經濟學專業(yè)數學二階常系數線性微分方程配套課件

1、2022年年6月月2日星期四日星期四1第三節(jié) 二階常系數線性微分方程 第八章第八章 一、線性微分方程解的結構一、線性微分方程解的結構四、小結與思考練習四、小結與思考練習二、二階常系數齊次線性微分方程的求解二、二階常系數齊次線性微分方程的求解 三、二階常系數非齊次線性微分方程求解三、二階常系數非齊次線性微分方程求解 2022年年6月月2日星期四日星期四2一、二階線性微分方程舉例 當重力與彈性力抵消時當重力與彈性力抵消時, 物體處于物體處于 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài), 例例1 質量為質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動力作用下作往復運動,xxo解解:

2、阻力的大小與運動速度阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向若用手向物體在彈性力與阻物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖建立坐標系如圖.設時刻設時刻 t 物位移為物位移為 x(t).(1) 自由振動情況自由振動情況.彈性恢復力彈性恢復力物體所受的力有物體所受的力有:(虎克定律虎克定律)fk x 成正比成正比, 方向相反方向相反.建立位移滿足的微分方程建立位移滿足的微分方程.2022年年6月月2日星期四日星期四3據牛頓第二定律得據牛頓第二定律得22ddddxxmkxtt 阻力阻力txRdd22d

3、d0ddxxmkxtt即即這就是在有阻尼的情況下，描述物體這就是在有阻尼的情況下，描述物體自由振動的方程自由振動的方程。(2) 強迫振動情況強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力若物體在運動過程中還受鉛直外力sinpt，作作用用則得則得強迫振動方程強迫振動方程:22ddsinddxxmkxpttt2022年年6月月2日星期四日星期四4 可以看出，自由振動和強迫振動的微分方程都是可以看出，自由振動和強迫振動的微分方程都是二階微分方程二階微分方程而且而且未知函數未知函數及其及其各階導數各階導數都是都是一次冪一次冪的，的， 我們把這種方程稱為我們把這種方程稱為二階線性微分方程二階線性微分方程。

4、其一般形式可其一般形式可表示為表示為( )( )( ),yP x yQ x yf xn 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為的一般形式為)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時時, 稱為稱為非齊次非齊次的方程的方程0)(xf時時, 稱為稱為齊次齊次的方程的方程.0)(xf2022年年6月月2日星期四日星期四5 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢證畢二、線性微分方程解的結構)(),(21xyxy若函數是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解的兩個解,也是該方程的解也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊代

5、入方程左邊, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數CC定理定理1 2022年年6月月2日星期四日星期四6不一定不一定是所給二階方程的通解是所給二階方程的通解.例如例如,)(1xy是某二階齊次方程的解是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是并不是通解通解但是但是)()(2211xyCxyCy則則為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, 下面引入函數的下面

6、引入函數的線性相關線性相關與與 線性無關線性無關概念概念. 說明說明:2022年年6月月2日星期四日星期四7)(,),(),(21xyxyxyn設是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 I 上的上的 n 個函數個函數,21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這則稱這 n個函數在個函數在 I 上上線性相關線性相關, 否則稱為否則稱為線性無關線性無關.例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間故它們在任何區(qū)間 I 上都上都線性相關線性相關;又如，又如，,12xx若在某區(qū)間若在某區(qū)間 I 上上,02321xkxk

7、k則根據二次多項式至多只有兩個零點則根據二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為必需全為 0 ,可見可見2,1xx故在任何區(qū)間在任何區(qū)間 I 上都上都 線性無關線性無關.若存在若存在不全為不全為 0 的常數的常數定義定義2022年年6月月2日星期四日星期四8)(),(21xyxy線性相關線性相關存在不全為存在不全為 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設無妨設)01k)(),(21xyxy線性無關線性無關)()(21xyxy常數常數思考思考:)(),(21xyxy若中有一個恒為中有一個恒為 0, 則則)(),(21xyxy必線性

8、必線性相關相關0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略證明略)21, yy可微函數線性無關線性無關兩個函數在區(qū)間兩個函數在區(qū)間 I 上線性相關與線性無關的上線性相關與線性無關的充要條件充要條件:2022年年6月月2日星期四日星期四9)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解性無關特解, 則則)()(2211xyCxyCy數數) 是該方程的通解是該方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常數常數,故方程的通解為故方程的通解為xCxCysincos21推論推論nyyy,21若是是 n 階齊次方程階

9、齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 個線性無關解個線性無關解, 則方程的通解為則方程的通解為)(11為任意常數knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC定理定理 2 2022年年6月月2日星期四日星期四10)(* xy設是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一個特解的一個特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應齊次方程的通解是相應齊次方程的通解,)()()(xfyxQyxPy 則則是非齊次方程的通解是非齊次方程的通解 .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQ

10、yxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ定理定理 32022年年6月月2日星期四日星期四11)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解是非齊次方程的解,又又Y 中含有中含有兩個獨立任意常數兩個獨立任意常數,例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21對應齊次方程對應齊次方程0 yy有通解有通解因此該方程的通解為因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢證畢因而因而 也是通解也是通解 .2022年年6月月2日星期四日星期四12( ) (1, 2,)kyxkn設分別是方程分別是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(

11、nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推廣到均可推廣到 n 階階線性非齊次方程線性非齊次方程. 定理定理 42022年年6月月2日星期四日星期四13例如，例如，)(,),(),(21xyxyxyn設是對應齊次方程的是對應齊次方程的 n 個線性個線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關特解無關特解, 給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程

12、的特解是非齊次方程的特解,則非齊次方程則非齊次方程的通解為的通解為齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解2022年年6月月2日星期四日星期四1412,yy設函數設函數都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程)()(yP x yfQxx y定理定理5的解的解, 則則12yyy必為原方程對應齊次線性方程必為原方程對應齊次線性方程的特解。的特解。(0( )yP x yQ x y提示：提示：設設111( )( )( )yP x yQ xf xy （1）222( )( )( )yP x yQ xf xy （2）（1）-（2），得得121212( )( )0yyyyyxxyPQ 三、非齊

13、次線性方程與其對應齊次方程解的關系2022年年6月月2日星期四日星期四15內容小結1. 二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的概念2. 二階線性微分方程的解的結構二階線性微分方程的解的結構3.非齊次線性方程其對應齊次方程解的關系非齊次線性方程其對應齊次方程解的關系2022年年6月月2日星期四日星期四16思考練習則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).321,yyy1. 設線性無關函數設線性無關函數都是二階非齊次線性方程都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意常數是任意常數, ;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB112

14、2123( )(1);CC yC yCCy.)1()(3212211yCCyCyCD提示提示:3231,yyyy都是對應齊次方程的解且線性無關都是對應齊次方程的解且線性無關 . 3322311)()()(yyyCyyCD(反證法可證反證法可證)D2022年年6月月2日星期四日星期四172. 常系數齊次線性微分方程 第八章第八章 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation)一、常系數齊次線性微分方程定義一、常系數齊次線性微分方程定義二、常系數齊次線性方程解法二、常系數齊次線性方程解法三、小結與思考練習三、小結與思考

15、練習2022年年6月月2日星期四日星期四18一、常系數齊次線性微分方程定義0 qyypy二階二階常系數常系數齊次齊次線性方程的標準形式線性方程的標準形式)(xfqyypy 二階二階常系數常系數非齊次非齊次線性方程的標準形式線性方程的標準形式( )(1)11( )nnnnya yaya yf xn階階常系數線性微分方程的標準形式常系數線性微分方程的標準形式2022年年6月月2日星期四日星期四19二、二階常系數齊次線性方程解法基本思路基本思路: 求解常系數線性齊次微分方程求解常系數線性齊次微分方程 求特征方程求特征方程(代數方程代數方程)之根之根轉化轉化2022年年6月月2日星期四日星期四20),

16、(0為常數qpyqypy xrey 和它的導數只差常數因子和它的導數只差常數因子,代入得代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當當042qp時時, 有兩個相異實根有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關的特解方程有兩個線性無關的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數為待定常數 ),xrer函數為常數時因為,所以令的解為所以令的解為 則微分則微分其根稱為其根稱為特征根特征根.二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程:2022年年6月月2日星期四日星

17、期四21042qp時時, 特征方程有兩個相等實根特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解則微分方程有一個特解)(12xuyy 設另一特解設另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 則得則得,12xrexy 因此原方程的通解為因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru2. 當當2022年年6月月2日星期四日星期四22042qp時時, 特征方程有一對共軛復根特征方程有一對共軛復

18、根irir21,這時原方程有兩個復數解這時原方程有兩個復數解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解得原方程的線性無關特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx3. 當當2022年年6月月2日星期四日星期四23),(0為常數qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xC

19、xCeyx特特 征征 根根通通 解解以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .小結：小結：2022年年6月月2日星期四日星期四24450yyy求求方方程程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程2450 ,rr特征根特征根:1215 ,rr因此原方程的通解為因此原方程的通解為512xxyC eC e解解: 特征方程特征方程因此原方程的通解為因此原方程的通解為利用初始條件得利用初始條件得于是所求初值問題的解為于是所求初值問題的解為例例12440 ,rr221 rr特征根特征根 )(e212xCCyx. 1, 121CC2e1()xyx2022年年6月月2日星期

20、四日星期四25解解: 所給微分方程的特征方程為所給微分方程的特征方程為22100rr它有一對共軛虛根它有一對共軛虛根 113ri 213ri 故所求通解為故所求通解為 12ecos3sin3xyCxCx2022年年6月月2日星期四日星期四26xxttfxtttfxxf00d)(d)(21)(xttfxf0d)(2)()()(xfxf 這是二階常系數齊次線性方程這是二階常系數齊次線性方程.易求解易求解.2022年年6月月2日星期四日星期四27內容小結),(0為常數qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 當當時時, 通解為通解為xrxreCeCy212121rr (2) 當當時時, 通解

21、為通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當當時時, 通解為通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推廣到高階常系數線性齊次方程求通解可推廣到高階常系數線性齊次方程求通解 .課后練習課后練習習題習題83 1-22022年年6月月2日星期四日星期四28思考練習 1.求方程求方程0 yay的通解的通解 .答案答案:0a通解為通解為xCCy21:0a通解為通解為xaCxaCysincos21:0a通解為通解為xaxaeCeCy212022年年6月月2日星期四日星期四293. 常系數非齊次線性微分方程 第第八章章 (Constant coefficient non-homogen

22、eous linear differential equation)( )( )xmf xeP x型型xxPexflxcos)()( )sinnP xx型型一、一、三、小結與思考練習三、小結與思考練習二、二、2022年年6月月2日星期四日星期四30)(xfyqypy ),(為常數qp二階常系數線性非齊次微分方程二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的結構定理根據解的結構定理 , 其通解為其通解為Yy *y非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解求特解的方法求特解的方法根據根據 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系

23、數代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法待定系數法2022年年6月月2日星期四日星期四31一、 型)()(xPexfmx 為實數為實數 ,)(xPm為為 m 次多項式次多項式 .)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx設特解為設特解為, )(*xQeyx其中其中 為待定多項式為待定多項式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即則取則取),(xQm從而得到特解從而得到特解形式為形式為. )(*xQeymx)()2(

24、xQp)()(2xQqp)(xPmQ (x) 為為 m 次待定系數多項式次待定系數多項式2022年年6月月2日星期四日星期四32(2) 若若 是特征方程的是特征方程的單根單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為為m 次多項式次多項式,故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是是 m 次多項式次多項式,故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*2小結小結對方程對方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此結論可推廣到高階常系數線性微分方程此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .)(xQ )()2

25、(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即當當 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 時時,可設可設特解特解2022年年6月月2日星期四日星期四331332 xyyy求方程的一個特解的一個特解.解解: 本題本題而特征方程為而特征方程為,0322rr不是特征方程的根不是特征方程的根 .設所求特解為設所求特解為,*10bxby代入方程代入方程 :13233010 xbbxb比較系數比較系數, 得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為于是所求特解為.31*xy0,0例例52022年年6月月2日星期四日星期四34先求對應齊次方程的通解，其特征方程是先求對應齊次方程的通解，其特征方程是 0652 rrxxCCY3221ee2yAxBxC2022年年6月月2日星期四日星期四35. 2106652)106(622xxCBAxABAx. 2652,10106, 66CBAABA從而所求方程的通解為從而所求方程的通解為23212ee.xxyCCx2022年年6月月2日星期四日星期四36解解: 參見教材參見教材.解解: 參見教材參見教材.