第11章壓桿的穩(wěn)定性

1、# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 第第 11 章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性11-1 關于穩(wěn)定性的概念關于穩(wěn)定性的概念11-2 細長中心壓桿的臨界荷載細長中心壓桿的臨界荷載11-4 壓桿的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性計算壓桿的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性計算11-3 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍臨界應力總圖臨界應力總圖# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 實際壓桿存在的情況：實際壓桿存在的情況：(1) 本身不可能絕對地直；本身不可能絕對地直； (2) 材質不可能絕對地均勻；材質不可能絕對地均勻； (

2、3) 軸向壓力也會有偶然偏心。軸向壓力也會有偶然偏心。F11-1 關于穩(wěn)定性的概念關于穩(wěn)定性的概念 壓桿是在壓縮與彎曲組合變形的壓桿是在壓縮與彎曲組合變形的狀態(tài)下工作的。狀態(tài)下工作的。# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 桿的橫截面上的彎矩與桿桿的橫截面上的彎矩與桿的彎曲變形程度有關，所以即的彎曲變形程度有關，所以即使在線彈性范圍內工作，撓度使在線彈性范圍內工作，撓度也不與荷載成線性關系，撓度也不與荷載成線性關系，撓度的增長要比荷載增長來得快。的增長要比荷載增長來得快。 細長壓桿細長壓桿 始終在線彈性范始終在線彈性范圍內工作，當圍內工作，當

3、F= Fu時，它便因時，它便因撓度迅速增長而喪失繼續(xù)承受撓度迅速增長而喪失繼續(xù)承受荷載的能力。荷載的能力。 # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 中等長度壓桿中等長度壓桿 當撓度增大當撓度增大到一定值時，桿便在彎壓組合到一定值時，桿便在彎壓組合作用下因強度不足而喪失承載作用下因強度不足而喪失承載能力。能力。 求壓桿的承載力求壓桿的承載力Fu，可采，可采用兩種不同的計算圖式：用兩種不同的計算圖式：(1) 把實際的壓桿看作是荷載把實際的壓桿看作是荷載F有偶然偏心等的小剛度桿有偶然偏心等的小剛度桿(2) 把實際的壓桿看作是理想的把實際的壓桿看作是

4、理想的中心壓桿。中心壓桿。# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 取第一種計算圖式，則得彎取第一種計算圖式，則得彎矩方程為：矩方程為：M(x)=F(d d + +e-n n)代入撓曲線近似微分方程，利用代入撓曲線近似微分方程，利用邊界條件得到：邊界條件得到：)1/(sec lEIFezd d如圖所示。如圖所示。 無論初始偏心距無論初始偏心距e的大小如的大小如何變化，當何變化，當Fp p2EIz /(2l)2 時時d d 迅速增長，從而有極限荷載迅速增長，從而有極限荷載 # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)

5、定性壓桿的穩(wěn)定性 22u)2(lEIFz 根據(jù)上圖所示偏心距根據(jù)上圖所示偏心距e為不同為不同值時的值時的F d d 圖線可以推想：圖線可以推想： 若將實際壓桿看作初始偏若將實際壓桿看作初始偏心距心距e為零的理想中心壓桿，為零的理想中心壓桿，則其則其Fd d關系應如下圖關系應如下圖(a)、(b)所示。所示。 FFuOAB(b) Fd d 關系關系 當當FFu時桿的直線狀態(tài)的時桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的（不可能彎曲）；平衡是穩(wěn)定的（不可能彎曲）； ylFcrFx(a) 理想中心壓桿理想中心壓桿 O# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 FFuOA

6、B(b) F-d d 關系關系 當當F = Fu 時桿的直線狀態(tài)的時桿的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，如果稍受干擾平衡是不穩(wěn)定的，如果稍受干擾桿便將在任意微彎狀態(tài)下保持平桿便將在任意微彎狀態(tài)下保持平衡。衡。 由上述分析可見，由上述分析可見，F(xiàn)達到達到Fu，桿便會失去原有直線狀態(tài)平衡的穩(wěn)桿便會失去原有直線狀態(tài)平衡的穩(wěn)定性定性失穩(wěn)。失穩(wěn)。 把理想中心壓桿從直線狀態(tài)的穩(wěn)定平衡過渡到把理想中心壓桿從直線狀態(tài)的穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的那個荷載值稱之為臨界荷載不穩(wěn)定平衡的那個荷載值稱之為臨界荷載Fcr（能保（能保持微彎狀態(tài)的荷載值）。持微彎狀態(tài)的荷載值）。對于細長壓桿：對于細長壓桿：Fcr=Fu# 工程力學

7、教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 注意：注意： 如果在理論分析中有若干個荷載值均能滿如果在理論分析中有若干個荷載值均能滿足桿保持微彎狀態(tài)的條件，那么有實際意義的足桿保持微彎狀態(tài)的條件，那么有實際意義的應該是其中的最小值。應該是其中的最小值。# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 11-2 細長中心壓桿的臨界荷載細長中心壓桿的臨界荷載 理想中心壓桿的臨界荷載理想中心壓桿的臨界荷載Fcr即為桿能保持微即為桿能保持微彎狀態(tài)的荷載值。彎狀態(tài)的荷載值。 在理論分析中首先找出每一具體情況下桿的在理論分析中首先

8、找出每一具體情況下桿的撓曲線方程，而方程成立時的荷載就是所求的臨撓曲線方程，而方程成立時的荷載就是所求的臨界荷載。界荷載。# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 考慮下圖細長壓桿考慮下圖細長壓桿 在線彈性、小變形情況下，且在線彈性、小變形情況下，且不考慮剪切對于變形的影響，不考慮剪切對于變形的影響，則其撓曲線近似微分方程為則其撓曲線近似微分方程為yz)()(crwFxM d d)()(crwFxMwEIz d d則有則有令令,2crkEIFz d d22kwkw + + d dzzEIFwEIFwcrcr + + 得得ylFcrx wxo#

9、工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 得撓曲線方程得撓曲線方程w= A sin kx + B cos kx + d d由邊界條件由邊界條件得得A=0 ，B= d d則則w =d d ( 1-cos kx ) x=0, w = 0 x=0, w = 0 顯然，當方程成立時應有顯然，當方程成立時應有d d lxwylFcrx wxo# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 即即d d =d d ( 1-cos kl ) 得得cos kl = 0要滿足上面的方程，則要滿足上面的方程，則kl =p p/

10、2, 3p p/2, 5p p/2, 取其最小值取其最小值 kl =p p/2，代入，代入 k的表達式，得該壓桿的的表達式，得該壓桿的臨界臨界荷載荷載22cr)2(lEIFz式中式中Iz是桿在是桿在Fcr作用下微彎時橫截面對于中性軸作用下微彎時橫截面對于中性軸z的的慣性矩慣性矩。ylFcrx wxo# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 若截面是下面這種形式，則若截面是下面這種形式，則22cr)2(lEIFyy zylFcrx vxo# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 下圖為一下端固定、

11、上端鉸支、下圖為一下端固定、上端鉸支、長度為長度為l 的等截面中心受壓直桿，桿橫截面對的等截面中心受壓直桿，桿橫截面對 z 軸軸的慣性矩為的慣性矩為I。試推導其臨界力。試推導其臨界力Fcr的公式，并求出的公式，并求出壓桿的撓曲線方程。壓桿的撓曲線方程。 l AByx Fcr例題例題 11-1# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 解：解： 在臨界力在臨界力Fcr作用下，根據(jù)此壓桿支承處的作用下，根據(jù)此壓桿支承處的約束情況，有約束情況，有 ABFSFSFcrFcrMel-xxl AByx Fcr例題例題 11-1# 工程力學教程電子教案工程力學

12、教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 代入撓曲線近似微分方程，得代入撓曲線近似微分方程，得則則(2)式之通解為式之通解為2crkEIFz 其中其中)()(ScrxlFwFxM (1)w= A sin kx + B cos kx +FS(l-x)/Fcr (3)(crS22xlFFkwkw + + (2)例題例題 11-1ABFSFSFcrFcrMel-xx# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 由邊界條件由邊界條件x=0, w = 0 再由再由 x=0, w = 0 w= A kcos kx - B ksin kx -

13、FS/Fcr (4)得得crSkFFA (5)得得crSFlFB (6)例題例題 11-1# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 將將(5)、(6)式代入式代入(3)式有式有由鉸支端處的邊界條件由鉸支端處的邊界條件x =l, w = 0 ，得，得桿在微彎狀態(tài)下平衡時桿在微彎狀態(tài)下平衡時FS不可能等于零，于是必不可能等于零，于是必須有須有)(cossin1crSxlkxlkxkFFw + + (7)0)cossin1(crS kllklkFF (8)0cossin1 kllklk (9)例題例題 11-1# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子

14、教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 即即klkl tan (10)由上式得由上式得kl = 4.49 (11)從而有從而有2222cr)7 . 0()49. 4(lEIlEIF (12)相應地由相應地由(7)式得撓曲線微分方程式得撓曲線微分方程)/1(cossin49. 41crSlxkxkxFlFw + + (13)例題例題 11-1# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 幾種理想支端約束條件下的細長壓桿幾種理想支端約束條件下的細長壓桿當這些壓桿都是等截面桿當這些壓桿都是等截面桿,且均由同一材料制成時且均由同一材料制成時,其

15、臨界荷載其臨界荷載Fcr的計算公式可統(tǒng)一寫為的計算公式可統(tǒng)一寫為 lABFcrlFcrvlABFcrl AByx Fcr22cr)(lEIFy # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 式中式中 稱為長度系數(shù)稱為長度系數(shù),隨桿端約束情況而異；隨桿端約束情況而異； l 則稱則稱為相當長度，即相當于兩端球形鉸支壓桿的長度。為相當長度，即相當于兩端球形鉸支壓桿的長度。上式稱為歐拉公式上式稱為歐拉公式, 如下各圖所示。如下各圖所示。22cr)(lEIFy lABFcr122cr lEIFyl AByx Fcr7 . 0)7 . 0(22cr lEIFy

16、# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 lABFcr5 . 0)5 . 0(22cr lEIFylFcrv2)2(22cr lEIFy 從上述分析可知從上述分析可知,中心受壓直桿的臨界力中心受壓直桿的臨界力Fcr與桿端的約束情況有關，桿端的約束越強，臨界與桿端的約束情況有關，桿端的約束越強，臨界力越大。力越大。# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 如下圖所示兩端固定但上端可有水平位移的等如下圖所示兩端固定但上端可有水平位移的等截面中心受壓直桿，其長度為截面中心受壓直桿，其長度為 l，橫截面

17、對，橫截面對z軸的慣軸的慣性矩為性矩為I。推導其臨界力。推導其臨界力Fcr的歐拉公式，并求出壓的歐拉公式，并求出壓桿的撓曲線方程。桿的撓曲線方程。lABFcr思考題思考題 11-1# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 AB yxFcrFcrMeMe思考題思考題11-1參考答案：參考答案：lABFcr# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 ecr)(MwFxM 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程ecr)(MwFxMwEIz+ + 最后得最后得kl = p p22crlEIFy 撓曲線方程撓

18、曲線方程)/cos(12lxw d d思考題思考題11-1參考答案：參考答案：AB yxFcrFcrMeMe# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 推導如圖變截面壓桿臨界力推導如圖變截面壓桿臨界力Fcr的歐拉公式。的歐拉公式。思考題思考題 11-2# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 在臨界力作用下，此桿可在微彎狀態(tài)在臨界力作用下，此桿可在微彎狀態(tài)下維持平衡，其撓曲線由下維持平衡，其撓曲線由AD、DE、EB三三段組成。由撓曲線光滑連續(xù)條件可知：在段組成。由撓曲線光滑連續(xù)條件可知：在相鄰兩段

19、撓曲線的交界點，撓度相等，轉相鄰兩段撓曲線的交界點，撓度相等，轉角亦相等。此外中點角亦相等。此外中點C處的切線應與處的切線應與x軸軸平行。平行。 分段列撓曲線近似微分方程，最后分段列撓曲線近似微分方程，最后求解得到求解得到wFxMcr)( 22cr1.68lEIFy 思考題思考題11-2參考答案：參考答案：# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 求壓桿臨界荷載的歐拉公式求壓桿臨界荷載的歐拉公式Fcr= p p2EI /( l )2只只適用于壓桿失穩(wěn)時仍在線彈性范圍內工作的情況。適用于壓桿失穩(wěn)時仍在線彈性范圍內工作的情況。應注意：應注意： 按失

20、穩(wěn)的概念，在臨界荷載作用下盡管壓桿按失穩(wěn)的概念，在臨界荷載作用下盡管壓桿的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，但如果不受干擾，的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，但如果不受干擾，桿仍可在直線狀態(tài)下保持平衡。桿仍可在直線狀態(tài)下保持平衡。11-3 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍臨界應力總圖臨界應力總圖# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 可以把臨界狀態(tài)下按直桿算得的橫截面上的可以把臨界狀態(tài)下按直桿算得的橫截面上的正應力正應力s scr=Fcr /A不超過材料的比例極限不超過材料的比例極限s sp作為歐作為歐拉公式適用范圍的判別條件，即拉公式適用范圍的判別條

21、件，即 式中的式中的s scr=Fcr /A稱為臨界應力。引入稱為臨界應力。引入Fcr的表達式，的表達式，有有式中式中I/A是一個只有截面形狀及尺寸有關的量，通是一個只有截面形狀及尺寸有關的量，通常把它的方根用常把它的方根用 i 表示，即表示，即pcrs ss s (1)()()(/2222crcrAIlEAlEIAF s s (2)AIi/ # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 稱稱 i 為截面慣性半徑。則為截面慣性半徑。則(2)式可表示為式可表示為式中式中l(wèi) l = l/i，為壓桿的柔度，亦稱長細比。，為壓桿的柔度，亦稱長細比。 將式將

22、式(3)代入代入(1)式，則有式，則有p2222cr)/(s sl l s s EilE或改寫為或改寫為p2s sl lE 2222cr)/(l l s sEilE (3)AIi/ # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 上式表明，如果壓桿的柔度上式表明，如果壓桿的柔度l l大于或等于只與材料大于或等于只與材料性質有關的一個量性質有關的一個量 那么歐拉公式適用。那么歐拉公式適用。 對于對于Q235鋼，如取鋼，如取E=2.06105 MPa，比例極，比例極限限s sp=200 MPa, 則則l lp=100。 p2s sl lE p2ps sl

23、 lE # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 右圖示出了細長壓桿臨右圖示出了細長壓桿臨界應力界應力s scr隨柔度隨柔度l l的變化情的變化情況，以及歐拉公式的適用范況，以及歐拉公式的適用范圍。圍。 splp歐拉公式可用歐拉公式可用雙曲線雙曲線 scrl22crlsE 應該注意的是：應該注意的是：“l(fā) ll lp時歐拉公式可用時歐拉公式可用”系按理系按理想中心壓桿得到的。事實上，對于想中心壓桿得到的。事實上，對于l l比比l lp大得不太多大得不太多的實際壓桿，由于有偶然偏心等，就會在彎壓組合下的實際壓桿，由于有偶然偏心等，就會在彎壓組合下

24、因強度不足而喪失承載能力，因此歐拉公式不適用。因強度不足而喪失承載能力，因此歐拉公式不適用。 # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 我國鋼結構設計規(guī)范中對于由我國鋼結構設計規(guī)范中對于由Q235鋼制成的壓鋼制成的壓桿，根據(jù)試驗資料規(guī)定，對于桿，根據(jù)試驗資料規(guī)定，對于l ll lc ，而不是，而不是l ll lp的壓桿才能用歐拉公式求臨界應力，而的壓桿才能用歐拉公式求臨界應力，而 )57. 0(s2cs sl lE 該規(guī)范還規(guī)定，對于該規(guī)范還規(guī)定，對于l ll lc的鋼壓桿，臨界應力的的鋼壓桿，臨界應力的計算式采用拋物線型的半經(jīng)驗公式計算式采用

25、拋物線型的半經(jīng)驗公式 )/(12cscrl ll l s ss s # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 對于對于Q235鋼制成的壓桿，鋼制成的壓桿， = 0.43。)/(12cscrl ll l s ss s 臨界應力總圖（臨界應力總圖（s s l l）l0.57sslclp雙曲線雙曲線拋物線拋物線scrss22rclsE)/(1 2cscrllss# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 幾個概念：幾個概念：(1) 細長壓桿（大柔度壓桿）能應用歐拉公式求細長壓桿（大柔度壓桿）能應用歐拉公

26、式求臨界應力的壓桿。臨界應力的壓桿。 (2) 短壓桿是指柔度特別小的（其臨界應力接近短壓桿是指柔度特別小的（其臨界應力接近于材料的強度）桿。于材料的強度）桿。 (3) 中長壓桿是指柔度特別大的桿。中長壓桿是指柔度特別大的桿。# 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 11-4 壓桿的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性計算壓桿的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性計算 要保證壓桿在荷載作用下不致失穩(wěn)且有一定要保證壓桿在荷載作用下不致失穩(wěn)且有一定的安全儲備，其條件是的安全儲備，其條件是式中的式中的nw為穩(wěn)定的安全因數(shù)。為穩(wěn)定的安全因數(shù)。wcrnFF 相應地有相應地有wcrns ss s 或或 ws ss s 式中式中s sw穩(wěn)定容許應力，它是隨壓桿柔度穩(wěn)定容許應力，它是隨壓桿柔度l l變化的變化的一個量。一個量。 # 工程力學教程電子教案工程力學教程電子教案 第第11 11章章 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性 在有些工程計算中，更把穩(wěn)定容許應力在有些工程計算中，更把穩(wěn)定容許應力s sw通通過一個隨壓桿柔度過一個隨壓桿柔度l l變化的穩(wěn)定系數(shù)變化的穩(wěn)定系數(shù)j j(l l)與桿材料與桿材料的強度容許應力的強度容許應力s s 加以聯(lián)系，即加以聯(lián)系，即 s sl lj js s )(w# 工程力學教