熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理_第四版_汪志誠(chéng)_答案

1、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理_第四版_汪志誠(chéng)_ 課后答案第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.8 滿(mǎn)足的過(guò)程稱(chēng)為多方過(guò)程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量為解：根據(jù)式（1.6.1），多方過(guò)程中的熱容量 （1）對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù)，所以 （2）將多方過(guò)程的過(guò)程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9 試證明：理想氣體在某一過(guò)程中的熱容量如

2、果是常數(shù)，該過(guò)程一定是多方過(guò)程，多方指數(shù)。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有 （1）對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程有對(duì)理想氣體有氣體在過(guò)程中吸收的熱量為因此式（1）可表為 （2）用理想氣體的物態(tài)方程除上式，并注意可得 （3）將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有 （4）式（3）與式（4）聯(lián)立，消去，有 （5）令，可將式（5）表為 （6）如果和都是常量，將上式積分即得（常量）。 （7）式（7）表明，過(guò)程是多方過(guò)程。1.12 假設(shè)理想氣體的是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)，其表達(dá)式為解：根據(jù)式（1.8.1），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中滿(mǎn)足 （1）用物

3、態(tài)方程除上式，第一項(xiàng)用除，第二項(xiàng)用除，可得 （2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），可將式（2）改定為 （3）將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義 （4）可得（常量）， （5）或（常量）。 （6）式（6）給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和V的關(guān)系。1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線(xiàn)不能相交。解：假設(shè)在圖中兩條絕熱線(xiàn)交于點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線(xiàn)與兩條絕熱線(xiàn)分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（因?yàn)榈葴鼐€(xiàn)的斜率小于絕熱線(xiàn)的斜率，這樣的等溫線(xiàn)總是存在的），則在循環(huán)過(guò)程中，系統(tǒng)在等溫過(guò)程中從外界吸取熱量，而在循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做功，其數(shù)值等于三條線(xiàn)所圍面積（正值）。循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀

4、態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有。這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α?，這違背了熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文說(shuō)法，是不可能的。 因此兩條絕熱線(xiàn)不可能相交。第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：試證明其內(nèi)能與體積無(wú)關(guān).解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式： （1）故有 （2）但根據(jù)式（2.2.7），有 （3）所以 （4）這就是說(shuō)，如果物質(zhì)具有形式為（1）的物態(tài)方程，則物質(zhì)的內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)，只是溫度T的函數(shù).2.3求證：解：焓的全微分為 （1）令，得 （2）內(nèi)能的全微分為 （3）令，得 （4）2.6試證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的

5、溫度降落大于在節(jié)流過(guò)程中的溫度降落. 解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過(guò)程和節(jié)流過(guò)程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)和描述. 熵函數(shù)的全微分為在可逆絕熱過(guò)程中，故有 （1）最后一步用了麥?zhǔn)详P(guān)系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓的全微分為在節(jié)流過(guò)程中，故有 （2）最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 將式（1）和式（2）相減，得 （3）所以在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在絕熱膨脹中的溫度降落大于節(jié)流過(guò)程中的溫度降落. 這兩個(gè)過(guò)程都被用來(lái)冷卻和液化氣體.由于絕熱膨脹過(guò)程中使用的膨脹機(jī)有移動(dòng)的部分，低溫下移動(dòng)部分的潤(rùn)滑技術(shù)是十分困難的問(wèn)題，實(shí)際上節(jié)流過(guò)程更為常用. 但是用節(jié)流過(guò)程降溫，氣體的初溫必須低于

6、反轉(zhuǎn)溫度. 卡皮查（1934年）將絕熱膨脹和節(jié)流過(guò)程結(jié)合起來(lái)，先用絕熱膨脹過(guò)程使氦降溫到反轉(zhuǎn)溫度以下，再用節(jié)流過(guò)程將氦液化.2.9證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù)，與比體積無(wú)關(guān).解：根據(jù)習(xí)題2.8式（2） （1）范氏方程（式（1.3.12）可以表為 （2）由于在V不變時(shí)范氏方程的p是T的線(xiàn)性函數(shù)，所以范氏氣體的定容熱容量只是T的函數(shù)，與比體積無(wú)關(guān).不僅如此，根據(jù)2.8題式（3） （3）我們知道，時(shí)范氏氣體趨于理想氣體. 令上式的，式中的就是理想氣體的熱容量. 由此可知，范氏氣體和理想氣體的定容熱容量是相同的.順便提及，在壓強(qiáng)不變時(shí)范氏方程的體積與溫度不呈線(xiàn)性關(guān)系. 根據(jù)2.8題式（5）

7、 （2）這意味著范氏氣體的定壓熱容量是的函數(shù). 第三章 單元系的相變3.3試由及證明及解：式（2.2.12）給出 （1）穩(wěn)定性條件（3.1.14）給出 （2）其中第二個(gè)不等式也可表為 （3）故式（1）右方不可能取負(fù)值. 由此可知 （4）第二步用了式（2）的第一式.根據(jù)式（2.2.14），有 （5）因?yàn)楹阏?，且，?（6）第二步用了式（2）的第二式.3.4求證：（a）（b）解：（a）由自由能的全微分（式（3.2.9） （1）及偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)次序的可交換性，易得 （2）這是開(kāi)系的一個(gè)麥?zhǔn)详P(guān)系.（a） 類(lèi)似地，由吉布斯函數(shù)的全微分（式（3.2.2） （3）可得 （4）這也是開(kāi)系的一個(gè)麥?zhǔn)详P(guān)系.3.5求證

8、：解：自由能是以為自變量的特性函數(shù)，求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)（不變），有 （1）但由自由能的全微分可得 （2）代入式（1），即有 （3）第四章 多元系的復(fù)相平衡和化學(xué)平衡4.1 若將看作獨(dú)立變量的函數(shù)，試證明：（a）（b）解：（a）多元系的內(nèi)能是變量的一次齊函數(shù). 根據(jù)歐勒定理（式（4.1.4），有 （1）式中偏導(dǎo)數(shù)的下標(biāo)指全部個(gè)組元，指除組元外的其他全部組元.（b）式（4.1.7）已給出 （2）其中偏摩爾體積和偏摩爾內(nèi)能. 將式（2）代入式（1），有 （3）上式對(duì)的任意取值都成立，故有 （4）第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布6.1中 試根據(jù)式（6.2.13）證明：在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子

9、的量子態(tài)數(shù)為 解: 式（6.2.13）給出，在體積內(nèi)，在到到到的動(dòng)量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 （1）用動(dòng)量空間的球坐標(biāo)描述自由粒子的動(dòng)量，并對(duì)動(dòng)量方向積分，可得在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在到范圍內(nèi)三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 （2）上式可以理解為將空間體積元（體積V，動(dòng)量球殼）除以相格大小而得到的狀態(tài)數(shù). 自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為因此將上式代入式（2），即得在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 （3）第七章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)7.2 試根據(jù)公式證明，對(duì)于相對(duì)論粒子, 有上述結(jié)論對(duì)于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立. 解: 處在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中，極端相對(duì)論粒子的能量本征值為

10、 （1）用指標(biāo)表示量子數(shù)表示系統(tǒng)的體積，可將上式簡(jiǎn)記為 （2）其中由此可得 （3）代入壓強(qiáng)公式，得 （4）本題與7.1題結(jié)果的差異來(lái)自能量本征值與體積V函數(shù)關(guān)系的不同. 式（4）對(duì)玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都適用.7.10 氣體以恒定速度沿方向作整體運(yùn)動(dòng)，求分子的平均平動(dòng)能量. 解: 根據(jù)7.8題式（9），以恒定速度沿方向作整體運(yùn)動(dòng)的氣體，其分子的速度分布為 （1）分子平動(dòng)量的平均值為上式頭兩項(xiàng)積分后分別等于，第三項(xiàng)的積分等于因此， （2）式（2）表明，氣體分子的平動(dòng)能量等于無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng)的平均能量及整體運(yùn)動(dòng)能量之和.7.12 根據(jù)麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出兩分子的相對(duì)速度和相對(duì)速率的概率分布，

11、并求相對(duì)速率的平均值 解: 根據(jù)麥克斯韋速度分布，分子1和分子2各自處在速度間隔和的概率為 （1）上述兩個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)也可以用它們的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)描述. 以表示質(zhì)心速度、表示相對(duì)速度，則 （2）在的情形下，上式簡(jiǎn)化為容易驗(yàn)明，兩種描述給出的動(dòng)能K相同，即 （3）式中分別是質(zhì)心的質(zhì)量和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的約化質(zhì)量. 在的情形下，有根據(jù)積分變換公式 （4）可以證明，所以式（1）也可表達(dá)為 （5）其中相對(duì)速度的概率分布為 （6）相對(duì)速率的分布為 （7）相對(duì)速率的平均值為 （8）式中是氣體分子的平均速率.7.16 已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為其中是常量，求粒子的平均能量.解: 應(yīng)用能量均分定理求粒子的平均能量時(shí)，需要注意所難能量表達(dá)式中和兩面三刀項(xiàng)都是的函數(shù)，不能直接將能量均分定理用于項(xiàng)而得出的結(jié)論. 要通過(guò)配方將表達(dá)為 （1）在式（1）中，僅第四項(xiàng)是的函數(shù)，又是平方項(xiàng). 由能量均分定理知 （2）第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)8.1 試證明，對(duì)于玻色或費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，玻耳茲曼關(guān)系成立，即 解: 對(duì)于理想費(fèi)米系統(tǒng)，與分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為（式（6.5.4） （1）取對(duì)數(shù)，并應(yīng)用斯特