車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì) - 問題重述

1、問題重述：安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方, 其開口半徑36毫米，深度21.6毫米。經(jīng)過車燈的焦點(diǎn)，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設(shè)計(jì)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)下確定線光源的長度。 該設(shè)計(jì)規(guī)范在簡化后可描述如下。在焦點(diǎn)F正前方25米處的A點(diǎn)放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2AB=2.6米。要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值（可取為1個(gè)單位），B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。 請解決下列問題：（1）在滿足該設(shè)計(jì)規(guī)范

2、的條件下，計(jì)算線光源長度，使線光源的功率最小。（2）對得到的線光源長度，在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)。（3）討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性。模型假設(shè)：1 拋物面表面絕對光滑且反射系數(shù)為12 燈絲發(fā)光強(qiáng)度處處相同3 當(dāng)光源尺寸遠(yuǎn)小于它到受照面的距離時(shí)可視為點(diǎn)光源4 光線在大氣中傳播時(shí)不考慮塵埃等對光線的散射或其它影響5 將燈絲離散的分成許多小段，每一段的能量集中在該段的中心位置，視為點(diǎn)光源6 燈絲發(fā)光強(qiáng)度與功率成正比，比例系數(shù)為K符號系統(tǒng)： L：燈絲長度； P：拋物線的焦距； F：光通量； I：發(fā)光強(qiáng)度； W：空間角；模型的建立：首先我們建立如下的坐標(biāo)系，其中xoy平面為過旋轉(zhuǎn)軸的水平面，

3、z軸垂直xoy豎直向上拋物面坐標(biāo)系XYZ配光屏坐標(biāo)系YZOS圖1我們的模型建立在光通轉(zhuǎn)移法原理之上。光通轉(zhuǎn)移法的原理（如圖1所示）是基于照射到一塊反射面上的光通量乘以反射系數(shù)后，將完全照射到所對應(yīng)的配光屏上。詳述為：照射到配光屏上的光通量為： 其中 入射線與面元法線的夾角 入射線與光軸的夾角的變化量 旋轉(zhuǎn)角度的變化量照射到配光屏上產(chǎn)生的照度 其中 反射器的反射系數(shù) 配光屏上對應(yīng)的面積下面我們分單燈絲和雙燈絲兩種情況來建立模型1單燈絲模型圖2當(dāng)入射線與光軸的夾角與旋轉(zhuǎn)體角度發(fā)生微小變化（，）時(shí)，配光屏上相應(yīng)的面積S求法如下所述：角和角發(fā)生微小變化，形成圖2所示的微錐體，設(shè)微錐體的棱長為R，則底面

4、矩形的長和寬分別為，面積為。微錐體在拋物面上的截面的曲率處處近似相等，可以看作一光滑的平面。那么反射光線可以看作是從點(diǎn)光源關(guān)于該截面的像點(diǎn)發(fā)出的，像點(diǎn)到配光屏的距離是一常數(shù)，設(shè)為d，則微錐體在配光屏處的底面面積為，照射到配光屏上的面積，其中為反射光線與配光屏法線的夾角。在配光屏處的面積為。如圖3所示，DEF的底角可以看作是直角，則投射到配光屏上的面積DEEF圖3照射到配光屏上產(chǎn)生的照度為 ，與和有關(guān)。由上面的公式可以計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)光源經(jīng)反射后在B，C兩點(diǎn)的光照度，B點(diǎn)和C點(diǎn)的經(jīng)拋物面反射的總照度為：對于光線直射到配光屏上的情況，反射系數(shù)就是1，即=1。直接照射到配光屏上產(chǎn)生的照度為 計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)

5、光源在B，C兩點(diǎn)的直接光照，B點(diǎn)和C點(diǎn)的總直射光照度為： 經(jīng)過以上的準(zhǔn)備工作 ，建立單目標(biāo)規(guī)劃模型如下：線光源的功率 對于配光屏上其它點(diǎn)的光照度也可以用累加和的形式得到。2雙燈絲模型為了減少功耗，可以將燈絲分段設(shè)計(jì)（仍保證總的燈絲關(guān)于焦點(diǎn)對稱放置）?，F(xiàn)考慮有兩段燈絲的情況，基于上面的討論，兩段燈絲對稱的放置在焦點(diǎn)的兩側(cè)，兩段燈絲之間的距離為。這就相當(dāng)于在單燈絲模型的基礎(chǔ)上，將燈絲中間長度為的燈絲去掉。于是，所建立的模型與單燈絲模型相同，只是在求解的時(shí)候不考慮中間長度為的燈絲發(fā)出的光線。 模型求解： 問題一： 在燈絲所在的水平面上，拋物線的方程為，焦點(diǎn)處的坐標(biāo)為（15，0）。旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為（

6、）。令，則 ， ， 過拋物面任意一點(diǎn)的法矢量為。 反射光光照度的計(jì)算：對于每個(gè)點(diǎn)光源，的變換范圍都是，的變化范圍因點(diǎn)光源的位置不同而有所變化，計(jì)算方法如圖4所示：MPQNxy圖4設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，則P，Q，N三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么的變化范圍是。對于給定的，過點(diǎn)光源的空間直線的參數(shù)方程為： (t>0) 與拋物面交于點(diǎn)，其中滿足下面的條件過N點(diǎn)的法矢量為，設(shè)分別是入射光線、法線、出射光線的矢量，如圖5所示P1P2P3ABCD圖5入射線與面元法線的夾角（）的余弦值為 = 由反射定律知，若AD與BC垂直，則。設(shè)，由 ，得到 ， 配光屏為一垂直于X軸的平面，其法矢量與X軸平行，故其法矢量為，可得反射

7、線與配光屏法法矢量的夾角（）的余弦值為 =微錐體的光斑在配光屏上的坐標(biāo)值可由反射線方程與配光屏方程聯(lián)立求得。這樣對給定的點(diǎn)光源以及、便可求出該點(diǎn)光源在配光屏上相應(yīng)位置的光照度。直射光光照度的計(jì)算：由于光源與測試屏的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光源的尺度，因此在計(jì)算直射光的時(shí)候完全可以近似認(rèn)為光遠(yuǎn)是點(diǎn)光源，如圖6所示，。我們在計(jì)算的時(shí)候可取的變化范圍為-，變化范圍為。這樣給定和的值，便可求出直射光在配光屏上的光照度。由于整個(gè)燈視為點(diǎn)光源，在模型求解時(shí)不再需要累加。圖625mCBOAj 由于C點(diǎn)的光照度是一個(gè)相對的概念，我們規(guī)定額定值為常數(shù)T，使C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于T，B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于T的兩倍。對于每個(gè)給定的燈絲

8、長L，計(jì)算滿足上述條件的燈絲的最小功率。對L的值進(jìn)行變動(dòng)，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行搜索，使功率P達(dá)到最小，得到L的近似最優(yōu)解。 對單燈絲模型求解所得結(jié)果為：L=3.4(mm) B、C兩點(diǎn)的光照度之比為 3.421。燈絲長度取其它一些值所得數(shù)據(jù)見下表燈絲長度（單位 mm）B，C兩點(diǎn)光照度之比相對功率08216674831613676748324112267483289866674833092976748332373849753434214606363256473838311648954030635036對雙燈絲模型求解所得結(jié)果為：L=1.9(mm)，每段燈絲的長度為0.95（mm），兩燈絲之間的距離為1.5

9、（mm）。B，C兩點(diǎn)的光照度之比為4.036。兩段燈絲間距離取其他一些值所得到的數(shù)據(jù)見下表燈絲間距離（單位mm）取最小相對功率燈絲總長度（mm）B，C兩點(diǎn)光照度之比相對最小功率與單燈絲最小相對功率比值0.13.3403649071.0650.52.94036435909460.92.54036335807291.32.14036248605391.51.9403620990.4561.71.5062766191.4371.91.3032592081.999兩者的功率之比為：=0.456問題二：對單燈絲模型，在L=3.4mm的情況下，配光屏上反射光的亮區(qū)如圖7所示，越白的地方表示越亮，其等亮線如

10、圖8所示。對雙燈絲模型，在每段燈絲長0.95毫米，之間距離為1.5毫米的情況下，配光屏上反射光的亮區(qū)如圖9所示，其等亮線如圖10所示。圖7圖8圖9圖10在實(shí)際中拋物面的頂部總是被截掉一部分，在本題中我們將拋物面的部分截掉，得到的反射亮區(qū)（不含直射光線）及其等亮線分別為圖11，圖12。 圖11圖12 問題三：為了使汽車夜間行駛保持足夠的照明，前照燈不僅要有一定的亮度（發(fā)光強(qiáng)度），而且照射的方向（前照燈主光軸方向）也要適合。汽車前照燈發(fā)光強(qiáng)度高、亮度充分，才能保證駕駛員夜間行車時(shí)辨認(rèn)道路情況；前照燈照射方向不僅為本車駕駛員提供可靠的照明，而且還要防止夜間會(huì)車時(shí)給對方駕駛員造成眩目。因此，前照燈的發(fā)

11、光強(qiáng)度和照射方向，是影響汽車夜間行車安全的關(guān)鍵因素，也是我們需要討論的兩個(gè)方面。一、 發(fā)光強(qiáng)度本題提出的設(shè)計(jì)規(guī)范中，主要對配光屏上兩個(gè)特定點(diǎn)B、C的照度做出了限制。我們這里考慮燈絲在上下、左右兩個(gè)方向上產(chǎn)生位移后，是否還能滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的約束。通過計(jì)算，燈絲在這兩個(gè)方向上產(chǎn)生位移后，配光屏上的光斑上下位移不能超過225mm，左右位移不能超過275mm。由于燈絲到配光屏的距離有25m，所以，在設(shè)計(jì)規(guī)范的約束下，燈絲的位移被限制在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，大約是上下0.1mm，左右0.12mm。二、 照射方向?qū)?yīng)于我們這里，就是配光屏上光斑形狀的不同。由于燈絲的位移被限制在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，因此，光斑形狀的變化并不會(huì)太大?？紤]一種極端的情況，燈絲左位移0.12mm，上位移0.1mm，得到的光斑圖如圖13：圖13模型討論： 模型在求解推導(dǎo)過程中，把拋物面看作是由大量的微平面組成的，當(dāng)微平面的面積趨近于零時(shí)，模型得到的結(jié)果會(huì)真實(shí)的反映實(shí)際情況，可在采用計(jì)算機(jī)計(jì)算過程中，角度的變化量始終不會(huì)趨于零，給模型帶