是ABC關(guān)于直線l的對稱圖形。（2）由圖得四邊形BB1C1C

6、是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4。S四邊形BB1C1C?！究键c】作圖（軸對稱變換）。【分析】（1）關(guān)于軸對稱的兩個圖形，各對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分作BM直線l于點M，并延長到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的對應(yīng)點A1，C1，連接相鄰兩點即可得到所求的圖形。（2）由圖得四邊形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根據(jù)梯形的面積公式進行計算即可。例7. （2012貴州安順4分）在鏡中看到的一串數(shù)字是“”，則這串數(shù)字是 【答案】309087?！究键c】鏡面對稱?！痉治觥磕靡幻骁R子放在題目所給數(shù)字的對面，很容易從鏡子里看到答案是309087。例8. （2012福建

7、寧德4分）將一張正方形紙片按圖、圖所示的方式依次對折后，再沿圖中的虛線裁剪，最后將圖中的紙片打開鋪平，所得到的圖案是【 】A B C D【答案】B?！究键c】剪紙問題【分析】根據(jù)題中所給剪紙方法，進行動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)，展開得到的圖形如選項B中所示。故選B。例9. （2012福建龍巖12分）如圖1，過ABC的頂點A作高AD，將點A折疊到點D（如圖2），這時EF為折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再將BED和CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH（如圖3），我們稱矩形EFGH為ABC的邊BC上的折合矩形 （1）若ABC的面積為6，則折

8、合矩形EFGH的面積為 ；（2）如圖4，已知ABC，在圖4中畫出ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD= ，正方形EFGH的對角線長為 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形EFGH： （3）2a ； 。 【考點】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）由折疊對稱的性質(zhì)，知折合矩形EFGH的面積為ABC的面積的一半， （2）按題意，作出圖形即可。 （3）由如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形邊長為a，BC邊上的高AD為EFGH邊長的兩倍2a

9、。 根據(jù)勾股定理可得正方形EFGH的對角線長為。 例10.（2012山東濰坊3分）甲乙兩位同學用圍棋子做游戲如圖所示，現(xiàn)輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5個棋子組成軸對稱圖形，白棋的5個棋子也成軸對稱圖形則下列下子方法不正確的是【 】說明：棋子的位置用數(shù)對表示，如A點在(6，3)A黑(3，7)；白(5，3) B黑(4，7)；白(6，2)C黑(2，7)；白(5，3) D黑(3，7)；白(2，6)【答案】C?！究键c】利用軸對稱設(shè)計圖案。【分析】分別根據(jù)選項所說的黑、白棋子放入圖形，再由軸對稱的定義進行判斷即可得出答：A、若放入黑（3，7），白（5，3），則此時黑棋是軸對稱圖形，白棋

10、也是軸對稱圖形；B、若放入黑（4，7）；白（6，2），則此時黑棋是軸對稱圖形，白棋也是軸對稱圖形；C、若放入黑（2，7）；白（5，3），則此時黑棋不是軸對稱圖形，白棋是軸對稱圖形；D、若放入黑（3，7）；白（6，2），則此時黑棋是軸對稱圖形，白棋也是軸對稱圖形。故選C。練習題：1. （2012浙江寧波3分）下列交通標志圖案是軸對稱圖形的是【 】ABCD2. （2012江蘇連云港3分）下列圖案是軸對稱圖形的是【 】 A B C D3. （2012貴州遵義4分）在44的方格中有五個同樣大小的正方形如圖擺放，移動其中一個正方形到空白方格中，與其余四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法共有

11、 種4.（2012貴州遵義3分）把一張正方形紙片如圖、圖對折兩次后，再如圖挖去一個三角形小孔，則展開后圖形是【 】 A B C D5.（2012廣西欽州3分）如圖所示，把一張矩形紙片對折，折痕為AB，在把以AB的中點O為頂點的平角AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O(shè)為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開平鋪后得到的平面圖形一定是【 】A正三角形 B正方形 C正五邊形 D正六邊形6. （2012四川廣安8分）現(xiàn)有一塊等腰三角形板，量得周長為32cm，底比一腰多2cm，若把這個三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個四邊形，請畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖，并計算拼

12、成的各個四邊形的兩條對角線長的和7. （2012浙江杭州4分）如圖，平面直角坐標系中有四個點，它們的橫縱坐標均為整數(shù)若在此平面直角坐標系內(nèi)移動點A，使得這四個點構(gòu)成的四邊形是軸對稱圖形，并且點A的橫坐標仍是整數(shù)，則移動后點A的坐標為 8. （2012廣東廣州12分）如圖，P的圓心為P（3，2），半徑為3，直線MN過點M（5，0）且平行于y軸，點N在點M的上方（1）在圖中作出P關(guān)于y軸對稱的P根據(jù)作圖直接寫出P與直線MN的位置關(guān)系（2）若點N在（1）中的P上，求PN的長9. （2012湖南郴州6分）作圖題：在方格紙中：畫出ABC關(guān)于直線MN對稱的A1B1C1二、線段、角的軸對稱性：典型例題：例1

13、. （2012湖北恩施3分）如圖，ABCD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，EG平分BEF，交CD于點G，1=50，則2等于【 】A50 B60 C65 D90【答案】C?！究键c】平行線的性質(zhì)，角平分線的定義?！痉治觥緼BCD，BEF+1=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）。1=50，BEF=130（等量代換）。EG平分BEF，BEG=BEF=65（角平分線的定義）。2=BEG=65（兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理）。故選C。例2. （2012海南省3分）如圖，在ABC中，B與C的平分線交于點O. 過O點作DEBC，分別交AB、AC于D、E若AB=5，AC=4，則ADE的周長是 .【答案】9。

14、【考點】角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定?！痉治觥縊B是B的平分線，DBO=OBC。 又DEBC，OBC =BOD。DBO=BOD。DO=DB。 同理，EO=EC。 又AB=5，AC=4， ADE的周長=ADDEAE=ADDOEOAE=ADDBECAE=ABAC=54=9。例3.（2012廣東梅州3分）如圖，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，則EF= 【答案】2。【考點】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥孔鱁GOA于F，EFOB，OEF=COE=15，AOE=15，EFG=15+15=30。EG=CE=1，EF=2

15、1=2。例3.（2012貴州銅仁5分）某市計劃在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個入口A、B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A、B、C的位置如圖所示，請在原圖上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴泉M的位置，（要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖）【答案】解：作圖如下：M即為所求。【考點】作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖）?！痉治觥窟B接AB，作出線段AB的垂直平分線，在矩形中標出點M的位置（以點C為圓心，AB長為半徑畫弧交AB的垂直平分線于點M）。例4.（2012山東德州8分）有公路l1同側(cè)、l2異側(cè)的兩個城鎮(zhèn)A，B，如下圖電信部門要

16、修建一座信號發(fā)射塔，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點C的位置（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）【答案】解：作圖如下：C1，C2就是所求的位置?！究键c】作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖）?！痉治觥扛鶕?jù)題意知道，點C應(yīng)滿足兩個條件，一是在線段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點C應(yīng)是它們的交點。（1）作兩條公路夾角的平分線OD或OE；（2）作線段AB的垂直平分線FG。則射線OD，OE與直線FG的交點C1，C2就是所求的位置。練習題：1. （2012湖南懷化3分）如圖，已

17、知ABCD，AE平分CAB，且交CD于點D，C=110，則EAB為【 】A30 B35 C40 D452. （2012貴州黔南4分）如圖，已知直線ABCD，BE平分ABC，交CD于D，CDE=1500，則C的度數(shù)是【 】A1500 B1300 C1200 D10003. （2012云南省3分）如圖，在中，AD是的角平分線，則CAD的度數(shù)為【 】4. （2012浙江嘉興、舟山5分）在直角ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于點D，若CD=4，則點D到斜邊AB的距離為 5.（2012湖南婁底4分）如圖，F(xiàn)EON，OE平分MON，F(xiàn)EO=28，則MFE= 度三、等腰（邊）三角形的軸對稱性：典型例

18、題：例1. （2012黑龍江牡丹江6分）已知一個等腰三角形的腰長為5，底邊長為8，將該三角形沿底邊上的高剪成兩個三角形，用這個兩個三角形能拼成幾種平行四邊形？請畫出所拼的平行四邊形，直接寫出它們的對角線的長，并畫出體現(xiàn)解法的輔助線【答案】解：能拼成3種平行四邊形，如圖： 圖1中，對角線的長為5； 圖2中，對角線的長為3和；圖3中，對角線的長為4和【考點】拼圖，等腰三角形的的性質(zhì)，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥扛鶕?jù)平行四邊形的性質(zhì)拼圖。圖1中，拼成的平行四邊形是矩形，對角線的長為5；圖2中，一條對角線的長為3，另一條對角線的長為；圖2中，一條對角線的長為3，另一條對角線的長為。

19、例2.（2012福建三明4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，點P在x軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有【 】A 2個 B 3個 C4個 D5個【答案】C?！究键c】等腰三角形的判定?！痉治觥咳鐖D，分OP=AP（1點），OA=AP（1點），OA=OP（2點）三種情況討論。 以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有4個。故選C。例3. （2012湖北荊門3分）如圖，ABC是等邊三角形，P是ABC的平分線BD上一點，PEAB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q若BF=2，則PE的長為【 】A 2 B 2 C D 3【答案

20、】C?！究键c】等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的性質(zhì)。【分析】ABC是等邊三角形，點P是ABC的平分線，EBP=QBF=30，BF=2，F(xiàn)QBP，BQ=BFcos30=2。FQ是BP的垂直平分線，BP=2BQ=2。在RtBEF中，EBP=30，PE=BP=。故選C。例4. （2012上海市4分）我們把兩個三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一個平面內(nèi)有兩個邊長相等的等邊三角形，如果當它們的一邊重合時，重心距為2，那么當它們的一對角成對頂角時，重心距為 【答案】4?！究键c】三角形的重心，等邊三角形的性質(zhì)。【分析】設(shè)等邊三角形的中線長為a，則其重

21、心到對邊的距離為：， 它們的一邊重合時（圖1），重心距為2，解得a=3。當它們的一對角成對頂角時（圖2）重心=。例5. （2012黑龍江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E為AB邊的中點，P為CD邊上的點，且AEP是腰長為5的等腰三角形，則DP= 【答案】4或1或9。【考點】矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)題意， AB=10，BC=3，E為AB邊的中點， AE=5，AD=3。 若AE=AP=5，則在RtADP1中， 由勾股定理，得DP1=4。 若AE=PE=5，A作EFCD于點F，則EF=3，DF=5在RtEFP2中，P2F=4，DP2=DFP2

22、F=1：在RtEFP3中，P3F=4，DP3=DFP3F=9。另AP=EP=5不成立。綜上所述，DP=4或1或9。例6. （2012湖北隨州8分）如圖,在ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上.求證：（1）ABDACD；(2)BE=CE【答案】證明：（1）D是BC的中點，BD=CD。 在ABD和ACD中，BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共邊)，ABCACD（SSS）。（2）由（1）知ABDACD，BAD=CAD，即BAE=CAE。在ABE和ACE中， AB=AC，BAE=CAD，AE=AE，ABEACE （SAS）。BE=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。【考點】等腰三角形的

23、性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)全等三角形的判定定理SSS可以證得ABDACD。（2）由（1）的全等三角形的對應(yīng)角相等可以推知BAE=CAE；根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知ABEACE；由全等三角形的對應(yīng)邊相等知BE=CE。練習題：1. （2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，ABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC若ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為【 】A2 B3 C D2. （2012湖北孝感3分）如圖，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于點D若AC2，則AD的長是【 】3. （2012江蘇淮安3分）如圖

24、，ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，若BAC=700，則BAD= 0。4. （2012四川瀘州5分）如圖，ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側(cè)，連結(jié)AE。求證：AEBC5. （2012甘肅白銀10分）如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的軸對稱性：典型例題：例1. （2012遼寧沈陽3分）如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，則圖中的等腰直角三角形有【 】A

25、4個 B6個 C8個 D10個【答案】C?！究键c】等腰直角三角形的判定，正方形的性質(zhì)?！痉治觥空叫蜛BCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四個角都是直角，ACBD。圖中的等腰直角三角形有AOB、AOD、COD、BOC、ABC、BCD、ACD、BDA八個。故選C。例2. （2012安徽省4分）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為，則陰影部分的面積為【 】A.2 B. 3 C. 4 D.5【答案】A。【考點】正多邊形和圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方

26、形的性質(zhì)。【分析】圖案中間的陰影部分是正方形，面積是，由于原來地磚更換成正八邊形，四周一個陰影部分是對角線為的正方形的一半，它的面積用對角線積的一半來計算：。故選A。例3. （2012山西省2分）如圖，已知菱形ABCD的對角線ACBD的長分別為6cm、8cm，AEBC于點E，則AE的長是【 】A B C D【答案】D?！究键c】菱形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】四邊形ABCD是菱形，CO=AC=3，BO=BD=，AOBO，。又，BCAE=24，即。故選D。例4. （2012江蘇南通3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC8cm，AOD120，則AB的長為【 】Acm B2cm C2cm D4cm【答案】

27、D?！究键c】矩形的性質(zhì)，平角定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)。【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，AOD=120，AOB=180120=60。AOB是等邊三角形。AB=AO=4cm。故選D。例5. （2012湖北恩施3分）如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，A=120，則圖中陰影部分的面積是【 】A B2 C3 D【答案】A?！究键c】菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】如圖，設(shè)BF、CE相交于點M，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，BCMBGF，即。解得CM=1.2。DM=21.2=0.8。A=120，ABC

28、=180120=60。菱形ABCD邊CD上的高為2sin60=2，菱形ECGF邊CE上的高為3sin60=3。陰影部分面積=SBDM+SDFM=0.8+0.8。故選A。例6. （2012廣東深圳3分）如圖，RtABC中，C= 90o，以斜邊AB為邊向外作正方形 ABDE，且正方形對角線交于點D，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長為 例7. （2012上海市12分）己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD，BAF=DAE，AE與BD交于點G（1）求證：BE=DF；（2）當時，求證：四邊形BEFG是平行四邊形【答案】證明：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=AD，

29、ABC=ADF，BAF=DAE，BAFEAF=DAEEAF，即：BAE=DAF。BAEDAF（ASA）。BE=DF。（2）四邊形ABCD是菱形，ADBC。ADGEBG。又BE=DF ，。GFBC。DGF=DBC=BDC。DF=GF。又BE=DF ，BE=GF。四邊形BEFG是平行四邊形?！究键c】菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定。【分析】（1）由菱形的性質(zhì)和BAF=DAE，證得ABF與AFD全等后即可證得結(jié)論。（2）由ADBC證得ADGEBG，從而；由和BE=DF即可得證得。從而根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FGBC，進

30、而得到DGF=DBC=BDC，根據(jù)等腰三角形等角對等邊的判定和BE=DF ，證得BE=GF。利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊形。例8. （2012湖南婁底9分）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是ADBC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點（1）求證：MBANDC；（2）四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由【答案】解：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90。 在矩形ABCD中，M、N分別是ADBC的中點，AM=AD，CN=BC。AM=CN。在MAB和NDC中，AB=CD，A=C=90，AM=CN MABNDC（SAS）。（2）四邊形MPNQ是菱形

31、，理由如下：連接AN，易證：ABNBAM，AN=BM。MABNDC，BM=DN。P、Q分別是BM、DN的中點，PM=NQ。DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP，MQDNPB（SAS）。MQ=PN。 四邊形MPNQ是平行四邊形。M是AB中點，Q是DN中點，MQ=AN，MQ=BM。又MP=BM，MP=MQ。四邊形MQNP是菱形?！究键c】矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點的定義，利用SAS判定MBANDC。（2）四邊形MPNQ是菱形，連接AN，由（1）可得到BM=CN，再有中點得到PM=NQ，再通過證明MQDNPB得到MQ

32、=PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質(zhì)可得：MP=MQ，從而證明四邊形MQNP是菱形。例9.（2012湖北黃岡7分）如圖，在正方形ABCD 中，對角線AC、BD 相交于點O，E、F 分別在OD、OC 上，且DE=CF，連接DF、AE，AE 的延長線交DF于點M. 求證：AMDF.【答案】證明：ABCD是正方形，OD=OC。 又DE=CF，ODDE=OCCF，即OF=OE。在RtAOE和RtDOF中，AO=DO ，AOD=DOF， OE=OF ，AOEDOF（SAS）。OAE=ODF。OAE+AEO=90，AEO=DEM，ODF+DEM=90。AMDF?！究键c】正方形

33、的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系?！痉治觥坑蒁E=CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出OE=OF，從而證明AOEDOF，得出OAE=ODF，然后利用等角代換可得出DME=90，即得出了結(jié)論。例10.（2012貴州貴陽10分）如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上（1）求證：CE=CF；（2）若等邊三角形AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長練習題：1. （2012陜西省3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，OEAB，垂足為E，若ADC=1300，則AOE的大小為【 】A75 B65 C55 D502. （2012江蘇蘇州3分

34、）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CEBD，DEAC.若AC=4，則四邊形CODE的周長是【 】A.4 B.6 C.8 D. 103. （2012江蘇徐州3分）如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=BC。圖中相似三角形共有【 】A1對 B2對 C3對 D4對4. （2012貴州畢節(jié)3分）如圖，在正方形ABCD中，以A為頂點作等邊AEF，交BC邊于E，交DC邊于F；又以A為圓心，AE的長為半徑作。若AEF的邊長為2，則陰影部分的面積約是【 】（參考數(shù)據(jù)：，取3.14）A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.365. （2012安徽省5分

35、）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，則S4=2 S2 若S1= S2，則P點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.6. （2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到AME當AB=1時，AME的面積記為S1；當AB=2時，AME的面積

36、記為S2；當AB=3時，AME的面積記為S3；當AB=n時，AME的面積記為Sn當n2時，SnSn1= 7. （2012重慶市10分）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作MECD于點E，1=2（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME8. （2012四川涼山7分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，點E在AD邊上，且AE=8，EFBE交CD于F（1）求證：ABEDEF；（2）求EF的長9.（2012四川內(nèi)江9分）如圖，矩形ABCD中，E是BD上的一點，BAE=BCE，AED=CED，點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相

37、交于點F。（1） 求證：四邊形ABCD是正方形；（2） 當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。10. （2012貴州黔南12分）如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD邊上的點，且AEEF，BE=2（1）求EC：CF值；（2）延長EF交正方形BCD的外角平分線CP于點P（圖2），試判斷AE與EP大小關(guān)系，并說明理由；（3）在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由。五、等腰梯形的軸對稱性：典型例題：例1. （2012廣東廣州3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，BCAD，AD=5，DC=4，

38、DEAB交BC于點E，且EC=3，則梯形ABCD的周長是【 】A26B25C21D20【答案】C?！究键c】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)。【分析】BCAD，DEAB，四邊形ABED是平行四邊形。BE=AD=5。EC=3，BC=BE+EC=8。四邊形ABCD是等腰梯形，AB=DC=4。梯形ABCD的周長為：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故選C。例2. （2012福建漳州4分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=80o，則D的度數(shù)是【 】 A120o B110o C100o D80o【答案】C。【考點】等腰梯形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)?！痉治觥緼DBC，B=80

39、，A=180B=18080=100。四邊形ABCD是等腰梯形，D=A=100。故選C。例3. （2012山東臨沂3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，對角線ACBD相交于點O，下列結(jié)論不一定正確的是【 】AAC=BDBOB=OCCBCD=BDCDABD=ACD【答案】C?！究键c】等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形邊角關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理。【分析】A四邊形ABCD是等腰梯形，AC=BD，故本選項正確。B四邊形ABCD是等腰梯形，AB=DC，ABC=DCB，在ABC和DCB中，AB=DC，ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB（SAS）。ACB=DBC。OB

40、=OC。故本選項正確。CBC和BD不一定相等，BCD與BDC不一定相等，故本選項錯誤。DABC=DCB，ACB=DBC，ABD=ACD。故本選項正確。故選C。例4. （2012山東煙臺3分）如圖，在平面直角坐標中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點坐標為（4，0），D點坐標為（0，3），則AC長為【 】A4B5C6D不能確定【答案】B?！究键c】等腰梯形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，連接BD，由題意得，OB=4，OD=3，根據(jù)勾股定理，得BD=5。又ABCD是等腰梯形，AC=BD=5。故選B。例5. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACB

41、D，AD=3，BC=7，則梯形的面積是【 】A25 B50 C D【答案】A?！究键c】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?過點D作DEAC交BC的延長線于點E，作DFBC于F。ADBC，DEAC，四邊形ACED是平行四邊形。AD=CE=3，AC=DE。在等腰梯形ABCD中，AC=DB，DB=DE。ACBD，ACDE，DBDE。BDE是等腰直角三角形。DF=BE=5。S梯形ABCD=（AD+BC）DF=（3+7）5=25。故選A。例6. （2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，ACBD，E、F、G、

42、H分別為AB、BC、CD、DA的中點（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。【答案】（1）證明：在ABC中， E、F分別是AB、BC的中點，EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。在梯形ABCD中，AB=DC，AC=BD。EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形。設(shè)AC與EH交于點M，在ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，則EHBD，同理GHAC。又ACBD，BOC=90。EHG=EMC=90。四邊形EFGH是正方形。（2）解：連接EG。在梯形ABCD中，E、F分別是AB、DC的中點，。在RtEHG中，EH2+GH2=EG2，

43、EH=GH，即四邊形EFGH的面積為。【考點】三角形中位線定理，等腰梯形的性質(zhì)，正方形的判定，梯形中位線定理，勾股定理?！痉治觥浚?）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由ACBD入手，進行正方形的判斷。（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出 ，也即得出了正方形EHGF的面積。例7. （2012湖南永州8分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，且AE=GF=GC求證：四邊形AEFG為平行四邊形【答案】證明：梯形ABCD是等腰梯形，ADBC，B=C（等腰梯形底角相等）。GF=GC，GFC=C（等邊對等角）。GFC=

44、B（等量代換）。ABGF（同位角相等，兩直線平行）。又AE=GF，四邊形AEFG是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。【考點】等腰梯形和三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定?！痉治觥坑傻妊菪蔚男再|(zhì)可得出B=C，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到C=GFC，所以B=GFC，故可得出ABGF，再由AE=GF即可得出結(jié)論。練習題：1. （2012江蘇無錫3分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分線交BC于E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于【 】A17B18C19D202. （2012福建廈門4分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，對

45、角線AC 與BD相交于點O，若OB3，則OC 3. （2012遼寧營口3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，過點D作DFBC于F若AD=2，BC=4，DF=2，則DC的長為 4. （2012江蘇蘇州6分）如圖，在梯形ABCD中，已知ADBC，AB=CD，延長線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC. 求證：ABECDA； 若DAC=40，求EAC的度數(shù).5. （2012湖南懷化10分）如圖，在等腰梯形ABCD中，點E為底邊BC的中點，連結(jié)AE、DE求證：AE=DE6. （2012四川南充6分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，點E是AD延長線上的一點，且CE=CD，求證：B=E六、圓

46、的軸對稱性：典型例題：例1. （2012陜西省3分）如圖，在半徑為5的圓O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為【 】A3 B4 C D例2. （2012江蘇泰州3分）如圖，ABC內(nèi)接于O，ODBC于D，A=50，則OCD的度數(shù)是【 】A40 B45 C50 D60【答案】A。【考點】圓周角定理，垂徑定理，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥窟B接OB， A和BOC是弧所對的圓周角和圓心角，且A=50，BOC=2A=100。又ODBC，根據(jù)垂徑定理，DOC=BOC=50。OCD=1800900500=400。故選A。例3. （2012四川內(nèi)江3分）如圖，AB是O的直徑，

47、弦CDA，CDB=300，CD=，則陰影部分圖形的面積為【 】 A. B. C. D.【答案】D?！究键c】垂徑定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，扇形面積公式?！痉治觥窟B接OD。CDAB，CD=，CE=DE=（垂徑定理）。陰影部分的面積等于扇形OBD的面積。又CDB=30，COB=BOD，BOD=60（圓周角定理）。OC=2。，即陰影部分的面積為。故選D。例4. （2012山東泰安3分）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是【 】ACM=DMBCACD=ADCDOM=MD【答案】D?！究键c】垂徑定理，弦、弧和圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉?/p>

48、析】AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為M，M為CD的中點，即CM=DM，選項A成立；B為的中點，即，選項B成立；在ACM和ADM中，AM=AM，AMC=AMD=90，CM=DM，ACMADM（SAS），ACD=ADC，選項C成立。而OM與MD不一定相等，選項D不成立。故選D。例5. （2012浙江衢州4分）工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為 mm【答案】8。【考點】垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理?！痉治觥窟B接OA，過點O作ODAB于點D，則AB=2AD，鋼珠的直徑是10mm，鋼珠的半徑是5m

49、m。鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，OD=3mm。在RtAOD中，mm，AB=2AD=24=8mm。例6. （2012山東東營4分）某施工工地安放了一個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 cm 【答案】30?！究键c】垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理?！痉治觥慨攬A柱形飲水桶的底面半徑最大時，圓外接于ABC；連接外心與B點，可通過勾股定理即可求出圓的半徑：如圖，連接OB， 當O為ABC的外接圓時圓柱形飲水桶的底面半徑的最大。AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，O點在AD上，BD=24cm。在Rt0BD中，設(shè)半徑為r，則OB=r，OD=48r。r2=（48r）2242，解得r=30。圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值為30cm。例7. （2012青海省2分）如圖，已知點E是圓O上的點，B、C分別是劣弧AD的三等分點，BOC=46，則AED的度數(shù)為 度【答案】69?！究键c】圓周角定理?！痉治觥緽、C分別是劣弧AD的三等分點，BOC=46，AOD=138（等弧所對圓心角相等）。AED=1382=69（同弧所對圓周角是圓心角的一半）。例8. （2012江蘇南通8分）如