圓錐曲線題型總結(jié)

1、直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存在（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的

2、判別式（5）韋達定理，同類坐標變換（6）同點縱橫坐標變換（7）x,y，k(斜率)的取值范圍（8）目標：弦長，中點，垂直，角度，向量，面積，范圍等等運用的知識：1、中點坐標公式：，其中是點的中點坐標。2、弦長公式：若點在直線上，則，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達定理：若一元二次方程有兩個不同的根，則，。常見題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點，求的取值范圍思路點撥：直線方程的特點是過定點（0，1），橢圓的特點是過定點（-2，0）和（2，0），和動點。解：根據(jù)直線的方程可知

3、，直線恒過定點（0，1），橢圓過動點，如果直線和橢圓始終有交點，則，即。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點：證明直線過定點，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。練習(xí)1、過點P(3,2) 和拋物線 只有一個公共點的直線有（ ）條。A4B3C2D1題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸，用到的知識是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點坐標公式）。例題2、過點T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。分析

4、：過點T(-1,0)的直線和曲線N ：相交A、B兩點，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運用韋達定理，得弦的中點坐標，再由垂直和中點，寫出垂直平分線的方程，得出E點坐標，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點，得即 由韋達定理，得：。則線段AB的中點為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時。思維規(guī)律：直線過定點設(shè)直線的斜率k，利用韋達定理法，將弦的中點用k表示出來，再利用垂

5、直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的倍，將k確定，進而求出的坐標。練習(xí)2：已知橢圓過點，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。題型三：動弦過定點的問題例題3、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點A1、A2的坐標都知道，可以

6、設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點是A1(-2,0)和M，通過韋達定理，可以求出點M的坐標，同理可以求出點N的坐標。動點P在直線上，相當于知道了點P的橫坐標了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點的縱坐標，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點的坐標，求出直線MN的方程，將交點的坐標代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根，則，即點M的坐標為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點M、N的坐標代

7、入，化簡后得：又，橢圓的焦點為，即故當時，MN過橢圓的焦點。練習(xí)3：直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點，證明：直線過定點，并求定點的坐標。題型四：過已知曲線上定點的弦的問題若直線過的定點在已知曲線上，則過定點的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達定理結(jié)合定點的坐標就可以求出另一端點的坐標，進而解決問題。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。例題4、已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點C的坐標及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC

8、關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。解：(I) ，且BC過橢圓的中心O又點C的坐標為。A是橢圓的右頂點，則橢圓方程為：將點C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程的根，易得點P的橫坐標：，再將其中的k用-k換下來，就得到了點Q的橫坐標：，這樣計算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時間。接

9、下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標變換法將點P、Q的縱坐標也求出來，計算量會增加許多。直接計算、，就降低了計算量?？傊绢}有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點的直線和曲線相交，點的坐標是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計算量，達到節(jié)省時間的目的。練習(xí)4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。題型五：共線向量問題解析

10、幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標的比例問題，再通過未達定理-同類坐標變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題5、設(shè)過點D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點，且,求實數(shù)的取值范圍。分析：由可以得到，將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點的坐標，用表示出來。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：則實數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點即 由韋達定理得：

11、即 由得，代入，整理得，解之得當直線PQ的斜率不存在，即時，易知或?？傊畬崝?shù)的取值范圍是。方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較簡單，第二種方法是通性通法，但計算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計算量較大，計算繁瑣，考生必須有較強的意志力和極強的計算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強的思維能力，在命題人設(shè)計的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。練習(xí)5：已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A

12、、B兩點，交y軸于M點，若，求的值題型六：面積問題例題6、（07陜西理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。（1）當軸時，。（2）當與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當且僅當，即時等號成立。當時，綜上所述。當最大時，面積取最大值。練習(xí)6、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點，記的面積為。（）求在，的條件下，的最大值；（）當時，求直線AB的方程。題型七：弦或弦長為定

13、值問題例題7、（07湖北理科）在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點。（）若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.解法1：（）依題意，點N的坐標為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2p

14、kx-2p2=0.由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得又由點到直線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習(xí)7：（山東09理）（22）（本小題滿

15、分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。題型八：角度問題例題8、（08重慶理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（）求點P的軌跡方程；（）若,求點P的坐標.解：()由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 ()由得 因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構(gòu)成

16、三角形.在PMN中， 將代入，得 故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上. 由()知，點P的坐標又滿足，所以 由方程組 解得 即P點坐標為練習(xí)8、（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，2）和橢圓C：(ab0)的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.（）求橢圓C的方程；（）是否存在過點E（2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cotMON0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.問題九：四點共線問題例題9、（08安徽理）設(shè)橢圓過點，且著焦點為（）求橢圓的方程；（）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總

17、在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點Q、A、B的坐標分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得即點總在定直線上方法二設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點總在定直線上練習(xí)9、（08四川理）設(shè)橢圓 的左、右焦點分別為、，離心率，右準線為，、是上的兩個動點，（）若，求、的值；（）證明：當取最小值時，與共線問題十：范圍問

18、題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例10、（07四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點。（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力。解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或練習(xí)10、已知直線相交于A、B兩點。 （1）若橢圓的離心

19、率為，焦距為2，求線段AB的長； （2）若向量互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值。問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）例11、(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所