人教版-高中數(shù)學(xué)選修2-3_11_分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

1、1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理計數(shù)原理2008年年29屆夏季奧運會在北京舉行奧運會足屆夏季奧運會在北京舉行奧運會足球賽共有個隊參賽它們先分成個小組球賽共有個隊參賽它們先分成個小組進行循環(huán)賽，決出強，這個隊按確定的程進行循環(huán)賽，決出強，這個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名問一共安排了多少場比賽？出了第三、第四名問一共安排了多少場比賽？ 要回答這個問題，就要用到排列、組合的知要回答這個問題，就要用到排列、組合的知識識在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到在運用排列、組合方法時，經(jīng)常

2、要用到問題問題2 2 秋天到了，學(xué)校舉行秋天到了，學(xué)校舉行“全民健身全民健身”登登山活動山活動, ,山的南面有山的南面有3 3條登山路線條登山路線, ,山的北面山的北面有有2 2條登山路線條登山路線, ,要登上山頂要登上山頂, ,問共有多少種問共有多少種不同的路線？不同的路線？問題問題1 1 某班級有某班級有3434位男生位男生,15,15位女生位女生, ,現(xiàn)現(xiàn)要選一位同學(xué)參加演講比賽要選一位同學(xué)參加演講比賽, ,則有多少種不則有多少種不同的選法？同的選法？探究探究1 1：你能說說以上兩個問題的共同特征嗎？：你能說說以上兩個問題的共同特征嗎？分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不

3、同方案，在第完成一件事有兩類不同方案，在第1 1類類方案中有方案中有m m種不同的方法種不同的方法, ,在第在第2 2類方案中有類方案中有n n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m+nN=m+n種不同的方法種不同的方法. .問題問題2 2 秋天到了，學(xué)校舉行秋天到了，學(xué)校舉行“全民健身全民健身”登山活動登山活動, ,山山的南面有的南面有3 3條登山路線條登山路線, ,山的北面有山的北面有2 2條登山路線條登山路線, ,要登上要登上山頂山頂, ,問共有多少種不同的路線？問共有多少種不同的路線？問題問題1 1 我們班級有我們班級有3434位男生位男生,15,1

4、5位女生位女生, ,現(xiàn)要選一位同學(xué)現(xiàn)要選一位同學(xué)參加演講比賽參加演講比賽, ,則有多少種不同的選法？則有多少種不同的選法？ , ,在第在第1 1類方案中類方案中有有m m種不同的方法種不同的方法, ,在第在第2 2類方案中有類方案中有n n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m+nN=m+n種不同的方法種不同的方法. .完成一件事完成一件事有兩類不同方案有兩類不同方案例例1 1：在填寫高考志愿表時在填寫高考志愿表時, ,一名高中畢業(yè)生了一名高中畢業(yè)生了解到解到,A,B,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：

5、專業(yè)，具體情況如下： A A大學(xué)大學(xué) B B大學(xué)大學(xué) 生物學(xué)生物學(xué) 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué) 會計學(xué)會計學(xué) 醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué) 信息技術(shù)學(xué)信息技術(shù)學(xué) 物理學(xué)物理學(xué) 法學(xué)法學(xué) 工程學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè), ,那么他共有多那么他共有多少種選擇呢？少種選擇呢？想一想想一想 在填寫高考志愿表時在填寫高考志愿表時, ,一名高中畢業(yè)一名高中畢業(yè)生了解到生了解到,A,B,C,A,B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：的強項專業(yè)，具體情況如下：生物學(xué)生物學(xué) 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué) 會計學(xué)會計學(xué) 醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué) 信息技術(shù)學(xué)信息技術(shù)學(xué) 物理學(xué)物理學(xué) 法

6、學(xué)法學(xué) 工程學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè), ,那么他共有多那么他共有多少種選擇呢？少種選擇呢？C C大學(xué)大學(xué)環(huán)境科學(xué)環(huán)境科學(xué)地質(zhì)學(xué)地質(zhì)學(xué)車輛工程車輛工程探究探究2 2：如果完成一件事有三類不同方案：如果完成一件事有三類不同方案, ,在第在第1 1類方案中有類方案中有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,在第在第2 2類類方案中有方案中有m m2 2種不同的方法，在第種不同的方法，在第3 3類方案中類方案中有有m m3 3種不同的方法種不同的方法, ,那么完成這件事共有多那么完成這件事共有多少種不同的方法？少種不同的方法？N=m1+m2+m3想一想：想一想

7、：如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n類不同方案，類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？如何計數(shù)呢？ 一般歸納：一般歸納： 完成一件事情，有完成一件事情，有n類方案，在第類方案，在第1類辦法中有類辦法中有 種不同的方法，在第種不同的方法，在第2類方案中有類方案中有 種不同的方法種不同的方法在第在第n類方案中有類方案中有 種不同的方法種不同的方法.那么完成這件那么完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法.1m2mnm12nNmmm1 1、一件工作可以用一件工作可以用2 2種方法完成，有種方法完成，有5 5人會用第人會用第1

8、 1種種方法完成，另有方法完成，另有4 4人會用第人會用第2 2種方法完成，從中選出種方法完成，從中選出1 1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是 . .2 2、現(xiàn)有高中一年級的學(xué)生現(xiàn)有高中一年級的學(xué)生3 3名，高中二年級的學(xué)名，高中二年級的學(xué)生生5 5名，高中三年級的學(xué)生名，高中三年級的學(xué)生4 4名名. .從中任選從中任選1 1人參加人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？接待外賓的活動，有多少種不同的選法？3 3、用一個大寫英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室用一個大寫英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？里的座位編號，總共能編

9、出多少種不同的號碼？練習(xí)：練習(xí)：問題問題3 3 用前用前6 6個大寫英文字母和個大寫英文字母和1 19 9九個阿拉伯九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以數(shù)字，以 , , ,， , , ,的方式給教室的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？1A2A1B2B問題問題4 4 某班級有某班級有3434位男生位男生,15,15位女生位女生, ,現(xiàn)要從中選現(xiàn)要從中選出男生、女生各一名同學(xué)參加演講比賽出男生、女生各一名同學(xué)參加演講比賽, ,則共有多則共有多少種不同的選法？少種不同的選法？探究探究3 3：你能說說以上兩個問題的共同特征嗎？：你能說說以上兩個問題的共同特征嗎

10、？探究探究4 4：你能試著解決這兩個問題嗎？：你能試著解決這兩個問題嗎？分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要分二個步驟，在完成一件事需要分二個步驟，在第第1 1步中有步中有m m種不同的方法，在第種不同的方法，在第2 2步步中有中有n n種不同的方法種不同的方法. . 那么完成這件那么完成這件事共有事共有 N=N=m mx xn n 種不同的方法種不同的方法. .如果如果做一件事情，完成它需要做一件事情，完成它需要n n個個步步驟，在第一驟，在第一步步中有中有m m1 1種不同的方法，在第二種不同的方法，在第二步步中有中有m m2 2種不同的法，種不同的法， 在在第第n n步步中有

11、中有m mn n類不同的方法，那么完成這件事情有類不同的方法，那么完成這件事情有 N=mN=m1 1m m2 2m m3 3. .m mn n種不同的方法種不同的方法. .如果如果做一件事情，完成它需要三個步驟，在第一做一件事情，完成它需要三個步驟，在第一步步中中有有m m1 1種不同的方法，在第二種不同的方法，在第二步步中有中有m m2 2種不同的法，在第三種不同的法，在第三步步中有中有m m3 3類不同的方法，那么完成這件事情有類不同的方法，那么完成這件事情有 N=mN=m1 1m m2 2m m3 3種不同的方法種不同的方法. .分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理有什么異同？分類計數(shù)原理與分步計

12、數(shù)原理有什么異同？ 不同點：分類計數(shù)原理與不同點：分類計數(shù)原理與“分類分類”有關(guān)，各種有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與件事；分步計數(shù)原理與“分步分步”有關(guān)，各個步驟相有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成成 相同點：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及相同點：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題。完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題。 書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2層放有層放有3

13、本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3層放有層放有2本不同的本不同的體育書體育書 （1）從書架上任取）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第）從書架的第1、2、3層各取層各取1本書，有多少種本書，有多少種不同的取法？不同的取法？例例3.要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出幅不同的畫中選出2幅，幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？有多少種不同的掛法？解：第1步：從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法第2步：從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同

14、掛法的種數(shù)是N326 1 1、在由電鍵組在由電鍵組A、B組成的串聯(lián)電路中，組成的串聯(lián)電路中，如圖，要接通電源，使電燈發(fā)光的方法如圖，要接通電源，使電燈發(fā)光的方法有幾種？有幾種？練習(xí)：練習(xí)： 2、某學(xué)校的一個班級組織學(xué)生義務(wù)獻血，在體、某學(xué)校的一個班級組織學(xué)生義務(wù)獻血，在體檢合格的學(xué)生中，是檢合格的學(xué)生中，是o型血的有型血的有10人，人，A型血型血的有的有7人，人，B型血的有型血的有8人，人，AB型血的有型血的有5人，人，（1）從中任選）從中任選1名學(xué)生去獻血，有多少種不同的名學(xué)生去獻血，有多少種不同的選法？選法？練習(xí)：練習(xí)：（2）從四種血型的學(xué)生中各選）從四種血型的學(xué)生中各選1名學(xué)生去獻血，名

15、學(xué)生去獻血，有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？（3）從中任選）從中任選2名具有不同血型的學(xué)生去獻血，名具有不同血型的學(xué)生去獻血，有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？例例4、給程序模塊命名，需要用、給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首個字符，其中首字符要求用字母字符要求用字母AG或或UZ，后兩個要求用數(shù)字，后兩個要求用數(shù)字19，問最多可以給多少個程序命名？，問最多可以給多少個程序命名？解：第解：第1步：選首字符，共有步：選首字符，共有7613種選法種選法第第2步：選中間字符，共有步：選中間字符，共有9種選法種選法第第3步，選最后一個字符，共有步，選最后一個字符，共有9種選法種選法根據(jù)

16、分步計數(shù)原理，最多可以有根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有13991053個不同的名稱個不同的名稱 例例5 5 核糖核酸（核糖核酸（RNARNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個成分，一個RNARNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)所占據(jù). .總共有總共有4 4種不同的堿基，分別用種不同的堿基，分別用A A，C C，G G，U U表示表示. .在一個在一個RNARNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以分子中，各種堿

17、基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān). .假設(shè)假設(shè)有一類有一類RNARNA分子由分子由100100個堿基組成，那么能有多少個不同的個堿基組成，那么能有多少個不同的RNARNA分子？分子？A AG GC CU UA AA AA AU U G GG GC CC C4 4100100個個 例例6 6 電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài). .因此計因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有算機內(nèi)部就采用

18、了每一位只有0 0或或1 1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制二進制. .為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8 8個二進個二進制位構(gòu)成制位構(gòu)成. .問：問：（1 1）一個字節(jié)（）一個字節(jié)（8 8位）最多可以表示多少個不同的字符？位）最多可以表示多少個不同的字符？（2 2）計算機漢字國際碼（）計算機漢字國際碼（GBGB碼）包含了碼）包含了6 7636 7

19、63個漢字，一個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？少要用多少個字節(jié)表示？ (1)256(1)256個個 (2)2(2)2個個 例例7 7 計算機編程人員在編寫好程序以后需要對計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)程序進行測試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)道需要提供多少個測試數(shù)據(jù). .一般地，一個程序模一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成塊由許多子模塊組成

20、. .如圖所示是一個具有許多執(zhí)如圖所示是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊行路徑的程序模塊. .（1 1）這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑；）這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑；（2 2）為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測）為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？減少測試次數(shù)嗎？開始開始子模塊子模塊1 11818條執(zhí)行路徑條執(zhí)行路徑子模塊子模塊5 54343條執(zhí)行路徑條執(zhí)行路徑子模塊子模塊4 43838條執(zhí)行路徑條執(zhí)行路徑子模塊子模塊3 32828條執(zhí)行路徑條執(zhí)行路徑子模塊子模塊2 24545條執(zhí)行路徑條執(zhí)

21、行路徑結(jié)束結(jié)束A A73717371條條178178次次 例例8 8 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容. .交通管理部門出臺交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成方法，每一個汽車牌照都必須有了一種汽車牌照組成方法，每一個汽車牌照都必須有3 3個個不重復(fù)的英文字母和不重復(fù)的英文字母和3 3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3 3個字個字母必須合成一組出現(xiàn)，母必須合成一組出現(xiàn)，3 3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn). .那么那么這種辦法共能給多少輛汽車上

22、牌照？這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？共能給共能給22 464 00022 464 000輛汽車上牌照輛汽車上牌照. . 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析計算之前要進行仔細分析需要分類還是需要分步。需要分類還是需要分步。分類要做到分類要做到“不重不漏不重不漏”，分步要做到，分步要做到“步驟完整步驟完整” 要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3名工人中選出名工人中選出2名分別上日班和晚名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？班，有多少種不同的選法？ 練習(xí)：練習(xí)：從數(shù)字從數(shù)字1、2、3、4、5中任選三個數(shù)字中任選三個數(shù)字可以

23、組成多少個無重可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？2、乘積（乘積（a1+a2+a3 ）（）（b1+b2+b3+b4 ）（）（c1+c2+c3+c4+c5）展開后共有多少項？展開后共有多少項？4、由數(shù)字由數(shù)字0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？5 5、個班分別從個風(fēng)景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)個班分別從個風(fēng)景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是是還是還是？集合集合A=1,2,3,4,B=5,6,7, 從從A到到B的映射有多少個？的映射有多少個？某中學(xué)的一幢某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有層教學(xué)樓共有3處樓梯

24、，問從處樓梯，問從1樓到樓到5樓共樓共有多少種不同的走法？有多少種不同的走法？A AD DC CB B8、用用5 5種不同顏色給圖中種不同顏色給圖中A A，B B，C C，D D四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域的顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法？涂一種顏色，相鄰區(qū)域的顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法？9、如圖，從甲地到乙地有如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有條路，從乙地到丁地有3條路；從條路；從甲地到丙地有甲地到丙地有4條路可以走，從丙地到丁地有條路可以走，從丙地到丁地有2條路。從甲地到條路。從甲地到丁地共有多少種不同地走法？丁地共有多少種不同地走法？甲地甲地丙地丙地丁地丁地乙地乙地 10、如圖如圖,該電路該電路,從從A到到B共有多少條不同的線路可通電？共有多少條不同的線路可通電？AB集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 從從A,B 中各取中各取1個元素作為個元素作為點點P(x,y) 的坐標(biāo)的坐標(biāo)（1）可以得到多少個不同的點？）可以得到多少個不同的