第二講 風(fēng)險(xiǎn)效用理論及保險(xiǎn)定價(jià)理論的發(fā)展

1、對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)游桂云教授第二講第二講 風(fēng)險(xiǎn)效用理論及保險(xiǎn)定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)效用理論及保險(xiǎn)定價(jià) 理論的發(fā)展理論的發(fā)展壽險(xiǎn)定價(jià)特點(diǎn)壽險(xiǎn)定價(jià)特點(diǎn)l壽險(xiǎn)定價(jià)特點(diǎn)長期性、儲(chǔ)蓄性 死亡率 收益率 費(fèi)用率l壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)利潤（虧損）來源 死差益（損） 利差益（損） 費(fèi)差益（損）l分紅保單&不分紅保單非壽險(xiǎn)定價(jià)特點(diǎn)非壽險(xiǎn)定價(jià)特點(diǎn)- -傳統(tǒng)印象傳統(tǒng)印象l 中短期業(yè)務(wù) l 資金時(shí)間價(jià)值不被強(qiáng)調(diào)國外非壽險(xiǎn)定價(jià)理論發(fā)展國外非壽險(xiǎn)定價(jià)理論發(fā)展l在早期的保險(xiǎn)經(jīng)營中，國外保險(xiǎn)企業(yè)根據(jù)銀行利率水平來規(guī)定預(yù)定的利率，以銀行存款作為保險(xiǎn)資金的主要運(yùn)用途徑l保險(xiǎn)標(biāo)的的承保風(fēng)險(xiǎn)是保險(xiǎn)企業(yè)面臨的主要風(fēng)險(xiǎn)。l精算定價(jià)理論l20世紀(jì)60年代后，

2、西方資本市場日漸發(fā)達(dá)，為保險(xiǎn)資金的運(yùn)用開辟了廣闊的空間，保險(xiǎn)企業(yè)為了提升自身的競爭能力，紛紛尋求更好的資金價(jià)值增值的途徑。 l上世紀(jì)七十年代以后，國際保險(xiǎn)經(jīng)營的一個(gè)顯著特點(diǎn)是保險(xiǎn)企業(yè)為了減少經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)，增加效益，日益注重投資職能的發(fā)揮，期貨、期權(quán)等金融衍生工具交易成為保險(xiǎn)投資的一項(xiàng)重要內(nèi)容。l 承保利潤與投資理論的權(quán)重變化。 l風(fēng)險(xiǎn)效用概念大約在220年以前由數(shù)學(xué)家丹尼爾貝努利提出的，成為20世紀(jì)后期發(fā)展起來的保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)理論的基石。l馮.諾伊曼和摩根斯坦l卡爾.博爾奇將效用理論用于再保險(xiǎn)最優(yōu)化研究，從而使其迅速發(fā)展起來。非壽險(xiǎn)定價(jià)理論非壽險(xiǎn)定價(jià)理論 l精算定價(jià)l風(fēng)險(xiǎn)效用定價(jià)l金融工程定價(jià)精算定價(jià)精

3、算定價(jià)精算發(fā)展與基本原理精算發(fā)展與基本原理l保險(xiǎn)精算是以數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)及人口學(xué)等學(xué)科的知識(shí)和原理，去解決商業(yè)保險(xiǎn)和社會(huì)保障業(yè)務(wù)中需要精確計(jì)算的項(xiàng)目，如研究保險(xiǎn)事故的出險(xiǎn)規(guī)律、保險(xiǎn)事故損失額的分布規(guī)律、保險(xiǎn)人承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的平均損失及其分布規(guī)律、保險(xiǎn)費(fèi)和責(zé)任準(zhǔn)備金等保險(xiǎn)具體問題的計(jì)算。l保險(xiǎn)精算學(xué)起源于人壽保險(xiǎn)中的保費(fèi)計(jì)算，其發(fā)展與壽險(xiǎn)有著深厚的淵源關(guān)系。l英國著名天文學(xué)家愛德華哈雷根據(jù)德國布勒斯市居民的死亡資料，編制了世界上第一張完整的生命表。l20世紀(jì)以來，尤其是二次大戰(zhàn)后，數(shù)理統(tǒng)計(jì)在理論上不斷完善、在應(yīng)用中逐漸成熟，而保險(xiǎn)業(yè)自身也面臨競爭日益激烈、新險(xiǎn)種不斷涌現(xiàn)和費(fèi)率計(jì)算漸漸合理的

4、挑戰(zhàn)。進(jìn)而出現(xiàn)了一個(gè)結(jié)合數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)和金融學(xué)等多種學(xué)科的嶄新交叉學(xué)科精算學(xué)(Actuarial Science)。l保險(xiǎn)精算最基本的原理可簡單歸納為收支相等原則和大數(shù)法則。l收支相等原則也叫做均衡原理。l所謂大數(shù)法則，是用來說明大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱。它主要包括切比雪夫大數(shù)法則、貝努力大數(shù)法則、普阿松大數(shù)法則。l精算學(xué)最早源于人壽保險(xiǎn)中的費(fèi)率計(jì)算，而目前國際上普遍認(rèn)為，精算學(xué)已不僅限于壽險(xiǎn)。l抽象地說，精算學(xué)是定量地研究未來的隨機(jī)事件對(duì)目前財(cái)政狀況的影響，進(jìn)而制定科學(xué)合理的經(jīng)營策略，以減少不良的影響。 非壽險(xiǎn)精算定價(jià)過程非壽險(xiǎn)精算定價(jià)過程

5、l非壽險(xiǎn)的內(nèi)涵 壽險(xiǎn)與非壽險(xiǎn) 人身保險(xiǎn)與財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)l非壽險(xiǎn)的特點(diǎn)是： 風(fēng)險(xiǎn)種類繁多、影響風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的因素多和索賠方式復(fù)雜。l正是由于以上原因，非壽險(xiǎn)精算就沒有壽險(xiǎn)那樣系統(tǒng)和標(biāo)準(zhǔn)，往往是一類問題對(duì)應(yīng)一類方法，有時(shí)甚至在同一類問題中也要隨時(shí)間和環(huán)境的變化而修正計(jì)算方法，這時(shí)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)知識(shí)和統(tǒng)計(jì)分析是融合在一起的，必須以實(shí)際效果來衡量方法的優(yōu)良。l但非壽險(xiǎn)精算作為一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域也有一些較為成熟的問題和方法。非壽險(xiǎn)精算定價(jià)過程非壽險(xiǎn)精算定價(jià)過程l風(fēng)險(xiǎn)分級(jí)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估l保險(xiǎn)金額和免賠額確定l損失分布估計(jì)l保額損失率確定l風(fēng)險(xiǎn)附加和費(fèi)用附加l后驗(yàn)費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)分級(jí)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)分級(jí)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估l風(fēng)險(xiǎn)分級(jí)風(fēng)險(xiǎn)同質(zhì)性強(qiáng)

6、經(jīng)驗(yàn) 相關(guān)性分析l風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性突出保險(xiǎn)金額和免賠額確定保險(xiǎn)金額和免賠額確定 關(guān)系到保險(xiǎn)公司責(zé)任的承擔(dān)l保險(xiǎn)金額和免賠額確定 經(jīng)驗(yàn)方法 最優(yōu)保險(xiǎn)水平（效用理論）損失分布估計(jì)損失分布估計(jì) l非壽險(xiǎn)的損失分布估計(jì)問題與一般的統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題有類似之處，即包括分布擬合與參數(shù)估計(jì)兩大類問題l但這里的估計(jì)問題也有自身的一些特點(diǎn)。對(duì)于非壽險(xiǎn)，包括索賠頻數(shù)的分布和損失程度的估計(jì)l要首先明確風(fēng)險(xiǎn)單位(例如：汽車險(xiǎn)中的“年車”、醫(yī)療險(xiǎn)中的“人次”)，然后通過對(duì)現(xiàn)有索賠記錄的分析處理，估計(jì)頻數(shù)分布，目前常常采用Possion分布和負(fù)二項(xiàng)分布等。l數(shù)據(jù)類型一般為分組頻數(shù)數(shù)據(jù)，即只知道區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)而沒有具體值的記

7、錄；另外，由于免賠額和超額損失的存在，使得數(shù)據(jù)具有左截?cái)嗪陀覄h失的特征。 l常用的統(tǒng)計(jì)方法有：非參數(shù)的最優(yōu)擬合方法，估計(jì)擬合精度，比較擬合效果；l已知分布的參數(shù)估計(jì)方法，常見的分布有：威布爾(Weibull)分布、伽瑪(Gamma)分布、布爾(Burr)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)(lognormal)分布、帕累托(Pareto)分布和Beta分布等。l估計(jì)方法有：最大似然法、最小距離方法、估計(jì)方法和Bayes估計(jì)方法等。 估計(jì)過程估計(jì)過程l根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作圖l觀察圖形，找出可能符合的分布 常用的分布類型有（0-10-1）兩點(diǎn)分布）兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布0 x=k=(1)nkn kknPppk 泊松分布泊

8、松分布 ,0,1,2,30!keP xkkk其中且為常數(shù)幾何分布幾何分布 均勻分布均勻分布 則x在區(qū)間a，b上服從均勻分布1( ),0,f xaxbba其他正態(tài)分布正態(tài)分布 eaxxp222/)(21)(指數(shù)分布指數(shù)分布,0( ),00,11( )xexf xVar x且為常數(shù)其他期望值E(x)=方差 卡方分布卡方分布 0,)2/(210, 0)(2/22/xexnxxpxnnt t分布分布 2(1)/21()2( )(1)( )2xntxnxp xnnn則 服從自由度為 的 分布F F分布分布0, 00,)()(2/ )(12122/22/1)2()2()2(211212121xxxkkxk

9、kxpkkkkkkkkk參數(shù)估計(jì)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 參數(shù)估計(jì)l矩估計(jì)法l極大似然估計(jì)l最小法 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)確定保額損失率確定保額損失率l建立損失分布就可估計(jì)出未來的損失，確定保額損失率。l根據(jù)保險(xiǎn)精算原理，保額損失率通過不同風(fēng)險(xiǎn)個(gè)體和不同風(fēng)險(xiǎn)集合的損失分布求期望值而獲得，計(jì)算公式如下： 保額損失率保額損失率l其中N表示保險(xiǎn)金額損失率，E（S）表示期望損失，A表示保險(xiǎn)金額總額。 ASEN/ )(附加費(fèi)率附加費(fèi)率l包括風(fēng)險(xiǎn)附加和費(fèi)用附加風(fēng)險(xiǎn)附加風(fēng)險(xiǎn)附加l風(fēng)險(xiǎn)附加費(fèi)率又稱第一附加費(fèi)率，它是為防止各年度實(shí)際保險(xiǎn)金額損失率偏離保險(xiǎn)金額損失率期望值，在凈費(fèi)率基礎(chǔ)上附加的費(fèi)率。費(fèi)用附加費(fèi)用

10、附加l費(fèi)用附加是指保險(xiǎn)公司為了進(jìn)行正常的經(jīng)營活動(dòng)，還必須向投保人收取一定的經(jīng)營管理費(fèi)用、中介人傭金和稅金等，它屬于成本核算問題。 l在實(shí)際定價(jià)中，費(fèi)用附加常以風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的一定比例計(jì)算。 l對(duì)附加費(fèi)率的監(jiān)管是保險(xiǎn)監(jiān)管的重要內(nèi)容。后驗(yàn)費(fèi)率的確定后驗(yàn)費(fèi)率的確定 l根據(jù)保險(xiǎn)精算定價(jià)理論，保險(xiǎn)定價(jià)過程可分為兩個(gè)方面建立充分費(fèi)率和設(shè)定實(shí)際價(jià)格。l保險(xiǎn)產(chǎn)品價(jià)格是建立在充分費(fèi)率基礎(chǔ)上，卻不一定等于充分費(fèi)率，保險(xiǎn)公司可根據(jù)其自身的營銷目標(biāo)設(shè)定出比充分費(fèi)率更低或更高或與充分費(fèi)率相等的價(jià)格。l由純保費(fèi)與費(fèi)用附加得到先驗(yàn)費(fèi)率既充分費(fèi)率，但是由于所保風(fēng)險(xiǎn)具有一定的異質(zhì)性，為了體現(xiàn)公平性，讓不同風(fēng)險(xiǎn)的繳納不同的保費(fèi)，我們需

11、要在實(shí)際的定價(jià)中對(duì)先驗(yàn)費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整，這就是獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。l基于已經(jīng)發(fā)生的損失金額和損失次數(shù)，將被保險(xiǎn)人分成不同的等級(jí)，對(duì)不同等級(jí)的被保險(xiǎn)人收取不同的保費(fèi)，對(duì)未發(fā)生損失的被保險(xiǎn)人收取較低的保費(fèi)，對(duì)與發(fā)生損失的被保險(xiǎn)人收取懲罰性的保費(fèi)。后驗(yàn)費(fèi)率的確定，即BMS的設(shè)計(jì)。后驗(yàn)費(fèi)率后驗(yàn)費(fèi)率 l稱為無賠款折扣系統(tǒng)(NCD： no-claims discount)，l又稱為獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(BMS：bonus-malus system) lBMS最早產(chǎn)生于20世紀(jì)50年代中期的歐洲，后來逐漸為各國接受，并在各國形成了符合自身國情的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。BMS被廣泛應(yīng)用于各種險(xiǎn)種，在我國對(duì)于BMS的研究也大多集中在汽車保險(xiǎn)的領(lǐng)

12、域。風(fēng)險(xiǎn)效用理論風(fēng)險(xiǎn)效用理論2022-6-1風(fēng)險(xiǎn)（期望）效用理論風(fēng)險(xiǎn)（期望）效用理論l圣彼得堡悖論圣彼得堡悖論lVon Neumann-MorgensternVon Neumann-Morgenstern期望效用理論期望效用理論l行為主體的風(fēng)險(xiǎn)偏好l風(fēng)險(xiǎn)效用理論的質(zhì)疑與發(fā)展l基于風(fēng)險(xiǎn)效用理論的保險(xiǎn)定價(jià)思想圣彼得堡悖論圣彼得堡悖論 l對(duì)風(fēng)險(xiǎn)按照數(shù)學(xué)期望值的方法度量，這種方法客觀、直觀和簡便，然而在保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)中卻不適用。案例：案例：該企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)決策矩陣可表示為1=0.9992=0.0011（不發(fā)生保險(xiǎn)事故）2（發(fā)生保險(xiǎn)事故）a1200萬元0a2199.75萬元199.75萬元a3199.78萬元18

13、9.78萬元三個(gè)方案的期望值分別為：三個(gè)方案的期望值分別為：77.199001. 078.189999. 078.19975.199001. 075.199999. 075.1998 .199001. 00999. 0200321XEXEXEl按照數(shù)學(xué)期望值決策，投保人不會(huì)采取保險(xiǎn)公司提供的所有契約，然而在現(xiàn)實(shí)中，投保人往往愿意支付比損失風(fēng)險(xiǎn)數(shù)學(xué)期望值（其絕對(duì)值為0.2萬元）大的保險(xiǎn)費(fèi)(比如0.25萬元) 在保險(xiǎn)公司投保.l這說明，按照數(shù)學(xué)期望值的大小進(jìn)行比較，并沒反應(yīng)投保人心目中對(duì)隨機(jī)變量的偏好。 l1728年，貝努里提出著名的“圣彼得堡賭博悖論”“彼得堡悖論”（或“圣彼得堡悖論”） l17

14、28年，Necholas Bemoulli 設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：l假設(shè)一人重復(fù)向上拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣知道它正面朝上，加入扔一次就正面朝上獲得2美元報(bào)酬，如果扔第二次時(shí)正面朝上就獲得 美元，扔第三次時(shí)就獲得 美元，依此類推。問：人們?cè)敢獬龆嗌馘X去玩這個(gè)游戲？答案：23美元。l參加者可能贏錢的數(shù)學(xué)期望：4228233322212212212l圣彼得堡悖論說明，在人們心目中，不是用數(shù)學(xué)期望值來度量一個(gè)隨機(jī)變量的。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)效用理論西方經(jīng)濟(jì)學(xué)效用理論 效用：商品滿足人的欲望的能力和消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)所感受到的滿足程度。 基數(shù)基數(shù)( (cardinal number)cardinal number)效用：

15、邊際效用分析方法效用：邊際效用分析方法l總效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)從一定數(shù)量商品的消費(fèi)中所得到的效用量的總和。l邊際效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)增加一單位商品的消費(fèi)所得到的效用量的增量 序數(shù)序數(shù)( (ordinal number)ordinal number)效用：無差異曲線分析方法效用：無差異曲線分析方法無差異曲線（Indifference curve）l含義：無差異曲線表示對(duì)消費(fèi)者沒有區(qū)別的商品組合的點(diǎn)的軌跡。即無差異曲線是用來表示兩種商品或兩組商品的不同數(shù)量的組合對(duì)消費(fèi)者所提供的效用是相同的。 無差異曲線的特征無

16、差異曲線的特征l無差異曲線是是一條凸向原點(diǎn)，并向右下方傾斜的曲線，其斜率為負(fù)值，它表明在收入與價(jià)格既定的條件下，為了獲得同樣的滿足程度，增加一種商品消費(fèi)時(shí)就必須放棄或減少另一種商品的消費(fèi)。兩種商品在消費(fèi)者偏好不變的條件下，不能同時(shí)減少或增多。l 在同一平面圖上有無數(shù)條無差異曲線，同一條無差異曲線代表同樣的滿足程度，不同的無差異曲線代表不同的滿足程度，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，滿足程度越大，反之則越小。 偏好關(guān)系偏好關(guān)系 關(guān)于消費(fèi)者偏好的基本假定關(guān)于消費(fèi)者偏好的基本假定l偏好的完全性；偏好的可傳遞性；偏好的非飽和性 l偏好關(guān)系偏好關(guān)系l定義：消費(fèi)集X上的二元關(guān)系，用“ ”表示，若 ，l我們稱對(duì)于消費(fèi)者“ 與

17、只是一樣地好”。若該二元關(guān)系滿足如下公理：l完備性：完備性：對(duì)于任意屬于X集的兩個(gè)選擇 與 ，要么 ，要么l傳遞性：傳遞性：對(duì)于任意屬于X集的任何三元素 、 與 ， 如果 且 ，則 。那么它被稱為一種偏好關(guān)系。21xx 1x2x1x2x21xx 12xx 1x2x3x21xx 32xx 31xx 貝努利的建議：貝努利的建議：l貝努利建議，可以對(duì)原有的期望值“度量” 進(jìn)行修正，其方法是對(duì)結(jié)果值進(jìn)行變換，即構(gòu)造定義在實(shí)數(shù)集合上的函數(shù)u(x)，滿足 Rxxu , 0l對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量X,可以用其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)f(x)計(jì)算效用期望值 baxdxxfxuXuEba,)()()(l對(duì)于離散型隨機(jī)變量

18、X，可以用其對(duì)應(yīng)的概率分布列計(jì)算效用期望值 iiixupXuE)()(l然而，貝努利的建議有何根據(jù)？它和行為主體（如投保人）對(duì)于隨機(jī)變量之間的偏好有什么關(guān)系？如何建立行為主體（如投保人）的效用函數(shù)？l這些問題直到Von Neumann-Morgenstern Von Neumann-Morgenstern 證明了如下定理后才得以從理論上解決。Von Neumann-MorgensternVon Neumann-Morgenstern期望效用理期望效用理論論l設(shè)D為一個(gè)行為主體所有可能選擇組合結(jié)果的集合，當(dāng)行為主體對(duì)不同的選擇組合（因而對(duì)與其對(duì)應(yīng)的概率分布）的偏好滿足如下公理： 保序性公理： j

19、ijijiDDDDDDD）（）（則-1-1,1 , 0,中值性公理：中值性公理：kijkjijiDDDDDDDDD）（使得則且-1),1 , 0(,等價(jià)關(guān)系的獨(dú)立性公理：等價(jià)關(guān)系的獨(dú)立性公理：kjkijijiDDDDDDDDD）（）（，那么如果-1-1,1 , 0,l則存在一個(gè)效用函數(shù)則存在一個(gè)效用函數(shù)u(x)u(x)對(duì)應(yīng)該行為主體對(duì)選對(duì)應(yīng)該行為主體對(duì)選擇組合的偏好，并且該行為主體對(duì)選擇組合的擇組合的偏好，并且該行為主體對(duì)選擇組合的評(píng)價(jià)是按效用期望值做出的，即對(duì)隨機(jī)變量評(píng)價(jià)是按效用期望值做出的，即對(duì)隨機(jī)變量X X的的評(píng)價(jià)值為評(píng)價(jià)值為 注：證明過程略。baxdxxfxuXuEba,)()()(i

20、iixupXuE)()(效用期望值（風(fēng)險(xiǎn)效用）的確定效用期望值（風(fēng)險(xiǎn)效用）的確定 l 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，可以用其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)f(x)計(jì)算效用期望值 baxdxxfxuXuEba,)()()(l對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，可以用其對(duì)應(yīng)的概率分布列計(jì)算效用期望值 iiixupXuE)()(l例2-1 2-1 假設(shè)某企業(yè)擁有價(jià)值200200萬元的廠房，廠房發(fā)生火災(zāi)的概率為0.0010.001，不發(fā)生火災(zāi)的概率為0.9990.999。如果保險(xiǎn)公司甲愿意接受該企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移，即保險(xiǎn)事故發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)公司賠付200200萬元，但該企業(yè)需交納保費(fèi)P1=0.25P1=0.25萬元；保險(xiǎn)公司乙提出絕對(duì)免賠額1

21、010萬元，而要求的保費(fèi)是P2=0.22P2=0.22萬元。則該企業(yè)有三種方案：a)a)自留風(fēng)險(xiǎn)；b)b)投保保險(xiǎn)公司甲；c)c)投保保險(xiǎn)公司乙。 l若計(jì)算三個(gè)方案的效用期望值。xxu)(40.14131897800001. 01997800999. 0)(33.14131997500001. 01997500999. 0)(80.14120001. 02000000999. 0)(321XuEXuEXuE風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)與西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用函風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)與西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用函數(shù)比較數(shù)比較l微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用函數(shù)： 0)(, 0)(,),( xuxuRxxul經(jīng)濟(jì)學(xué)意義： ,0)(xu,0)( x

22、u 多多益善假設(shè)，即消費(fèi)品數(shù)量越多效用越大假設(shè) 邊際效用遞減假設(shè)，或者叫消費(fèi)有夠假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)：風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)：0)(,),(xuRxxu l對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度與效用函數(shù)之間的關(guān)系： 風(fēng)險(xiǎn)中性的形式為線性函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)喜好）為凸函數(shù)（風(fēng)險(xiǎn)厭惡）為凹函數(shù)（:)(:0)(, 0)()(:0)(, 0)()(baxxuxuxuxuxuxuxu 風(fēng)險(xiǎn)確定等價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)確定等價(jià)值l定義定義3.13.1：如果u(x)是行為主體的效用函數(shù)，那么對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量（風(fēng)險(xiǎn)）l稱 為X的確定值等價(jià)。 nnxxxX,;,;,2211XuEuSX1l含義是：在行為主體的心目中，得到確定的結(jié)果與采取行動(dòng)得到的隨機(jī)變量X是等價(jià)的。l 可看

23、作行為主體對(duì)X的主觀評(píng)價(jià) XSXSl顯然， 與EX之間的關(guān)系是l三者之一 XSXESXESXESXXX確定等價(jià)值的確定確定等價(jià)值的確定 l在前例中：xxu)(確定等價(jià)值的確定確定等價(jià)值的確定40.14131897800001. 01997800999. 0)(33.14131997500001. 01997500999. 0)(80.14120001. 02000000999. 0)(321XuEXuEXuE確定等價(jià)值的確定確定等價(jià)值的確定8 .199600380.1412,80.1412211XXSS風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度l定義定義3.23.2：如果u(x)是行為主體的效用函數(shù)，那么對(duì)于任意的隨機(jī)

24、變量（風(fēng)險(xiǎn)）nnxxxX,;,;,2211XS1）均有 EX，則稱該行為主體是風(fēng)險(xiǎn)喜好型的； l3）均有 =EX，則稱該行為主體是風(fēng)險(xiǎn)中性型的； XSXS詹森定理詹森定理 l定理定理3.13.1（JensenJensen不等式）不等式）：如果函數(shù)u(x) 具有 l對(duì) 均成立，則對(duì)任意的隨機(jī)變量（風(fēng)險(xiǎn)），均有 0, 0 xuxu XEuXuEx該定理說明，如果行為主體的風(fēng)險(xiǎn)效用該定理說明，如果行為主體的風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)是：函數(shù)是： l1）凹函數(shù)，即 則該行為主體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者；l2）凸函數(shù)，即 則該行為主體是風(fēng)險(xiǎn)喜好者；l3）具有線性風(fēng)險(xiǎn)效用函，即 則該行為主體是風(fēng)險(xiǎn)中性者； 0,0 xuxu0,0

25、xuxu 0,0 xuxul注：詹森定理的證明（見注：詹森定理的證明（見wordword）。）。 風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量 lMarkowitz Markowitz 風(fēng)險(xiǎn)酬金風(fēng)險(xiǎn)酬金1（ Markowitz risk premium）lk(X)=EX- l 1 也被稱為“風(fēng)險(xiǎn)升水”。XSl可看作行為主體為了避免隨機(jī)變量造成的不確定性，而愿意放棄的收益的最大值。lMarkowitz 風(fēng)險(xiǎn)酬金越大，說明行為主體為避免風(fēng)險(xiǎn)愿意放棄的收益越多。l因此可以用Markowitz 風(fēng)險(xiǎn)酬金來刻畫行為主體對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度。 lMarkowitz risk premium 非常直觀地表達(dá)了行為主體對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭

26、惡程度，然而Markowitz risk premium 的大小與隨機(jī)變量有關(guān)。l因此，必須尋找只反映行為主體主管的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度（與客觀的隨機(jī)變量無關(guān)）的量，來度量行為主體對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的提絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的提出。出。 絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的提出（Arrow, Pratt）：l根據(jù)Markowitz risk premiumMarkowitz risk premium的定義：的定義：lk(X)=EX-XS kXESX展開，得：附近進(jìn)行對(duì)該等式兩邊在TaylorXEkXEuXuE XEuXEuXVarXk 2l為此，ArrowArrow（19701970）和和PrattPratt（19641

27、964）分分別把反映客觀風(fēng)險(xiǎn)的因素別把反映客觀風(fēng)險(xiǎn)的因素去掉，僅留下反映行為主體主觀上對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度部分，提出絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的概念。 l定義定義3.43.4： 如果行為主體的效用函數(shù)為u(x),稱 l為行為主體的（Pratt-Arrow）絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度。 xuxuxr l定義定義3.5: 3.5: 設(shè) l分別是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型行為主體A與B的風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)。如果對(duì)任意x都有：l則稱行為主體A比行為主體B更厭惡風(fēng)險(xiǎn)。 xuxuBA, ,xrxrBAl定理定理3.4(3.4(Pratt) Pratt) 如果如果l則對(duì)任意隨機(jī)變量X,必有 , xrxrBA XkXkBAl例例: : 兩個(gè)行為主體的風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)

28、分別為l試比較它們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度 。l解： ,4ln,21xxuxxu 41,2121xxrxxr相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度l定義定義3.63.6：如果行為主體的效用函數(shù)為u(x),稱l l為行為主體的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度。xxuxuxR l例：兩個(gè)行為主體的效用函數(shù)分別為 l試比較他們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度。 4ln,)(21xxuxxu初始資產(chǎn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的影響初始資產(chǎn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的影響 l設(shè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的行為主體擁有初始資產(chǎn)l一般來說，他會(huì)把面臨的風(fēng)險(xiǎn)與初始資產(chǎn)“捆綁”在一起進(jìn)行度量。 0W定義定義3.7 3.7 l如果行為主體的效用函數(shù)為 ,u xu x r xu xl具有性質(zhì)l則稱行為主體是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；

29、 0,r xx l如果l則稱該行為主體是常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；l如果l則稱行為主體是遞增風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。0,rx 0,rx l一般說來，如果l那么對(duì)于任意風(fēng)險(xiǎn)X， l成立，即隨著初始資產(chǎn)的增加，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)感受的厭惡程度會(huì)下降； 0,rx000dk WXdWl如果l那么對(duì)于任意風(fēng)險(xiǎn)X， 有l(wèi) 即隨著初始資產(chǎn)的增加，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)感受的厭惡程度會(huì)上升； 0,rx 000dk WXdWl如果l那么對(duì)于任意風(fēng)險(xiǎn)X，l 即對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度與初始資產(chǎn)無關(guān)。 0,r x 000dk WXdWlPratt(1964)1、Keeny和Raiffa2(1976)指出：l1 Pratt，J.W., Risk Aversion in t

30、he small and in the large ,Econometrica(32),1964,pp.122-136l2 Keeny, R.L., Raiffa, H., Decisions with Multiple Objectives-Preferences and Value Tradeoffs; New York et.al.1976l具有常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)的形式只有具有常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)的形式只有 ,0 xu xel具有遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)，其形式為具有遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)，其形式為l l是這種形式的效用函數(shù)中的一種特例。 ,1u xx x 210,0.5

31、u xxxxl具有遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)的形式有下具有遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)的形式有下列多種列多種 ln,01,0,u xxxu xxxu xxx l可以看出，l是這種效用函數(shù)的一種特例。uxx風(fēng)險(xiǎn)效用理論的質(zhì)疑與發(fā)展風(fēng)險(xiǎn)效用理論的質(zhì)疑與發(fā)展l阿萊悖論；l馬齊納概率三角形；l偏好逆轉(zhuǎn)；l框架效應(yīng)；l前景理論基于風(fēng)險(xiǎn)效用理論的保險(xiǎn)定價(jià)基于風(fēng)險(xiǎn)效用理論的保險(xiǎn)定價(jià)l對(duì)存在風(fēng)險(xiǎn)和不確定條件下，以期望貨幣最大化作為決策標(biāo)準(zhǔn)提出質(zhì)疑，并首次提出“效用”概念，同時(shí)提出了邊際效用遞減原理和最大期望效用原理。l馮諾一曼和摩津斯坦證明了對(duì)一個(gè)“行為合理” 的決策者，存在一個(gè)效用函數(shù)，其根據(jù)隨機(jī)事件期望效用

32、值的大小決定。l效用值的大小衡量了決策者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度、偏好等主觀因素的強(qiáng)弱程度。效用理論屬于個(gè)體心理及行為的決策理論。投保條件投保條件)()(XVuHVu 承保條件承保條件)()(AWXPAW122達(dá)成協(xié)議的條件達(dá)成協(xié)議的條件l保險(xiǎn)產(chǎn)品的價(jià)格只有介于P和H之間時(shí)，才是合理，而且能為投保人和承保人接受的。 零效用原則零效用原則承保人角度承保人角度l在確定保費(fèi)時(shí)，零效用保費(fèi)定價(jià)方法是較為常見的。l對(duì)于承保人來說，承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)X的期望效用應(yīng)與不承保時(shí)的效用相等，這是效用理論在保險(xiǎn)定價(jià)實(shí)務(wù)方面的具體運(yùn)用形式。l Eu(P(X)-X)=u(0)=0l根據(jù)效用函數(shù)的不同可以分成不同的原則。主要有以下的原則：

33、指數(shù)原則指數(shù)原則 ln1)(0,11aXaxeEaXPaeaxu與初始資產(chǎn)有關(guān)的零效用原則與初始資產(chǎn)有關(guān)的零效用原則)()(00WuXXPWuE中值原則中值原則Eu(X)=u(P(X)損失函數(shù)原則損失函數(shù)原則EsscherEsscher原則原則 lMin EL(X-P(X)Min EL(X-P(X)，l其中L()為損失函數(shù)。0,0 xxxL XP XEPE XeL XP XeXP XPXE e特殊損失函數(shù)金融定價(jià)理論金融定價(jià)理論 產(chǎn)生背景產(chǎn)生背景l(fā)早在20世紀(jì)20年代，火災(zāi)保險(xiǎn)委員會(huì)的少數(shù)報(bào)告就建議將投資收入也考慮到?jīng)Q定合理利潤條款中，但是這項(xiàng)建議被國際保險(xiǎn)委員會(huì)否決。l當(dāng)時(shí)保險(xiǎn)監(jiān)管協(xié)會(huì)的立場是只有承保行為是決定保險(xiǎn)公司合理利潤水平的決定因素，與投資無關(guān)。l而且，推薦使用5%作為一定的邊際利潤水平，該水平在制定時(shí)很明顯沒有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的支持。l在20世紀(jì)60年代和70年代，由于利率的波