球與多面體的切接關(guān)系

1、位置關(guān)系描述：球與正方體的六個(gè)面都相切，各個(gè)面的中心即為切點(diǎn)。正方體的中心即為球心。相對(duì)兩個(gè)面中心連線即為球的直徑。球叫做“正方體的內(nèi)切球”，正方體叫做“球的外切正方體”。o圖形度量關(guān)系球的直徑等于正方體棱長。aR 2一、正方體的內(nèi)切球例題1求棱長為2的正方體的內(nèi)切球的表面積解：因球與正方體內(nèi)切，所以，球的直徑等于正方體棱長，即441222rSrr即時(shí)練習(xí)：一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是（ ）2.4.6.8.DCBAC位置關(guān)系描述：度量關(guān)系圖形二、球與正方體的棱相切球與正方體的12條棱都相切，各棱的中點(diǎn)即為切點(diǎn)。正方體中心即為球心?！皩?duì)棱”中點(diǎn)連線即為球的直徑。球的直徑等

2、于正方體一個(gè)面上的對(duì)角線長aR22即時(shí)練習(xí)：在一個(gè)空的正方體框架內(nèi)放置一球，若正方體棱長為a,則此球的最大體積是332a圖形位置關(guān)系描述：度量關(guān)系三、 正方體的外接球正方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上。正方體的中心即為球心。球叫做“正方體的外接球”，正方體叫做“球的內(nèi)接正方體”。正方體的（體）對(duì)角線等于球直徑aR32_課堂練習(xí)正方體的內(nèi)切球與外接球半徑的比是2:1.3:2.3:1.2:1.DCBAB正方體的全面積是 ，它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積是若球面內(nèi)接正方體對(duì)角面面積為 ，設(shè)球面內(nèi)接正方體的棱長為a，則對(duì)角面面積為124323,2,242222RSaRaaaa球的面積為球半徑為2a2

3、2a24解：22222442662323,3266,6,aRSaaxRxRaxaxx球的表面積為得：由則設(shè)正方體的棱長為例題2求球的表面積2長方體與球一、長方體的外接球位置關(guān)系描述：長方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上。長方體的中心（對(duì)角線的交點(diǎn)）即為球心。球叫做“長方體的外接球”，長方體叫做“球的內(nèi)接長方體”。度量關(guān)系長方體的（體）對(duì)角線等于球直徑圖形Rcbalcba2222，則、分別為設(shè)長方體的長、寬、高長方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長分別為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么，這個(gè)球的表面積是 ( )200.50.225.220.DCBAC思考：一般的長方體有內(nèi)切球嗎？沒有。一個(gè)球在長方

4、體內(nèi)部，最多可以和該長方體的5個(gè)面相切。如果一個(gè)長方體有內(nèi)切球，那么它一定是正方體課堂練習(xí)例如，裝乒乓球的盒子如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球底面圓內(nèi)。則這個(gè)半球的面積與正方體表面積的比為 （ ）3.125.2.65.DCBAaaaal6)2(222將半球補(bǔ)成整球由長方體內(nèi)接于球知：Rl2RaRa36,2629662622222RRaRSS正方體半球所以，選B分析1B例題3則兩個(gè)同樣的正方體對(duì)接構(gòu)成的長方體就內(nèi)接于這個(gè)球。設(shè)正方體棱長為a，則所得長方體對(duì)角線長為如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長為變式練習(xí)求半球的表面積和體積答案：半球的

5、表面積為27，半球的體積為18. 6分析2aRRaaaABROBaOA26,22,22222OABOAB設(shè)球心為O，則O亦為底面正方形的中心。26232622222aaaRSS正方體半球如圖，連結(jié)OA、OB，則得RtOAB.設(shè)正方體棱長為a，易知：例題4在半徑為R的球面上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作兩兩互相垂直的三條弦，求證：這三條弦的平方和為定值。POABCDO1證明設(shè)過球O上一點(diǎn)P，作三條互相垂直的弦PA、PB、PC，如圖所示設(shè)PB、PC所在的平面與球O相交于小圓 O1，因?yàn)镻B與PC垂直，所以，BC為小圓 O1直徑。連結(jié)PO1并延長交 O1于D，連結(jié)OO1.則OO1平面 O1。易知PA平面 O1，

6、在小圓 O1中，2222PDBCPCPB2222)2( RADPDPA定值2222)2( RPCPBPA在大圓 O中，所以，OO1PA，所以球心O在A、P、D三點(diǎn)所確定的圓面內(nèi)，即過A、P、D的圓面是球的大圓。又PAPD，AD為該大圓的直徑（即O為AD的中點(diǎn)）。點(diǎn)P在直徑為 的球面上，過P作兩兩互相垂直的三條弦（兩端點(diǎn)均在球面上的線段），若其中一條弦長是另一條弦長的2倍，則這三條弦長之和的最大值是（ ） 651052.5212.534.6.DCBA1656,65,6)2(22222222babaRcba即設(shè)三條弦長分別為a、b、c，且c=2b,則：sin530,cos6,0baba可設(shè)、510

7、52)sin(51052)sin(253096sin5303cos63bacba則三條弦長之和為 D 3 球與棱錐切接問題舉例 （1） 球與正四面體球與正四面體正四面體P-ABC的棱長為a，求它的外接球半徑R和內(nèi)切球半徑r分析：和正方體類似，任何一個(gè)正四面體都有一個(gè)外接球和一個(gè)內(nèi)切球設(shè)其外接球的球心為O，則O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等即R。那么，點(diǎn)O在什么地方呢？由于P-ABC為正四面體，所以，點(diǎn)P在底面ABC上的射影H即為正ABC的中心，而點(diǎn)H到頂點(diǎn)A、B、C的距離都相等。解：OPABCDKH取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD，在PAD中，過P作PHAD， 則PH底面ABC。D為BC中點(diǎn)，ADBC,P

8、DBC,BC平面PAD，BCPH;又 PHAD, PH底面ABC.在PAD中，過A作AKPD，則AK平面PBC那么，正四面體的兩條高PH與AK的交點(diǎn)即為球心O。當(dāng)點(diǎn)H沿著線段PH向上移動(dòng)至P時(shí)，仍然滿足到三頂點(diǎn)A、B、C的距離相等。據(jù)此，可猜想球心O應(yīng)在正四面體的高PH上；同理，球心O也在正四面體的其它頂點(diǎn)引發(fā)的高上。設(shè)另一條高為AK，則PH與AK的交點(diǎn)即為球心O。OPABCDKH連結(jié)HK，31OPOHAPKH31APKHDPDKDADH且ahRrRr3631即有：KHPA KHOAPO顯見，內(nèi)切球的球心也是這個(gè)點(diǎn)O，即正四面體的外接球與內(nèi)切球是同心球。而且，OP=OA=R, OH=OK=r3

9、1DPDKDADHarRar463126特別提醒：同學(xué)們只要記住如下關(guān)系式即可：rRahrR336OPABCDKH正四面體的外接球、內(nèi)切球是同心球，球心即為正四面體的中心。正四面體的四條高相交于同一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做正四面體的中心。如圖，四邊形OKDH為箏形。即有：OK=OH,DK=DH,ODKH.共底邊的兩個(gè)等腰三角形形成的平面凸四邊形叫做箏形。正四面體的外接球的球心把正四面體的一條高分成的兩部分的比為 ( )32.41.31.21.DCBAB聯(lián)想棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，則四面體ACB1D1的棱長都為 ，它的外接球也是正方體的外接球，其半徑為正方體對(duì)角線長的一半，即有r ，故所求

10、球面積為棱長為 的正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為 ( )一個(gè)四面體的所有棱長都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 ( ) A、3 B、4 C、5 D、62223AB1CD1 題目：解1：要理解和掌握“正方體與正四面體“的這種圖形上的關(guān)系，對(duì)于快速解題有很大幫助。外接球的半徑2324646aR解2：342RS36.34.32.3.DCBAA C鞏固練習(xí)22S3（2） 球與正三棱錐球與正三棱錐OPABCDHMOHPABCDM正三棱錐的外接球的球心在它的高所在直線上球心在高PH上，即在錐體內(nèi)部球心在高PH的延長線上，即在錐體外部球心與底面正中心H重合OPACDMHB度量

11、關(guān)系：設(shè)正三棱錐底面邊長為b，側(cè)棱長為a，高為h，外接圓半徑為R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即OPABCDKH正三棱錐的內(nèi)切球的球心在它的高上(與外接球的球心不一定重合）有關(guān)正三棱錐內(nèi)切球半徑的計(jì)算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在箏形OKDH 中進(jìn)行。 OH=OK=r. 注意到球心O與棱BC中點(diǎn)D的連線平分二面角P-BC-A的平面角。把有關(guān)立體幾何的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面幾何的計(jì)算，是最基本的策略。PHDOKrbrhhKOHDPOPDPKORtPHDRt36hbrhrPDHDOPOKP63sin或222222)

12、63()33(hbhhba設(shè)正三棱錐底面邊長為b，側(cè)棱長為a， 高為h，斜高為h ，內(nèi)切圓半徑為r，bhbhr363正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為1，底面邊長為 ，它的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則球的體積為 （ ）23622332AH339396122AHPAPHA解：設(shè)P在底面ABC上的射影為H，則H為正ABC的中心.延長PH交球面于M，則PM為球的一直徑，PAM=90由Rt中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即2323343433）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱錐的高PH的延長線上。在RtAHO,有：23,)33()36(2

13、22RRR 題目： 題目：正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為 ( )解析：OPABCDKHPHDOK設(shè)正三棱錐側(cè)棱長為a ，底面邊長為b ，三側(cè)棱兩兩垂直，各側(cè)面都是全等的等腰直角三角形。ab2aaabahah3396)33(,222222高斜高bhbhr363代入正三棱錐內(nèi)切球半徑公式：得：aar633333133263323633Rr又 正三棱錐外接球半徑 aR233: ) 13(.3: ) 13(.)33( :1.3:1.DCBAD已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，且滿足PBPAPBPA00PBPA0PCPB0PAPC同理，P

14、BPC, PCPA , 即PA、PB、PC兩兩互相垂直4)2(2222RPCPBPA易知，該三棱錐三個(gè)側(cè)面均為Rt，所以，其側(cè)面積為2)(21)(21222cbacabcabS解析：222222222,2,2,2cbacabcabcaacbccbabba三式相加得：說明：,cPCbPBaPA設(shè)則三棱錐的側(cè)面積的最大值為 （ ）41.21.1.2.DCBAA 題目：提示：三棱錐三側(cè)面兩兩垂直 三側(cè)棱兩兩垂直正三棱錐對(duì)棱互相垂直，即SBAC,又SBMN,且AMMN,所以，SB平面SAC。故，SBSA,SBSC,進(jìn)而，SASC.則三側(cè)棱互相垂直。以S為頂點(diǎn)，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則球的直徑 設(shè)三棱

15、錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為 ，則其外接球大圓的面積為 （ ）32SA在正三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且MNAM，若側(cè)棱則正三棱錐外接球的表面積是 （ ）C48.36.32.12.DCBACRSRSAR選即,364,3,3223SABCMN 題目：解析：34.9.32.3.DCBAC鞏固練習(xí)從P點(diǎn)出發(fā)三條射線PA，PB，PC兩兩成60，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若球的體積為 ， 則OP的距離為（ ）34axxaaPOPHPA26,36,22即0PABCHPABCO 因PA與球O相切于點(diǎn)A，OAPA,同理，OBPB,OCPC.RtPOA RtPOB RtPOC

16、 PA=PB=PC又APB=BPC=CPA=60PAB、PBC、PCA、ABC為全等的等邊三角形，P-ABC為正四面體；O-ABC為正三棱錐。解析：先想象一下圖形，畫出示意圖由已知得球半徑R=1，設(shè)PA=a，OP=x，設(shè)P在底面ABC上的射影為H（也是O在底面ABC上的射影），則AHPH.在RtPAO中，有：222221,xaPOAOPA即又3,2,2,234612222xaaaaa2.21.3.2.DCBAB 4 球與棱柱切接問題舉例正三棱柱的外接球球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)。AOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMROAAOMR，中

17、在設(shè)球半徑為R，球心到底面ABC的距離為d，ABC的外接圓半徑為r.設(shè)正三棱柱高AA1=h，底面邊長為a。正三棱柱的內(nèi)切球如果一個(gè)正三棱柱有內(nèi)切球，則球心為正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，球直徑等于正三棱柱的側(cè)棱長。各面中心即為切點(diǎn)（共5個(gè)）。底面正三角形中心到一邊的距離即為球半徑r。rarlhrahl322:, )則正三棱柱內(nèi)切球半徑為邊長為底面正（即為其高設(shè)正三棱柱側(cè)棱長為解:在 中, , 可得由正弦定理,可得 外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為 ，球心為 ，在 中，易得球半徑 ，故此球的表面積為. （2009全國卷理）直三棱柱 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若 , ，則此球的表面積等于 。 242

18、0R111ABCABC12ABACAA120BACABC2ABAC120BAC2 3BC ABCOORT OBO5R 真題賞析真題賞析ABCEOOBACB1A1C1OBOORr120（2009江西卷理）正三棱柱 內(nèi)接于半徑為2的球，若 兩點(diǎn)的球面距離為 ，則正三棱柱的體積為 111ABCABC,A B362322,23222,60sin222rrr即：60sin2,180sin23ranran由公式：真題賞析真題賞析由球面距離公式：得：,Rl332964422rRd83322)22(43243222dadShSV解析：222,2RABAOB設(shè)正ABC的外接圓半徑為r球心O到平面ABC的距離為

19、8一個(gè)正方體的棱長為2，將八個(gè)直徑各為1的球放進(jìn)去之后，正中央空間能放下的最大的球的直徑為 13 棱長為a的正方體外接球的表面積為（ ） 2222.2.3.4.aDaCaBaA B八個(gè)球的球心連線構(gòu)成一個(gè)立方體，且其棱長為1.解析：O1O7O1O7MN137171NOMOOOMNd設(shè)過對(duì)角線設(shè)過對(duì)角線O1O7的對(duì)角面與球的對(duì)角面與球O1、O7分別交于分別交于M、N，如圖。則所求為：，如圖。則所求為：作業(yè)：已知體積為 的正三棱錐的外接球的球心為，滿足 ,則三棱錐外接球的體積為 31630OAOBOC OBADC6,2ABACAD23如圖, 設(shè)A、B、C、D為球O上四點(diǎn)，若AB、AC、AD兩兩互相

20、垂直，且，則AD兩點(diǎn)間的球面距離 . 提示：由已知得：球心O為正三棱錐底面ABC的中心。如圖，則有PAM為等腰直角三角形，O為斜邊PM中點(diǎn)。設(shè)底面正邊長為a，側(cè)棱長為b，則aaAOhR332332aRb3624312939331231213343313133332aRaaaaShV得：由錐提示：21642222RADACABRAOD為等邊三角形.323RlAOD即半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，B、C間的球面距離是 ，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為 ，球心為O。23 Rl求： AOB，BOC的大??； 球心到截面ABC的距離； 球的內(nèi)接正方體的表面積與球面積之比解：球面距離2BOC3AOCAOBOA=OB=OC=1 2,1,BCACABBOC是等腰直角三角形而222,2BCrBCABCBACABC中點(diǎn)，外接圓半徑外接圓圓心是的是等腰直角三角形，2221122rRdABCO的距離到截面球心 設(shè)球的內(nèi)接正方體棱長為a，則332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：OBACAOBACOBCOCBA的正三角形都是邊長為、1AOCAOBA、B、C是半徑為1的球面上三點(diǎn)，B、C間的球面距離是 ，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為 ，球心為O。32求： AO