第3講頻域處理

1、12引言l圖像變換的目的在于：l使圖像處理問(wèn)題簡(jiǎn)化；l有利于圖像特征提?。籰有助于從概念上增強(qiáng)對(duì)圖像信息的理解。l圖像變換通常是一種二維正交變換，一般要求：l正交變換必須是可逆的；l正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；l正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理。l因此，正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。3主要內(nèi)容3.1 頻域與頻域變換 3.2 傅立葉變換 3.3 頻域變換的一般表達(dá)式 3.4 離散余弦變換(DCT) 3.5 頻域中圖像處理的實(shí)現(xiàn)4l頻域變換的理論基礎(chǔ): 任意波形都可以用單

2、純的正弦波的加權(quán)和來(lái)表示。Jean Baptiste Joseph Fourier11( )sinsin2sin435f xxxx( )yf xsinyx1sin23yx1sin45yx 法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。主要 貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 5時(shí)域和頻域之間的變換可用數(shù)學(xué)公式表示如下： ( )( ),( )f tA ff正變換逆變換 為能同時(shí)表示信號(hào)的振幅和相位，通常采用復(fù)數(shù)表示法，因此上式可用復(fù)數(shù)表示為：

3、( )( )f tF f正變換逆變換完成這種變換，一般采用的方法是線性正交變換。 式中： F(f )用復(fù)數(shù)表示幅值、 相位與頻率 f 之間的關(guān)系。6l連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換l離散傅立葉變換（DFT）l二維離散傅立葉變換的性質(zhì)l快速離散傅立葉變換7 連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換l當(dāng)1個(gè)一維信號(hào)f(x)滿足狄里赫萊條件，即f(x) （1） 具有有限個(gè)間斷點(diǎn)； （2） 具有有限個(gè)極值點(diǎn)； （3） 絕對(duì)可積。 則其傅立葉變換對(duì)（傅立葉變換和逆變換）一定存在。l一維連續(xù)信號(hào)傅立葉變換對(duì)的定義為：j21j2 ( )( )( )ed ( )( )( )eduxuxf xF uf xxF uf xF uuFF式中： x

4、稱為時(shí)域變量，u稱為頻域變量。 8頻譜分析示例a signal containing 50 Hz and 120 Hz and corrupt it with some zero-mean random noise:The power spectrum, a measurement of the power at various frequencies, l可見，1 1個(gè)一維輸入信號(hào)的傅立葉變換結(jié)果，是頻域上的1 1個(gè)一維信號(hào)，反映了輸入信號(hào)的頻率構(gòu)成信息。9二維連續(xù)信號(hào)傅立葉變換l如果二維函數(shù) f(x, y) 滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對(duì)為：j2()1j2() ( , )( ,

5、)( , )ed d ( , )( , )( , )ed dux vyux vyf x yF u vf x yx yF u vf x yF u vu v FF式中：x, y為時(shí)域變量；u, v為頻域變量。 103.2.2 離散傅立葉變換（DFT）l設(shè)f(x) | f(0), f(1), f(2), , f(N-1)為一維信號(hào)f(x)的N個(gè)抽樣， 其離散傅立葉變換對(duì)為：21-j021j10( )( )( )e1( )( )( )euxNNxuxNNxfxF ufxF ufxF uNFF式中：x，u =0， 1， 2， , N1。 11由歐拉公式可知 jecosjsin并利用cos( ) = co

6、s()，可得 1022( )( ) cosjsinNxuxuxF uf xNN(7-10) 可見，離散序列的傅立葉變換仍是一個(gè)離散的序列，每一個(gè) u 對(duì)應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列 f(x) 的加權(quán)和（每一個(gè) f(x) 都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u 決定了每個(gè)傅立葉變換結(jié)果的頻率。 12通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式， 即 ( )( )j ( )F uR uI u 式中，R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部。上式也可表示成指數(shù)形式： F(u)=|F(u) |ej(u) 其中： )()(arctan)()()(| )(|22uRuIuuIuRuFf(x) 的頻譜或傅立葉幅度譜f(x)

7、 的相位譜)()(| )(|)(222uIuRuFuE能量譜或功率譜13定義定義l考慮到兩個(gè)變量，就很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。一個(gè)MN大小的二維函數(shù)f(x,y)，其定義為：11j2()0011j2()100 ( , )( , )( , )e1( , )( , )( , )euxvyMNMNxyuxvyMNMNuvf x yF u vf x yF u vf x yF u vMN FF 式中：u, x=0, 1, 2, , M-1；v, y=0, 1, 2, , N-1；x, y為時(shí)域變量，u, v為頻域變量。14 二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、 相位譜和能量譜分別為：),(),(),()

8、,(),(arctan),(),(),(| ),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF式中，R(u, v)和I(u, v)分別是F(u, v)的實(shí)部和虛部。 15示例： (a) 原圖像 （b）中心平移后的頻譜的圖像表示 （c）中心平移后的頻譜3D表示163.2.3 二維離散傅立葉變換的性質(zhì)表7-1 二維DFT的性質(zhì)17二維離散傅立葉變換的性質(zhì)（續(xù)）18 1.可分離性11j2 ()0011j2j200 ( , )( , )( , )e e( , )euxvyMNMNxyvyuxMNNMxyf x yF u vf x yf x yF19l用兩次一維DFT計(jì)算二維DFT行變

9、換行變換列變換列變換1111j2 ()j2j20000 ( , )( , )( , )e e( , )euxvyvyuxMNMNMNNMxyxyF f x yF u vf x yf x y202.平移性質(zhì)l在空域中，圖像原點(diǎn)平移到(x0, y0)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的頻譜F(u,v)要乘上一個(gè)負(fù)的指數(shù)項(xiàng)l在頻域中，原點(diǎn)平移到(u0, v0)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的f(x,y)要乘上一個(gè)正的指數(shù)項(xiàng)0000j2,euxvyMNf xx yyF u v0000j2,e,u xv yMNf x yF uu vv在頻域中只發(fā)生相移，而傅立葉變換的幅值不變。21平移性質(zhì)（中心化變換） 在數(shù)字圖像處理中，我們常常將 F(u,v)

10、 的原點(diǎn)移到MN頻域方陣的中心，以使能清楚地分析傅立葉變換譜的情況。只要將 f(x, y) 乘以因子(-1)x+y，再進(jìn)行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點(diǎn)（0,0）移動(dòng)到圖像中心 （M2, N2）處。0022j2j2j,e,e,e,1,22MxNyu xv yMNMNxyxyfx yfx yfx yfx yMNF uv22對(duì)稱性及中心化變換23平移性質(zhì)（續(xù)）傅立葉頻譜平移示意圖(a) 原圖像；（b）無(wú)平移的傅立葉頻譜；（c）中心平移后的傅立葉頻譜空域平移傅立葉頻譜頻示意圖243.旋轉(zhuǎn)不變性l由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)0角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。

11、l如果引入極坐標(biāo)l則 f(x,y) 和F(u,v)分別變?yōu)?f(r, ) 和 F( , )。在極坐標(biāo)系中，存在以下變換對(duì)：coscossinsinxruyrv( ,)()00f r F, 25旋轉(zhuǎn)不變性（續(xù)） 離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像（b） 原始圖像的 傅立葉頻譜（c） 旋轉(zhuǎn)45 后的圖像（d） 圖像旋轉(zhuǎn)后 的傅立葉頻譜 264.卷積定理l卷積定理研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的傅立葉變換之間的關(guān)系，這構(gòu)成了空間域和頻域之間的基本關(guān)系。l對(duì)于兩個(gè)二維連續(xù)函數(shù) f(x,y) 和 g(x,y) 的卷積定義為：l其二維卷積定理可由下面關(guān)系表示： 式中：),(),(),(),(vuGyxgvuFyxf)

12、,(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuFyxgyxf( , )( , )( ,) (,)d df x yg x yf g x y273.3.1 可分離變換 二維傅立葉變換可用通用的關(guān)系式來(lái)表示：式中：x, u=0, 1, 2, M1；y, v=0, 1, 2, N1；g(x,y,u,v) 稱為正向變換核；h(x,y,u,v)稱為反向變換核。10101010),(),(),(),(),(),(NvMuNyMxvuyxhvuFyxfvuyxgyxfvuF正向變換核反向變換核28可分離變換（續(xù)）u如果： g(x, y, u, v)=g1(x, u) g2(y

13、, v) h(x, y, u, v)=h1(x, u) h2(y, v) 則稱正、反變換核是可分離的。進(jìn)一步，如果g1和g2，h1和h2在函數(shù)形式上一樣，則稱該變換核是對(duì)稱的。11j2()0011j2()100 ( , )( , )( , )e1( , )( , )( , )euxvyMNMNxyuxvyMNMNuvf x yF u vf x yF u vf x yF u vMN FF二維傅立葉變換定義:29u二維傅立葉變換對(duì)的正、反變換核為：可見，二維傅立葉變換對(duì)的正、反變換核都是可分離的。j2j2j2( , , , )eeeuxvyvyuxMNNMg x y u vj2j2j2111( ,

14、 , , )eeeuxvyvyuxMNNMh x y u vMNMN30 離散余弦變換（Discrete Cosine Transform， DCT）的變換核為，。在傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，被展開的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，稱之為余弦變換。 DCT除了具有一般的正交變換性質(zhì)外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類語(yǔ)音信號(hào)和圖像信號(hào)的相關(guān)特征。因此，在對(duì)語(yǔ)音信號(hào)、圖像信號(hào)的變換中，DCT變換被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)建議中（如JPEG、MPEG-1、MPEG-2及H.261），都把DCT作為其中的一個(gè)基本處理模塊。除此之外， DCT還是一種可分離

15、的變換。31一維離散余弦變換l一維離散余弦正、逆變換核定義為：1,02(21)( ,)( )cos,( )221,uxug x uC uC uNN其 中 ：其 他式中：x，u取0，1，2，N1；l一維DCT定義：設(shè)f(x)|x=0，1，N-1為離散的信號(hào)列，則一維DCT定義如下：102) 12(cos)(2)()(NxNuxxfNuCuF32l一維離散余弦逆變換IDCT(Inverse DCT)定義為：式中：u，x取0，1，2，N1。一維離散余弦變換（續(xù)）102) 12(cos)()(2)(NuNuxuFuCNxf33二維離散余弦變換l二維DCT正變換核為： 式中，x, u=0, 1, 2,

16、, M1； y, v=0, 1, 2, , N1。NvyMuxvCuCMNvuyxg2) 12(cos2) 12(cos)()(2),(11,0,0( ),( )221,1,uvC uC v其他其他34l二維DCT定義 設(shè)f(x, y)為MN的二維離散信號(hào)，其二維DCT定義為：NvyMuxvCuCyxfMNvuFMxNy2) 12(cos2) 12(cos)()(),(2),(1010式中： x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。二維離散余弦變換（續(xù)）35二維離散余弦變換（續(xù)）l二維DCT逆變換定義如下：式中：x, u=0, 1, 2, , M1； y,

17、 v=0, 1, 2, , N1。l可見，二維DCT的逆變換核與正變換核相同，且是可分離的，即 NvyMuxvuFvCuCMNyxfMuNv2) 12(cos2) 12(cos),()()(2),(1010NvyvCNMuxuCMvyguxgvuyxg2) 12(cos)(22) 12(cos)(2),(),(),(2136快速離散余弦變換l離散余弦變換的計(jì)算量相當(dāng)大，在實(shí)用中非常不方便， 也需要研究相應(yīng)的快速算法。目前已有多種快速DCT（FCT）。l由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它們實(shí)現(xiàn)快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不過(guò)，由于FFT及IFFT中要涉及到

18、復(fù)數(shù)運(yùn)算，因此這種FCT及IFCT算法并不是最佳的。37離散余弦變換示例(信息壓縮)原始圖像DCT頻譜分布圖DCT頻譜分布圖(保留部分信息)部分DCT頻譜逆變換結(jié)果383.6 頻域中圖像處理的實(shí)現(xiàn) 理解數(shù)字圖像的頻譜圖l數(shù)字圖像平移后的傅立葉頻譜中，圖像的能量將集中到頻譜中心（u=v=0)(低頻成分)，圖像上的邊緣、線條細(xì)節(jié)信息(高頻成分)將分散在圖像頻譜的邊緣。也就是說(shuō)，頻譜中低頻成分代表了圖像的概貌，高頻成分代表了圖像中的細(xì)節(jié)。l除了特殊情況，一般不可能建立圖像特定分量與其傅里葉變換之間的直接聯(lián)系。39中心化變換后的幅度譜高 低40F(0,0) = 0Highpass filtered i

19、mage41Highpass filterLowpass filter42 頻域圖像處理步驟l卷積理論是頻域技術(shù)的基礎(chǔ)( , )( , )( , )( , )f x yh x yF u vH u v不同的不同的H(u,v)，得，得到不同的濾波功到不同的濾波功能能431.根據(jù)原始圖像f(x, y)和濾波器h(x, y)大小計(jì)算擴(kuò)展后的圖像參數(shù)P、Q。2.計(jì)算按上述參數(shù)擴(kuò)展后的f(x, y) 和h(x, y)的傅里葉變換F(u,v) 和H(u, v) 。3.計(jì)算G(u,v) =F(u,v) H(u,v)4.計(jì)算 G(u,v) 的傅里葉逆變換g(x, y) 。5.取g(x, y) 的實(shí)部。6.截取g

20、(x, y) 左上角與原始圖像f(x, y)大小相同的部分，即為濾波結(jié)果。7.圖像數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換（灰度級(jí)標(biāo)定、數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換等）。11PACQBD同時(shí)中心化或不中心化一般步驟44l說(shuō)明：uf(x, y)為實(shí)數(shù)，其傅里葉變換F(u,v)中的元素一般為復(fù)數(shù)，但一般取H(u,v)為實(shí)數(shù)，這樣，H(u,v)的每一個(gè)分量乘以F(u,v)中相應(yīng)部分的實(shí)部和虛部，不改變F(u,v)的相位。這種濾波器稱為“零相移”濾波器。u當(dāng)輸入圖像和濾波器函數(shù)都為實(shí)函數(shù)時(shí)，DFT逆變換的虛部為0。實(shí)際上由于數(shù)字計(jì)算的舍入誤差，DFT逆變換的虛部一般有寄生的虛部成分，通過(guò)取逆變換結(jié)果的實(shí)部予以忽略。45頻譜中心化濾波一般步驟l

21、用(-1)x+y乘以輸入圖像各像素值，以將圖像頻譜原點(diǎn)移動(dòng)到頻譜圖中心；l 計(jì)算圖像的DFT，得到F(u, v)；l 用濾波函數(shù)H(u, v)乘以F(u, v)，得到處理結(jié)果G(u, v)；l 計(jì)算濾波后的IDFT；l 取IDFT變換結(jié)果中的實(shí)部；l 用(-1)x+y乘以IDFT變換結(jié)果的實(shí)部，得到處理后的圖像。 注意： H和F的相乘是點(diǎn)乘運(yùn)算，即H的第一個(gè)元素乘以F的第一個(gè)元素，H的第二個(gè)元素乘以F的第二個(gè)元素，依此類推。),(),(),(vuHvuFvuG1( , )( , )g x yG u v F46 頻域?yàn)V波l頻譜中低頻成分代表了圖像的概貌，即灰度變化平緩的部分；高頻成分代表了圖像中

22、的細(xì)節(jié)，即圖像中的邊緣或噪聲等。因此，合理地選擇濾波器，通過(guò)在頻域中對(duì)相應(yīng)頻率成分進(jìn)行抑制或增強(qiáng)，便可完成圖像的增強(qiáng)處理。l頻域?yàn)V波中，存在各種各樣的濾波器。其基本類型有：l低通濾波器l高通濾波器l帶通濾波器l帶阻濾波器l若將這些基本濾波器有機(jī)地組合在一起，便可形成各種各樣的頻域?yàn)V波器。471.低通濾波l圖像中的邊緣和噪聲都對(duì)應(yīng)圖像傅立葉變換中的高頻部分，如要在頻域中消弱其影響，就須設(shè)法減弱這部分頻率分量。l理想低通濾波器（ILPF）Ideal Low Pass Filter D0為截止頻率，D(u,v) 為頻率平面上的點(diǎn)(u,v)到原點(diǎn)的距離。00),(, 0),(, 1),(DvuDifD

23、vuDifvuH48理想低通濾波器（續(xù)）理想低通濾波器，是指以截頻D0為半徑的圓內(nèi)的所有頻率都能無(wú)損通過(guò)，而在截頻之外的頻率分量完全被衰減。理想低通濾波器可以用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)，但卻不能用電子元器件來(lái)實(shí)現(xiàn)。理想低通濾波器平滑處理的概念清晰，但在處理過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象， D0越小，這種現(xiàn)象越嚴(yán)重。49理想低通濾波器示例（續(xù)）50理想低通濾波器示例（續(xù)）產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象， D0越小，這種現(xiàn)象越嚴(yán)重。51巴特沃斯低通濾波器l巴特沃斯低通濾波器（BLPF-Butterworth lowpass filters）nDvuDvuH20/ ),(11),(52巴特沃斯低通濾波器（續(xù)）

24、巴特沃斯低通濾波器又稱為。它與理想低通濾波器不同，它的通帶和阻帶之間沒(méi)有明顯得不連續(xù)性。也就是說(shuō)，在通帶和阻帶之間有一個(gè)平滑的過(guò)渡帶。與理想低通濾波器的處理結(jié)果相比，巴特沃斯濾波器處理的圖像模糊程度減少，因?yàn)樗腍(u,v)不是陡峭的截止特性，它的尾部會(huì)包含大量的高頻成分。另外經(jīng)巴特沃斯低通濾波器處理的圖像將不會(huì)有振鈴現(xiàn)象。這是由于在濾波器的通帶和阻帶之間有一平滑過(guò)渡的緣故。53巴特沃斯低通濾波器（續(xù)）-示例 2階巴特沃斯低通濾波器，截止頻率D0分別為5，15，30，80，230的濾波結(jié)果。理想低通濾波器542.高通濾波 Opposite to low-pass filtering: elim

25、inating center and keeping the others.lIdeal highpass filters :lButterworth highpass :lGaussian highpass :00),(, 1),(, 0),(DvuDifDvuDifvuHnvuDDvuH20),(/11),(2022/ ),(1),(DvuDevuH55高通濾波（續(xù)）Ideal highpass filtersButterworth highpassGaussian highpass56Example：Ideal highpass filters57Example：Butterworth

26、highpass 58Example：Gaussian highpass 593.帶通濾波器l帶通濾波器：允許指定范圍的頻率成分通過(guò)，而抑制其它頻率成分。理想帶通濾波器的濾波函數(shù)為：其它0),(1),(21DvuDDvuHD1 、D1為截止頻率，D(u,v) 為頻率平面上的點(diǎn)(u,v)到原點(diǎn)的距離。604.帶阻濾波器l帶阻濾波器：抑制指定范圍的頻率成分，而允許其它頻率成分通過(guò)。理想帶阻濾波器的濾波函數(shù)為：其它1),(0),(21DvuDDvuHD1 、D1為截止頻率，D(u,v) 為頻率平面上的點(diǎn)(u,v)到原點(diǎn)的距離。61圖7-10 基本濾波器的頻率響應(yīng)62Bandreject Filter

27、slIdeal bandreject filterlGaussian bandreject filterlButterworth bandreject filter這里，D(u,v) 是到中心化頻率平面原點(diǎn)的距離，W是頻帶的寬度，D0是頻帶的中心半徑。63EXAMPLE 5.6Use of bandreject filtering for periodic noise removall4 階的巴特沃思帶阻濾波器，它設(shè)置了適當(dāng)?shù)陌霃胶蛯挾?，完全包圍了噪聲脈沖。由于通常希望從變換中盡可能小地削減細(xì)節(jié)，因此在帶阻濾波器中，通常要求尖銳、窄的濾波器。64Bandpass FilterslBandpass filters are not commonly used for removing image noise, but to isolate the effect on an image of selected frequency.Noise pattern of the right image obtained by bandpass filtering65二維傅立葉變換Matlab實(shí)現(xiàn)lfft2 Two-dimensional discrete Fourier transform Y = fft2(X) returns the two-dimensional discrete Fo