高中絕對值不等式 (精華版) 適合高三復習用可直接打印

1、絕對值不等式絕對值不等式，基本的絕對值不等式：|a|-|b|a±b|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函數(shù)的最小值是5，沒有最大值 |y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|5得-5y5即函數(shù)的最小值是-5，最大值是5也可以從幾何意義上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2這兩點的距離之和，顯然當-2x3時，距離之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2這兩點的距離之差，當x-2時，取最小值-5，當x3時，取最大值5 變題1解下列不等式

2、：(1)|+1|>2；(2)|26|<3思路利用f(x)<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉絕對值后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次、一元二次不等式組來處理。解：(1)原不等式等價于+1>2或+1<(2)解得>或無解，所以原不等式的解集是|>(2)原不等式等價于3<26<3即2<<6所以原不等式的解集是|2<<6 1解不等式（1）x-x2-2>x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法來解.原不等式等

3、價于：x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4)解得：1-<x<1+解得：x>-3故原不等式解集為xx>-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+>0所以x-x2-2中的絕對值符號可直接去掉.故原不等式等價于x2-x+2>x2-3x-4解得：x>-3 原不等式解集為x>-3（2）分析 不等式可轉(zhuǎn)化為-11求解，但過程較繁，由于不等式1兩邊均為正，所以可平方后求解.原不等式等價于19x2(x2-4)2 (x±2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4注意：在解絕對

4、值不等式時，若f(x)中的f(x)的值的范圍可確定(包括恒正或恒非負，恒負或恒非正)，就可直接去掉絕對值符號，從而簡化解題過程.第2變 含兩個絕對值的不等式變題2解不等式（1）|1|<|+|；（2）x-2+x+3>5.思路（1）題由于兩邊均為非負數(shù)，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對值符號。（2）題可采用零點分段法去絕對值求解。解題（1）由于|1|0，|+|0，所以兩邊平方后有：|1|<|+|即有2+1<+2+，整理得(2+2)>1當2+2>0即>1時，不等式的解為>(1)；當2+2=0即=1時，不等式無解；當2+2

5、<0即<1時，不等式的解為<（2）解不等式x-2+x+3>5.解：當x-3時，原不等式化為(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.當-3<x<2時，原不等式為(2-x)+(x+3)>55>5無解.當x2時，原不等式為(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.綜合得：原不等式解集為xx>2或x<-3.請你試試421 解關(guān)于的不等式(>0且1)解析：易知1<<1，換成常用對數(shù)得：于是1<<10<1<1(1)<0<0解得0<<12不等

6、式|x+3|-|2x-1|<+1的解集為 。解： |x+3|-|2x-1|= 當時 x>2 當-3<x<時4x+2<+1 當時 綜上或x>2故填。3求不等式的解集.解：因為對數(shù)必須有意義，即解不等式組，解得又原不等式可化為 (1)當時，不等式化為即 綜合前提得：。(2)當1<x2時，即. 。(1) 當時，(2) ，結(jié)合前提得：。綜合得原不等式的解集為第3變 解含參絕對值不等式變題3解關(guān)于x的不等式 思路本題若從表面現(xiàn)象看當含一個根號的無理根式不等式來解，運算理較大。若化簡成，則解題過程更簡單。在解題過程中需根據(jù)絕對值定義對的正負進行討論。解題原不等式等

7、價于 當即時， 當即時， x¹-6當即時， xÎR請你試試431解關(guān)于的不等式：分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當。2關(guān)于的不等式|1|5的解集為|32，求的值。按絕對值定義直接去掉絕對值符號后，由于值的不確定，要以的不同取值分類處理。解：原不等式可化為46當>0時，進一步化為，依題意有，此時無解。當=0時，顯然不滿足題意。當<0時，依題意有綜上，=2。第4變 含參絕對值不等式有解、解集為空與恒成立問

8、題變題4若不等式|4|+|3|<的解集為空集，求的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個絕對值符號，可考慮采用零點分段法，即令每一項都等于0，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應求出解集的并集，這是按常規(guī)去掉絕對值符號的方法求解，運算量較大。若仔細觀察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對值不等式|+|+|，便把問題簡化。解題解法一 (1)當0時，不等式的解集是空集。(2)當>0時，先求不等式|4|+|3|<有解時的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當4時，原不等式化為4+3<，即27<解不等式組，>1

9、 當3<<4時，原不等式化為4+3<得>1 當3時，原不等式化為4+3<即72<解不等式，>1綜合可知，當>1時，原不等式有解，從而當0<1時，原不等式解集為空集。由(1)(2)知所求取值范圍是1解法二由|4|+|3|的最小值為1得當>1時，|4|+|3|<有解從而當1時，原不等式解集為空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1當>1時，|4|+|3|<有解從而當1時，原不等式解集為空集。請你試試441對任意實數(shù)，若不等式|+1|2|>恒成立，求的取值范圍。思維點撥：要使|+1|2|>對任意實數(shù)恒

10、成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的幾何意義為數(shù)軸上點到1的距離，|2|的幾何意義為數(shù)軸上點到2的距離，|+1|2|的幾何意義為數(shù)軸上點到1與2的距離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點分段的方法改寫成分段函數(shù)，通過畫出圖象，觀察的取值范圍。解法一 根據(jù)絕對值的幾何意義，設數(shù)，1,2在數(shù)軸上對應的點分別為P、A、B，則原不等式即求|PA|PB|>成立|AB|=3，即|+1|2|3故當<3時，原不等式恒成立解法二 令=|+1|2|，則O-33要使|+1|2|>恒成立，從圖象中可以看出，只要<3即可。故<3滿足題意。2對任意實數(shù)x，不等式|x+

11、1|+|x-2|>a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：經(jīng)過分析轉(zhuǎn)化，實質(zhì)上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a應比最小值小。解： 由絕對值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，當且僅當(x+1)(x-2)0, 即時取等號。故a<3說明：轉(zhuǎn)化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立問題、定義域為R等問題都可轉(zhuǎn)化為求最大、最小值問題。（在這些問題里我們要給自己提問題，怎樣把一般性的問題轉(zhuǎn)化到某個特殊的值的問題，常問的問題是：要使，只要）3已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在實數(shù)集R上的解集不是空集，求a的取值范圍分析（一）|x-4|+|x-

12、3|x-4(x-3)|=1 當|x-4|+|x-3|<a在實數(shù)R上非空時，a須大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1（二）如圖，實數(shù)x、3、4在數(shù)軸上的對應點分別為P、A、B則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1數(shù)按題意只須a>1 A B P 0 3 4 x （四）考慮|z-4|+|z-3|<a(zc)的幾何意義（五） 可利用零點分段法討論.以上三種情況中任一個均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為a>1.變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a對于一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍2、若不等式|x-4|-

13、|x-3|<a的解集在R上不是空集，求a的取值范圍3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范圍第5變 絕對值三角不等式問題變題5已知函數(shù)，當時，求證：；，則當時，求證：。思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)，的值，但應該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對應的“取值范圍”，因此，我們可以用 、來表示,。因為由已知條件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得請你試試451已知函數(shù)f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|<|a-b|。分析：要證，考察左邊，是否能產(chǎn)生|a-b|。證明：|f(a)-f(b)|

14、= （其中，同理）高中不等式習題精選精解一、求取值范圍2、已知，且，求的取值范圍。解：由已知條件，顯然 綜上所述的取值范圍是3、正數(shù)滿足，求的最小值。解： （為正數(shù)）5、已知函數(shù)滿足，求的取值范圍。解：由習已知得： 設： 所以的取值范圍是8、若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。oyxoy解一：設，原題轉(zhuǎn)換為求方程在上有解。 共有兩種情況，一種是有兩個根，一種是只有一個根（如圖所示），由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得方程在上有實數(shù)解的充要條件為： 注：兩組不等式分別對應兩個圖解得所以的取值范圍是解二：由方程得 函數(shù)的值域就是的取值范圍。 所以的取值范圍是二、解不等式1、解：不等式與或同解，也可以這

15、樣理解： 符號“”是由符號“>”“=”合成的，故不等式可轉(zhuǎn)化為 或。 解得：原不等式的解集為2、.解：+，用根軸法（零點分段法）畫圖如下： 原不等式的解集為。3、解：原式等價于 ，即 注：此為關(guān)鍵原不等式等價于不等式組解得：4、解：當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得 綜合上面各式，得原不等式的解集為：5、關(guān)于的不等式的解集為，求的解集。解：由題意得：，且 則不等式與不等式組同解 得所求解集為6、已知且，關(guān)于的不等式的解集是，解關(guān)于的不等式的解集。解：關(guān)于的不等式的解集是，或 原不等式的解集是。三、證明題2、設,為偶數(shù),證明 證： . 當時, ,0 , 0 ,故 ; 當有一個負值時,不妨設,且,即 . 為偶數(shù)時,0 ,且0 ,故 . 綜合可知,原不等式成立 注：必須要考慮到已知條件，分類討論，否則不能直接得出0 3、求證： 證：設向量 ,由 ,得 注意：當時，即，、方向相同，取等號。當利用公式證明時，會得： 的錯誤結(jié)論，因為這里取等號 的條件是，且、方向相反，根據(jù)題設條件，時，方向相同，故取不到等號， 計算的結(jié)果也使不等式范圍縮小了。4、求證： （）證一：（） 原不等式成立，證畢。證二：當時，原不等式為：，顯然成立； 假設當取-1時，