高中數(shù)學選修2-1課后習題答案[人教版]

1、高中數(shù)學選修2-1課后習題答案人教版高中數(shù)學選修2-1課后習題答案第一章 常用邏輯用語1.1 命題及其關系練習（P4）1、略. 2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.3、（1）若一個三角形是等腰三角形，則這個三角形兩邊上的中線相等. 這是真命題. （2）若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象關于軸對稱. 這是真命題. （3）若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行. 這是假命題.練習（P6）1、逆命題：若一個整數(shù)能被5整除，則這個整數(shù)的末位數(shù)字是0. 這是假命題. 否命題：若一個整數(shù)的末位數(shù)字不是0，則這個整數(shù)不能被5整除. 這是假命題. 逆否命題：若一個整數(shù)不能被5整除，則這個

2、整數(shù)的末位數(shù)字不是0. 這是真命題.2、逆命題：若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形有兩條邊相等. 這是真命題. 否命題：若一個三角形有兩條邊不相等，這個三角形有兩個角也不相等. 這是真命題. 逆否命題：若一個三角形有兩個角不相等，則這個三角形有兩條邊也不相等.這是真命題.3、逆命題：圖象關于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù). 這是真命題. 否命題：不是奇函數(shù)的函數(shù)的圖象不關于原點對稱. 這是真命題. 逆否命題：圖象不關于原點對稱的函數(shù)不是奇函數(shù). 這是真命題.練習（P8）證明：若，則 所以，原命題的逆否命題是真命題，從而原命題也是真命題.習題1.1 A組（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是

3、； （4）不是.2、（1）逆命題：若兩個整數(shù)與的和是偶數(shù)，則都是偶數(shù). 這是假命題. 否命題：若兩個整數(shù)不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù). 這是假命題. 逆否命題：若兩個整數(shù)與的和不是偶數(shù)，則不都是偶數(shù). 這是真命題.（2）逆命題：若方程有實數(shù)根，則. 這是假命題. 否命題：若，則方程沒有實數(shù)根. 這是假命題. 逆否命題：若方程沒有實數(shù)根，則. 這是真命題.3、（1）命題可以改寫成：若一個點在線段的垂直平分線上，則這個點到線段的兩個端點的距離相等. 逆命題：若一個點到線段的兩個端點的距離相等，則這個點在線段的垂直平分線上. 這是真命題. 否命題：若一個點到不在線段的垂直平分線上，則這個點到線段的兩個端點

4、的距離不 相等. 這是真命題. 逆否命題：若一個點到線段的兩個端點的距離不相等，則這個點不在線段的垂直平分線上. 這是真命題.（2）命題可以改寫成：若一個四邊形是矩形，則四邊形的對角線相等. 逆命題：若四邊形的對角線相等，則這個四邊形是矩形. 這是假命題. 否命題：若一個四邊形不是矩形，則四邊形的對角線不相等. 這是假命題. 逆否命題：若四邊形的對角線不相等，則這個四邊形不是矩形. 這是真命題.4、證明：如果一個三角形的兩邊所對的角相等，根據(jù)等腰三角形的判定定理，這個三角形是等腰三角形，且這兩條邊是等腰三角形，也就是說這兩條邊相等. 這就證明了原命題的逆否命題，表明原命題的逆否命題為真命題.

5、所以，原命題也是真命題.習題1.1 B組（P8）證明：要證的命題可以改寫成“若，則”的形式：若圓的兩條弦不是直徑，則它們不能互相平分.此命題的逆否命題是：若圓的兩條相交弦互相平分，則這兩條相交弦是圓的兩條直徑.可以先證明此逆否命題：設是的兩條互相平分的相交弦，交點是，若和圓心重合，則是經過圓心的弦，是兩條直徑. 若和圓心不重合，連結和，則是等腰，的底邊上中線，所以，. 和都經過點，且與垂直，這是不可能的. 所以，和必然重合. 即和是圓的兩條直徑.原命題的逆否命題得證，由互為逆否命題的相同真假性，知原命題是真命題.1.2 充分條件與必要條件 練習（P10）1、（1）； （2）； （3）； （4）

6、. 2、（1）. 3（1）.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.練習（P12）1、（1）原命題和它的逆命題都是真命題，是的充要條件； （2）原命題和它的逆命題都是真命題，是的充要條件； （3）原命題是假命題，逆命題是真命題，是的必要條件.2、（1）是的必要條件； （2）是的充分條件；（3）是的充要條件； （4）是的充要條件.習題1.2 A組（P12）1、略. 2、（1）假； （2）真； （3）真.3、（1）充分條件，或充分不必要條件； （2）充要條件； （3）既不是充分條件，也不是必要條件； （4）充分條件，或充分不必要條件.4、充要條件是.習題1.2 B組（P13）1、（1）充

7、分條件； （2）必要條件； （3）充要條件.2、證明：（1）充分性：如果，那么. 所以 所以，. 即 ，所以，是等邊三角形. （2）必要性：如果是等邊三角形，那么 所以 所以 所以1.3 簡單的邏輯聯(lián)結詞練習（P18）1、（1）真； （2）假. 2、（1）真； （2）假.3、（1），真命題； （2）3不是方程的根，假命題；（3），真命題.習題1.3 A組（P18）1、（1）或，真命題； （2）且，假命題； （3）2是偶數(shù)或3不是素數(shù)，真命題； （4）2是偶數(shù)且3不是素數(shù)，假命題.2、（1）真命題； （2）真命題； （3）假命題.3、（1）不是有理數(shù)，真命題； （2）5是15的約數(shù)，真命題； （

8、3），假命題； （4），真命題； （5）空集不是任何集合的真子集，真命題.習題1.3 B組（P18）（1）真命題. 因為為真命題，為真命題，所以為真命題；（2）真命題. 因為為真命題，為真命題，所以為真命題；（3）假命題. 因為為假命題，為假命題，所以為假命題；（4）假命題. 因為為假命題，為假命題，所以為假命題.1.4 全稱量詞與存在量詞練習（P23）1、（1）真命題； （2）假命題； （3）假命題.2、（1）真命題； （2）真命題； （3）真命題.練習（P26）1、（1）； （2）存在一個素數(shù)，它不是奇數(shù)；（3）存在一個指數(shù)函數(shù)，它不是單調函數(shù).2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2

9、）每個梯形都不是等腰梯形； （3）所有實數(shù)的絕對值都是正數(shù).習題1.4 A組（P26）1、（1）真命題； （2）真命題； （3）真命題； （4）假命題.2、（1）真命題； （2）真命題； （3）真命題.3、（1）； （2）存在一個可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不是0； （3）； （4）所有四邊形的對角線不互相垂直.習題1.4 B組（P27）（1）假命題. 存在一條直線，它在軸上沒有截距；（2）假命題. 存在一個二次函數(shù)，它的圖象與軸不相交；（3）假命題. 每個三角形的內角和不小于；（4）真命題. 每個四邊形都有外接圓.第一章 復習參考題A組（P30）1、原命題可以寫為：若一個三角形是等邊三角形，

10、則此三角形的三個內角相等. 逆命題：若一個三角形的三個內角相等，則此三角形是等邊三角形. 是真命題； 否命題：若一個三角形不是等邊三角形，則此三角形的三個內角不全相等. 是真命題； 逆否命題：若一個三角形的三個內角不全相等，則此三角形不是等邊三角形. 是真命題.2、略. 3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）； （2）在圓上，為圓心； （3）是整數(shù)，；（4）是無理數(shù)，是有理數(shù).6、（1），真命題； （2），假命題； （3），真命題； （4）存在一個正方形，它不是平行四邊形，假命題.第一章 復習參考題B組（P31

11、）1、（1）； （2），或.2、（1），的對邊分別是，則； （2），的對邊分別是，則.第38頁 共38頁第二章 圓錐曲線與方程2.1 曲線與方程練習（P37）1、是. 容易求出等腰三角形的邊上的中線所在直線的方程是.2、.3、解：設點的坐標分別為，. （1）當時，直線斜率 所以， 由直線的點斜式方程，得直線的方程為 . 令，得，即點的坐標為. 由于點是線段的中點，由中點坐標公式得. 由得，代入， 得，即 （2）當時，可得點的坐標分別為， 此時點的坐標為，它仍然適合方程 由（1）（2）可知，方程是點的軌跡方程，它表示一條直線.習題2.1 A組（P37）1、解：點、在方程表示的曲線上；點不在此曲線

12、上2、解：當時，軌跡方程為；當時，軌跡為整個坐標平面.3、以兩定點所在直線為軸，線段垂直平分線為軸，建立直角坐標系，得點的軌跡方程為.4、解法一：設圓的圓心為，則點的坐標是. 由題意，得，則有. 所以， 化簡得 當時，點適合題意；當時，點不合題意. 解方程組 ， 得 所以，點的軌跡方程是，. 解法二：注意到是直角三角形， 利用勾股定理，得， 即. 其他同解法一.習題2.1 B組（P37）1、解：由題意，設經過點的直線的方程為. 因為直線經過點，所以 因此，（第2題） 由已知點的坐標為，所以點的軌跡方程為.2、解：如圖，設動圓圓心的坐標為. 由于動圓截直線和所得弦分別為，所以，. 過點分別作直線

13、和的垂線，垂足分別為，則，. ，.連接，因為， 則有，所以，化簡得，.因此，動圓圓心的軌跡方程是.2.2 橢圓練習（P42）1、14. 提示：根據(jù)橢圓的定義，因為，所以.2、（1）； （2）； （3），或.3、解：由已知，所以. （1）的周長. 由橢圓的定義，得，. 所以，的周長. （2）如果不垂直于軸，的周長不變化. 這是因為兩式仍然成立，的周長，這是定值.4、解：設點的坐標為，由已知，得直線的斜率 ；直線的斜率 ；由題意，得，所以化簡，得（第1題）因此，點的軌跡是直線，并去掉點.練習（P48）1、以點（或）為圓心，以線段（或）為半徑畫圓，圓與軸的兩個交點分別為. 點就是橢圓的兩個焦點. 這

14、是因為，在中，所以，. 同樣有.2、（1）焦點坐標為，；（2）焦點坐標為，.3、（1）； （2）.4、（1） （2），或.5、（1）橢圓的離心率是，橢圓的離心率是， 因為，所以，橢圓更圓，橢圓更扁；（2）橢圓的離心率是，橢圓的離心率是， 因為，所以，橢圓更圓，橢圓更扁.6、（1）； （2）； （3）. 7、.習題2.2 A組（P49）1、解：由點滿足的關系式以及橢圓的定義得，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為10的橢圓. 它的方程是.2、（1）； （2）； （3），或.3、（1）不等式，表示的區(qū)域的公共部分； （2）不等式，表示的區(qū)域的公共部分. 圖略.4、（1）長軸長，短軸長，離心率，焦點坐標分

15、別是，頂點坐標分別為，；（2）長軸長，短軸長，離心率，焦點坐標分別是，頂點坐標分別為，.5、（1）； （2），或； （3），或.6、解：由已知，橢圓的焦距. 因為的面積等于1，所以，解得.（第7題） 代入橢圓的方程，得，解得. 所以，點的坐標是，共有4個.7、解：如圖，連接. 由已知，得. 所以，. 又因為點在圓內，所以 根據(jù)橢圓的定義，點的軌跡是以為焦點，為長軸長的橢圓.8、解：設這組平行線的方程為. 把代入橢圓方程，得. 這個方程根的判別式 （1）由，得. 當這組直線在軸上的截距的取值范圍是時，直線與橢圓相交. （2）設直線與橢圓相交得到線段，并設線段的中點為. 則 . 因為點在直線上，與

16、聯(lián)立，消去，得. 這說明點的軌跡是這條直線被橢圓截下的弦（不包括端點），這些弦的中點在一條直線上.9、.10、地球到太陽的最大距離為km，最下距離為km.習題2.2 B組（P50）1、解：設點的坐標為，點的坐標為，則，. 所以， .因為點在圓上，所以 .將代入，得點的軌跡方程為，即所以，點的軌跡是一個橢圓與例2相比可見，橢圓也可以看作是由圓沿某個方向壓縮或拉伸得到.2、解法一：設動圓圓心為，半徑為，兩已知圓的圓心分別為.分別將兩已知圓的方程 ，配方，得 ， 當與：外切時，有 當與：內切時，有 兩式的兩邊分別相加，得即， 化簡方程.先移項，再兩邊分別平方，并整理，得 將兩邊分別平方，并整理，得

17、將常數(shù)項移至方程的右邊，兩邊分別除以108，得 由方程可知，動圓圓心的軌跡是橢圓，它的長軸和短軸長分別為12，. 解法二：同解法一，得方程 由方程可知，動圓圓心到點和點距離的和是常數(shù)12，所以點的軌跡方程是焦點為、，長軸長等于12的橢圓. 并且這個橢圓的中心與坐標原點重合，焦點在軸上，于是可求出它的標準方程.因為 ，所以，所以.于是，動圓圓心的軌跡方程為.3、解：設是點到直線的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合 由此得 將上式兩邊平方，并化簡，得 ，即 所以，點的軌跡是長軸、短軸長分別為8，的橢圓.（第4題）4、解：如圖，由已知，得，. 因為是線段的四等分點， 是線段的四等分點， 所以，； .

18、直線的方程是； 直線的方程是. 聯(lián)立這兩個方程，解得 . 所以，點的坐標是. 同樣，點的坐標是，點的坐標是. 由作圖可見，可以設橢圓的方程為 把點的坐標代入方程，并解方程組，得 ，. 所以經過點的橢圓方程為. 把點的坐標代入，得， 所以，點在上. 因此，點都在橢圓上.2.3 雙曲線練習（P55）1、（1）. （2）. （3）解法一：因為雙曲線的焦點在軸上 所以，可設它的標準方程為 將點代入方程，得，即 又 解方程組 令，代入方程組，得 解得 ，或 第二組不合題意，舍去，得 所求雙曲線的標準方程為解法二：根據(jù)雙曲線的定義，有. 所以， 又，所以 由已知，雙曲線的焦點在軸上，所以所求雙曲線的標準方

19、程為.2、提示：根據(jù)橢圓中和雙曲線中的關系式分別求出橢圓、雙曲線的焦點坐標.3、由，解得，或練習（P61）1、（1）實軸長，虛軸長；頂點坐標為； 焦點坐標為；離心率.（2）實軸長，虛軸長；頂點坐標為； 焦點坐標為；離心率.（3）實軸長，虛軸長；頂點坐標為； 焦點坐標為；離心率.（4）實軸長，虛軸長；頂點坐標為； 焦點坐標為；離心率.2、（1）； （2）. 3、4、，漸近線方程為.5、（1）； （2）習題2.3 A組（P61）1、把方程化為標準方程，得. 因為，由雙曲線定義可知，點到兩焦點距離的差的絕對值等于16. 因此點到另一焦點的距離是17.2、（1）. （2）3、（1）焦點坐標為，離心率；

20、 （2）焦點坐標為，離心率；4、（1）. （2） （3）解：因為，所以，因此. 設雙曲線的標準方程為 ，或. 將代入上面的兩個方程，得 ，或. 解得 （后一個方程無解）. 所以，所求的雙曲線方程為.5、解：連接，由已知，得. 所以，. 又因為點在圓外，所以. 根據(jù)雙曲線的定義，點的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線.6、.習題2.3 B組（P62）1、2、解：由聲速及兩處聽到爆炸聲的時間差，可知兩處與爆炸點的距離的差，因此爆炸點應位于以為焦點的雙曲線上.使兩點在軸上，并且原點與線段的中點重合，建立直角坐標系.設爆炸點的坐標為，則 .即 ，.又，所以，.因此，所求雙曲線的方程為.3、4、解：設點，

21、在雙曲線上，且線段的中點為.設經過點的直線的方程為，即把代入雙曲線的方程得 （） 所以，由題意，得，解得 .當時，方程成為.根的判別式，方程沒有實數(shù)解.所以，不能作一條直線與雙曲線交于兩點，且點是線段的中點.2.4 拋物線練習（P67）1、（1）； （2）； （3）.2、（1）焦點坐標，準線方程； （2）焦點坐標，準線方程； （3）焦點坐標，準線方程； （4）焦點坐標，準線方程；3、（1），. （2）， 提示：由拋物線的標準方程求出準線方程. 由拋物線的定義，點到準線的距離等于9，（第2題）所以 ，.練習（P72）1、（1）； （2）；（3）； （4）.2、圖形見右，的系數(shù)越大，拋物線的開口越

22、大.3、解：過點且斜率為1的直線的方程 為 與拋物線的方程聯(lián)立 解得 ， 設，則.4、解：設直線的方程為.將代入拋物線方程，得，即.因為 ， 所以，因此，直線的方程為.習題2.4 A組（P73）1、（1）焦點坐標，準線方程；（2）焦點坐標，準線方程；（3）焦點坐標，準線方程；（4）焦點坐標，準線方程.2、（1）； （2），或3、解：由拋物線的方程，得它的準線方程為. 根據(jù)拋物線的定義，由，可知，點的準線的距離為. 設點的坐標為，則 ，解得. 將代入中，得. 因此，點的坐標為，.4、（1），； （2）（圖略）5、解：因為，所以線段所在直線的斜率. 因此，直線的方程為 與拋物線聯(lián)立，得 將代入得，

23、解得， 把，分別代入得 ， 由第5題圖知不合題意，所以點的坐標為. 因此，6、證明：將代入中，得， 化簡得 ，解得 則 因為 ， 所以 （第8題） 所以 7、這條拋物線的方程是8、解：建立如圖所示的直角坐標系，設拱橋拋物線的方程為，因為拱橋離水面2 m，水面寬4 m所以 ，因此，拋物線方程為 水面下降1 m，則，代入式，得，.這時水面寬為 m.習題2.2 B組（P74）1、解：設垂線段的中點坐標為，拋物線上相應點的坐標為.根據(jù)題意，代入，得軌跡方程為.由方程可知，軌跡為頂點在原點、焦點坐標為的拋物線.2、解：設這個等邊三角形的頂點在拋物線上，且坐標分別為，則 ，.又，所以 即，因此，因為，所以

24、由此可得，即線段關于軸對稱.因為軸垂直于，且，所以.因為，所以，因此.3、解：設點的坐標為由已知，得 直線的斜率 .直線的斜率 .由題意，得，所以，化簡，得第二章 復習參考題A組（P80）1、解：如圖，建立直角坐標系，使點在軸上，為橢圓的右焦點（記為左焦點）.（第1題）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為.則 ，解得 ，所以 用計算器算得 因此，衛(wèi)星的軌道方程是.2、解：由題意，得 ， 解此方程組，得因此衛(wèi)星軌道的離心率.3、（1）； （2）.4、（1）當時，方程表示圓. （2）當時，方程化成. 方程表示焦點在軸上的橢圓. （3）當時，即，方程表示平行于軸的兩條直線. （4）當時，因為，

25、所以表示雙曲線，其焦點在軸上. 而當時，方程表示等軸雙曲線.5、解：將代入方程得 即 令 ，解得，或因為，方程無解，即直線與雙曲線沒有公共點，所以，的取值范圍為，或6、提示：設拋物線方程為，則點的坐標為，點的坐標為 設點的坐標為，則點的坐標為.因為，.所以，即是和的比例中項.7、解：設等邊三角形的另外兩個頂點分別是，其中點在軸上方.直線的方程為 與聯(lián)立，消去，得 解方程，得 ， 把代入，得 .把代入，得 .所以，滿足條件的點有兩個，.根據(jù)圖形的對稱性，可得滿足條件的點也有兩個，所以，等邊三角形的邊長是，或者.8、解：設直線的方程為.把代入雙曲線的方程，得. ， 由已知，得 把代入，解得 所以，

26、直線的方程為9、解：設點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為.并設經過點的直線的方程為，即.把代入雙曲線的方程，得 . 所以，由題意，得，解得當時，方程成為 根的判別式，方程有實數(shù)解.所以，直線的方程為.10、解：設點的坐標為. 由已知，得 直線的斜率 直線的斜率 由題意，得. 所以，化簡得，當時，點的軌跡是橢圓，或者圓，并除去兩點；當時，點的軌跡是雙曲線，并除去兩點；11、解：設拋物線上的點的坐標為，則.點到直線的距離 .當時，的最小值是. 此時，點的坐標是.（第12題）12、解：如圖，在隧道的橫斷面上，以拱頂為原點、拱高所在直線為軸（向上），建立直角坐標系.設隧道頂部所在拋物線的方程為 因為點

27、在拋物線上 所以 解得 所以，隧道頂部所在拋物線的方程為. 設. 則 把點的坐標代入方程，解得.答：車輛通過隧道的限制高度為3.2 m.第二章 復習參考題B組（P81）1、.2、解：由題意，得軸.把代入橢圓方程，解得 . 所以，點的坐標是 直線的斜率. 直線的斜率.由題意，得，所以，.由已知及，得 所以 ，解得 所以，因此，橢圓的方程為.3、解：設點的坐標，點的坐標.由，得.由已知，得直線的方程為. 則有 由與消去，得 ， 把代入，解得當時，方程成為，顯然此方程有實數(shù)根. 所以，（第4題）4、解：如圖，以連接的直線為軸，線段的中點為原點，建立直角坐標系.對于拋物線，有，所以，.對于雙曲線，有解

28、此方程組，得，因此，.所以，所求雙曲線的方程是 .因為拋物線的頂點橫坐標是 所以，所求拋物線的方程是 答：拋物線的方程為，雙曲線的方程是.5、解：設點的坐標為由已知，得 直線的斜率 直線的斜率 由題意，得，所以，化簡，得所以，點軌跡方程是.6、解：（1）當時，方程表示軸；（2）當時，方程表示軸；（3）當時，把方程寫成 .當時，方程表示橢圓； 時，方程表示圓；當，或時，方程表示雙曲線.（第7題）7、以為直徑的圓與拋物線的準線相切.證明：如圖，過點分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義，得 ，.所以，.設的中點為，且過點作拋物線的準線的垂線，垂足為.顯然軸，所以，是直角梯形的中位線.

29、 于是，.因此，點在以為直徑的圓上.又，所以，以為直徑的圓與拋物線的準線相切.類似地，可以證明：對于橢圓，以經過焦點的弦為直徑的圓與相應的準線相離；對于雙曲線，以經過焦點的弦為直徑的圓與相應的準線相交.第三章 空間向量與立體幾何3.1 空間向量及其運算練習（P86）1、略. 2、略. 3、，.練習（P89）1、（1）； （2）； （3）.2、（1）； （2）； （3）.（第3題）3、如圖.練習（P92）1、.2、解：因為，所以所以3、解：因為所以，又知.所以，又知. 所以.練習（P94）1、向量與，一定構成空間的一個基底. 否則與，共面，于是與，共面，這與已知矛盾. 2、共面2、（1）解：；

30、（2）.練習（P97）1、（1）； （2）； （3）； （4）2. 2、略.3、解：分別以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.則，所以，.（第1題）所以，.習題3.1 A組（P97）1、解：如圖，（1）；（2）；（3）設點是線段的中點，則；（4）設點是線段的三等分點，則. 向量如圖所示.2、.3、解：所以，.4、（1）；（2）；（3） ；（4） ；（5） ；（6）5、（1）； （2）略.6、向量的橫坐標不為0，其余均為0；向量的縱坐標不為0，其余均為0；向量的豎坐標不為0，其余均為0.7、（1）9； （2）.8、解：因為，所以，即，解得.9、解：，設的中點為，所以，點的坐標為，10、解

31、：以分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.則的坐標分別為：，. ，所以，由于異面直線和所成的角的范圍是因此，和所成的角的余弦值為.11、習題3.1 B組（P99）1、證明：由已知可知， ，所以，. ，. ，. .2、證明： 點分別是的中點. ，所以四邊形是平行四邊形. ，（已知），. （） 平行四邊形是矩形.（第3題）3、已知：如圖，直線平面，直線平面，為垂足. 求證： 證明：以點為原點，以射線方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別為沿軸、軸、軸的坐標向量，且設. . ，. ，. . . ，又知為兩個不同的點. .3.2 立體幾何中的向量方法練習（P104）1、（1），； （2），； （3），.2、（1），； （2），； （3），與相交，交角的余弦等于.練習（P107）1、證明：設正方形的棱長為1.，.因為，所以.因為，所以.因此平面.2、解： 練習（P111）1、證明： . 同理可證.2、解：（或），所以 .3、證明：以點為原點，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系，得下列坐標：，. 習題3.2 A組（P111）1、解：設正方形的棱長為1 （1）， ，. （2）， ，.2、證明：設正方體的棱長為1因為，所以.因為，所以.因此，平面.3、證明：，.4、證明：（1）因為，所以.因為，所以.因此，平面.（2）設正方體的棱長為