第一章矩陣?yán)碚?管理數(shù)學(xué)基礎(chǔ))

1、1234nnRRnn 由線性代數(shù)的知識(shí)我們可以得到， 維向量的全體，在通常定義的向量加法和實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算下，構(gòu)成實(shí)線性空間。再看如下的例子：例1：判斷下列集合對(duì)于所指運(yùn)算是否為（ 上的） 線性空間。 (1)分量之和等于0的 維向量的全體，對(duì)向量加和數(shù)乘； (2)分量之和等于1的 維向量的全體，對(duì)向量加和數(shù)乘。51111111111(1)()|0()()0 ()0 8(2)nTnniiTnnnnniiiiiiiTnnniiiiXxxxRxxyXxyxyxyxyxyxyXRxxxxxxRXXX解： 記，則任 ，其分量和對(duì)任，分量和。即對(duì)加法和數(shù)乘封閉。易證 滿足 個(gè)條件， 為線性空間。111

2、()|11(),nTnniiTnXxxxRxxxxXXX記，由于對(duì)任，即對(duì)數(shù)乘運(yùn)算不封閉， 不是線性空間。6111 111112nnnnnnnnXnxxxxXxxxxxxXXnxR線性空間中的一系列定義：基：如果線性空間 中有 個(gè)元素 ，滿足： （） ，線性無(wú)關(guān)； （ ） 中任一元素 都可以由它們線性表示， 即，則稱 ，為 的 一組基。維數(shù)： 中基組中元素的個(gè)數(shù) 。坐標(biāo)：表出系數(shù)，稱為 在這組基下的 坐標(biāo)，記為，。注：由于中線性相關(guān)、無(wú)關(guān)、組合只涉及線性 運(yùn)算，故對(duì)線性空間也適用。71211 1112(100)(010)(0 01)()nTTTnnnnnnnnReeeRxRxxxxx ex e

3、xxxee例 ：中的， ， ， ， ， ， ， ， ， 構(gòu)成中的一組基，對(duì)于任意的，其中，都有。記 坐標(biāo)為，故稱為坐標(biāo)基。811111 11111 nnnnnnnnnXpppp設(shè)和是線性空間 中兩組不同的基，則其中一組基可由另一組基線性表出，設(shè)，。即： 111111111 nnnnnnnnnnppppppPPppPP ，簡(jiǎn)記為 稱由 到 的過(guò)渡矩陣?？勺C，過(guò)渡矩陣 是可逆的。922212111222()3()(0)()TTXYTXYTXXTXTxyTxTyXYTRRxRxxxTxxxyTxyTxy、線性變換及其矩陣表示變換（算子）：非空集合 到 的映射，記 ： （若 ：，則稱 為 上的變換。）

4、線性變換：滿足線性性的變換： （注：這里 與 為線性空間）例 ：考慮變換 ：，對(duì)任， ，則有：1111221120 (0)(0)TTxyxyTxyxyTxTyTR，是上的線性變換。1011111 1111: nmmmnnmnmTT XYXYnmXYTaaTaa的矩陣表示：設(shè)映射，其中 與 維數(shù)分別為 和 ，和分別是 和 中的一組基，又設(shè)，1111111111 nnmmmnnmmnaaTTaaaaAaaTAAT即：，記 ， 則上式簡(jiǎn)記為，稱 為線性變換 關(guān)于基 、 的一個(gè)矩陣表示（簡(jiǎn)稱矩陣）。111111 1111: nnnnnnnnT XXXnXTTaaTaa思考：若映射為， 的維數(shù)為 ，是

5、中的一組基，則 的矩陣表示應(yīng)為： ，即：1111111111 nnnnnnnnnnaaTTaaaaAaaTAAT，記 ， 則上式簡(jiǎn)記為，稱 為線性變換 關(guān)于基 的一個(gè)矩陣表示。12121AnnxAxxAxAxAkkxxxAx方陣的特征值：設(shè) 為 階方陣，如果 與 維非零的列向量 ，使等式 成立，則稱數(shù) 為方陣 的一個(gè)特征值。特征向量：非零列向量 稱為 的相應(yīng)于（屬于）特征值 的特征向量。特征向量的性質(zhì)： (1)如果 是 的相應(yīng)于 的特征向量，那么對(duì)任意非零數(shù) ，也是相應(yīng)于 的特征向量； (2)如果 和 都是 的相應(yīng)于 的特征向量，那么2x 也是相應(yīng)于 的特征向量。即對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉。13

6、()0 0 | 0 AxxEA xxxEAEA由于可以改寫(xiě)為這可以看作是以 為變量的齊次線性方程組。它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于 ，而 是特征向量為非零，故 必滿足：于是有以下定義：特征矩陣： | | 0 EAEAAAAxA特征多項(xiàng)式：特征方程：由上述分析可知，方陣 的特征值 是 的特征方程的根（因此特征值又稱特征根）。 的相應(yīng)于 的特征向量是以 的特征矩陣為系數(shù)陣的齊次線性方程組的解。14212341 1 0 4 3 0 1 0 21 1 0 | 4 3 0(2)(1)0 1 0 221AAEAA 例 ：求方陣的特征值與特征向量。解： 的特征方程為求出 的特征值為： ， 112121

7、 2(2)030 40 0EA xxxxxx。對(duì) ，解齊次線性方程組，即15111 112312121320 012(0)1()020 4200 1 21kkEA xxxxxxx 求出它的基礎(chǔ)解系： ，相應(yīng)于特征值 的特征向量是。對(duì) ，解齊次線性方程組，即求出它的基礎(chǔ)解系：23222,1(0)kk相應(yīng)于 的特征向量是。161111 11111101sssssssAxxxxssssk xkxk x 定理 ：若 ， 是方陣 的互異的特征值， 是分別相應(yīng)于它們的特征向量，則， 線性無(wú)關(guān)。 證：對(duì) 使用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)，因?yàn)槿我粋€(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)，所以定理成立。設(shè)對(duì)個(gè)互異的特征值定理成立，要證對(duì) 個(gè)互異

8、的特征值定理也成立，為此令 ， （）17111 1 11111111111102(1)(1)03(3) (2)()()0(1sssssiiisssssssssssSiskxkxAxx isAkxkxkxkxkxxxi在上式兩邊同乘以得 ， （ ）因?yàn)椋?，用 左乘式得 ， （ ）將、 二式兩邊分別相減得 由于 ，線性無(wú)關(guān)，且，1111)00sssskkkxx ，故必有，從而。即 ， 線性無(wú)關(guān)。18三、相似矩陣及其性質(zhì)三、相似矩陣及其性質(zhì)11111 11111111 ()() () (nnnnnnnnnTXXTXXPPTBABTTPTPT ppppTp T、相似矩陣：考慮 ：，易知 在 不同基組

9、下的表示矩陣是不同的。設(shè) 和 是線性空間 的兩組不同的基， 為過(guò)渡矩陣。 關(guān)于 、 的矩陣分別為 和 ，則有：，線性11111111) ()() ()nnnnnnnnnp Tp Tp TTTPTPAPP APBP APAB，。稱滿足此關(guān)系式的 、 矩陣為相似的。1911 2ABnnPBP APABABP APAPTXTX相似矩陣：設(shè) 、 均為 階方陣，若存在 階可逆矩陣 ，使則稱 相似于 ，記為。這時(shí)可稱為對(duì) 施行相似變換，其中 稱為相似變換陣。定理 ：設(shè) 是線性空間 上的線性變換，則 在 兩組不同基下的表示陣是相似的。20111123 ()1| ABABABABABPBP APABEBEP

10、APPEA PPP、相似矩陣的性質(zhì)：若，則 與 有相同的行列式、秩和特征值。定理 ：設(shè)方陣 與 相似，則 與 有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。證：因?yàn)?，所以存在可逆矩?，使得于是 與 的特征矩陣有如下關(guān)系：等式兩端取行列式，顯然，于是1 | | |EBPEAPEAABAB，即 與 有相同的特征多項(xiàng)式，從而 與 有相同的特征值。211.2方陣在相似變換下的標(biāo)準(zhǔn)形n1.2.1方陣的行列式因子、不變因子、初等因子n1.2.2方陣相似的條件n1.2.3方陣在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形n1.2.4方陣在相似變換下的有理標(biāo)準(zhǔn)形221.2.1方陣行列式因子、不變因子、初等因子1.行列式因子定義1.7

11、?E-A中所有非零k級(jí)子行列式的首項(xiàng)(即最高次項(xiàng))系數(shù)為1的最大公因式稱為?E-A的k級(jí)行列式因子，記為D()k11( ),1,( ),( )nnEnDnDD 計(jì)算步驟：由定義，先求的特征矩陣的 級(jí)子式再求所有的級(jí)子式取其中首系數(shù)為1的最大公因式，即依次類推，直至得到23解：考慮其3級(jí)子式 考慮其所有的3級(jí)子式(只有一個(gè))： 21212EA32 -1 -2 -1 (2) -21.7 求A的各級(jí)行列式因子 210021002A 24所以 考慮其所有的2級(jí)子式，因?yàn)橛幸粋€(gè)2級(jí)子式所以 考慮其所有的1級(jí)子式，因?yàn)?E-A中的有元素-1,所以33( )(2)D 1 012 -12( )1D1( )1D

12、252.不變因子定理1.4 ?E-A總可以經(jīng)初等變換化為10( )( )ndd111( ),1,2,( ) /( )( )( ),1,2,iiiiiEdinddddinE 的形式，(稱其為在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形)，其中的首系數(shù)為1，且(被整除)。在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形中，對(duì)角元素不隨初等變換的不同而改變。26可以證明，?E-A在初等變換下秩與行列式因子不變，由此得出不變因子與行列式因子間的關(guān)系： 111( )( ),2, ,( )( )( )kkkDdknDdD27計(jì)算方法11111-( )( ) ( ) ( )-( )( ),2, ,( )( )( )nnkkkEddEDdknDdD法一:求經(jīng)初

13、等變換化成d d其中滿足定義條件，即為的不變因子,見(jiàn)13頁(yè)1.11.法二:先求 的行列式因子，再由不變因子與行列式因子的關(guān)系求解不變因子，見(jiàn)12頁(yè)例1.10。281111212112212 ( )(1, )( )() ()() , d ( )() ()() ,k0-Asnnnsijkkkkskkkskijjdkn 定義: 的不變因子在復(fù)數(shù)域可分解為一次因式冪的積： d 其中凡是冪次的一次因式冪（）均稱為 的初等因子（i=1, ,n;j=1,ijijkn,s;）3.初等因子29計(jì)算方法11 ( )()( )( ) ( )( )Aikkinnd法一:求 的不變因子，再分解為,見(jiàn)14頁(yè)1.12及1.

14、13法二:先看定理5，經(jīng)初等變化化為h h 則hh分解出的全部一次因式冪為 的初等因子。30212121120.0-1200+1 ( )(2)( +1), ( )1( )( )1,( )(2)( +1), ( )1( )2+1AEADDDddDD例1.6 證明方陣的不變因子和初等因子證：初等因子為，311.2.2方陣相似的條件定理1.6 方陣A與B相似的充要條件是：A與B有全同的不變因子。而且還可以得出以下推論：方陣A與E相似的充要條件是A與B有全同的初等因子32212112110.0-1322-1( )=(2)( +1)0+1 ( )110( )=(2)( +1) ( )13-2 ( )1,

15、ABADEADBDEBDDAB例1.7 證明與相似證： 的行列式因子的行列式因子即 與 有全同的行列式因子，所以相似。331.2.3方陣在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理1.7 設(shè)n階方陣A的全部初等因子為：12121ii-, (), (),.J J=J 1 J = skkksiisknA （）則必 相 似 于其 中i , i=1,s. 1 iikk 由此稱J在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，或稱若當(dāng)法式。J中的對(duì)角塊 稱為相應(yīng)于 的一個(gè) 階若當(dāng)塊。ikiiJ34111111()11()5()1,2,iiikkiiikkiiisiiikkkiiskikiEJEJEJEJTEJTTJisA證： 其中其中由定理

16、 ， 的初等因子，與 有全同的初等因子，所以相似。35 23(2) (2) (2)221221212AAJ例8： 已知 的初等因子為，寫(xiě)出 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形解：3611n1n1111sn()()n()11n()()skkAAJAAJAA定 理 7的 幾 個(gè) 推 論 ： 推 論 3： 設(shè)階 方 陣 的 初 等 因 子 均 為 一 次 ， 即， ，則 的 若 當(dāng) 標(biāo) 準(zhǔn) 形 為 對(duì) 角 陣即推 論 4： 設(shè)階 方 陣只 有 一 個(gè) 初 等 因 子 ， 即，則只 有 一 個(gè) 若 當(dāng) 塊即推 論 5： 設(shè)階 方 陣無(wú) 重 復(fù) 初 等 因 子 ， 即， ，則 的 每 個(gè) 特 征 值 只 對(duì) 應(yīng) 一 個(gè) 若

17、當(dāng) 標(biāo) 準(zhǔn) 塊 。371.2.4方陣在相似變換下的有理標(biāo)準(zhǔn)形定義 給定多項(xiàng)式f(?)=由f(?)構(gòu)成的n階方陣稱為f(?)的伴侶方陣 1110nnnaaa0 110 1 0 1 -anAaa38 3( ).( )=2( )=120101100fffAA例1.9 寫(xiě)出下列伴侶矩陣，解：3930112112121201211()1,1,1,()()=2()=11111()( 1)101()()()()1()()()nnnnnnnnnnnnnffffAEAaaaaaaaafDDDDdfD性質(zhì)：的伴侶矩陣的不變因子為，證： 的行列式因子為1121(),()()()()1nnDddd4011n1,1,1

18、,()()()1,2,nlnlinliAddALLLLLdilLA 2、有理標(biāo)準(zhǔn)形定理8：設(shè) 階方陣 的不變因子為則相似與其中為的伴侶矩陣，則成為在相似變換下的有理(自然)標(biāo)準(zhǔn)形，或有理法式。41 () ( )|(1)ijn niiiijj inAaGAaaAi in點(diǎn)估計(jì)近似值1.3.1特征值的估計(jì)區(qū)間估計(jì)范圍定義1.11 圓盤(pán) （由一個(gè)圓周界定的區(qū)域）設(shè) 階方陣，稱集合為 的第，個(gè)圓盤(pán)（蓋爾圓）。421231 -0.8 0.1 0.5 0 1.20.1 0.4 -2 |10.9 |1.7 |+ 20.5AAGGG例 1.11 求 方 陣的 圓 盤(pán) .解 ：的 圓 盤(pán) 為()()()連 通

19、部 分 ： 交 接 在 一 起 的 圓 盤(pán) 所2構(gòu) 成 的 最 大 連 通 區(qū) 域 。如 圖 ， 共 有個(gè) 連 通 部 分 。2011G2G3G43 () 1.ijn niiijj inAnAnAaaain定理1.9(圓盤(pán)定理) 階方陣 的 個(gè)特征值均落在 的 個(gè)圓盤(pán)的并集之內(nèi).也就是說(shuō)，的每一個(gè)特征值均至少滿足下列不等式之一：，4400000 00000 0000000011max0. () | |Tniiini jjiji iii jjj ijji ii ji ji jj ij ijiiAAaaaaaaa證：設(shè) 是 的任一特征值，是屬于 的特征向量.令，則由于，所以或?qū)懽鲇谑?0iiiGA

20、nG，即（A），當(dāng)然 也屬于 的 個(gè)圓盤(pán) （A）(i=1, ,n)的并集之內(nèi).45AGAmG 定理1.9 連通僅說(shuō)明了方陣 的一切特征值都在它的全區(qū)域：其中的任意兩點(diǎn)都可以用位于該區(qū)域中的一條折線連接起來(lái)。 部圓盤(pán)的并集之內(nèi)，而沒(méi)有說(shuō)明在哪個(gè)圓盤(pán)中有幾個(gè)特征值，為此可以 連通部分：交結(jié)在一起的圓盤(pán)所構(gòu)成的最大連通區(qū)證明下面的定理。 定理1.10 域稱為一個(gè)連通部分。 孤立的一個(gè) 設(shè) 是由方陣 的 個(gè)圓盤(pán)組成的一個(gè)連通部分圓盤(pán)就是，則在一個(gè)連中通部分。必有且只Am有 的 個(gè)特征值（圓盤(pán)相重時(shí)重復(fù)計(jì)數(shù)，特征值相同時(shí)也重復(fù)計(jì)數(shù)）。4611()1 1.ijn nniiiijjj iinAabbSaa

21、binbASSS 定理1.11 設(shè)方陣， ， 是任意一組正實(shí) 為了改善上述圓盤(pán)定數(shù)，記，則 的任意特征值均落在并理估計(jì)特征值的有效性，再給出下面的結(jié)論。集之內(nèi).471111111111 10(1) .1 1 1 ninnnnnnbBbbbinBBbbbaaDB ABaab證：記矩陣 ，則因， ， ， 可逆，且 記nb4821112111121222221212 nnnnnnnnnnbbaaabbbbaabbDabbaaabbDADADDSAS， 則，故 與 有全同的特征值.而由定理1.9，的特征值均落在 的圓盤(pán)的并集 內(nèi)，于是 的特征值也全落在 內(nèi).4910.9 0.01 0.12 0.01

22、0.8 0.130.01 0.02 0.4 |0.90.13 AAGG 定理1.11的意義在于，通過(guò)縮小圓盤(pán)的半徑，可以把相交的圓盤(pán)分開(kāi)。例1.24 估計(jì)方陣的特征值的分布范圍.解： 的圓盤(pán)為23|0.80.14 |0.40.03G 50312GAGGA 易見(jiàn)，是一個(gè)孤立的連通部分，其中恰有 的一個(gè)特征值，而和構(gòu)成一個(gè)連通部分，其中有 的兩個(gè)特征值。如下圖所示：1G2G3G12312311/10 |0.90.01 0.12 1/100.022 |0.80.01 0.13 1/100.023 |0.40.01 100.02 100.3bbbSSS 為了使估計(jì)更精確，取，則：，

23、511231233 0.90.022 0.80.023 0.40.3ASSSSSSAA 于是由定理1.11， 的特征值均落在 、 、 的并集之中，而 、 、 都是孤立的，所以每個(gè)圓盤(pán)中恰有的一個(gè)特征值。于是可得 的 個(gè)特征值的范圍如下：如圖所示：52111.12 ( )max nnnAAAA1.3.2譜半徑的估計(jì)定義稱 階方陣 的全體特征值 ， ，組成的集合為 的譜，稱 ，為 的譜半徑.其幾何意義如下圖：即為所有特征值中的最大的模（與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)）.531100011=,max,( )v. 1. max 8 ( )nn nijiji njiiijj inniiijijijij

24、 ijjAaAAiaaaaaaa 方陣（）記v=則證：設(shè)是 的任一特征值，由定理1.9，必存在一個(gè)，使得推論譜半徑的估計(jì)設(shè)n階即1111 ( )max ( )max( )min maxmaxnijijTTnijjinnijijijjiAaAAAAaAaa由于 與有相同的特征值，對(duì)應(yīng)用以上結(jié)論，有，故譜半徑估計(jì)：，54211444121( )1.555113666. ( )min 11.AAAA例1.25 證明方陣的譜半徑57證： 的行和最大值為1，列和最大值為6057，60551211121012,nnnnnAAnAnnxxxR三、主特征值及主特征向量的估計(jì)、定義主特征值：設(shè) 階方陣 的特征值

25、按模的大小排列為，稱 為 的主特征值（或占優(yōu)特征值）。主特征向量：相應(yīng)于 的特征向量。、估計(jì)方法冪法 設(shè) 階方陣 的 個(gè)特征值互異，即則相應(yīng)的 個(gè)特征向量 ， 線性無(wú)關(guān)，任意向量可由其線性表出，即5601 10111 1 101 11 nnnnnnnmmmnnnxxxAAxAxAxxxAA xxx 兩端左乘 ，有重復(fù)左乘 ，可得211 122111()011 111()(1)011 11 ()0 mmmnnnmmmmmmmmmxxxmA xxxAxxxx 設(shè)，易見(jiàn)當(dāng) 充分大時(shí)，上式中第一項(xiàng)成為主要的，從而，則570(1)()1()131()(1)0 (2)(3)(1)mmmijn nijijj

26、iijikkjAxmxxxAaaaaAAaaaijknA 說(shuō)明：依次用 的乘冪去乘任意向量 ，當(dāng)冪次充分大時(shí)，其結(jié)果與之間的倍數(shù)即為的近似值，而即為主特征向量的近似值。這種方法稱為冪法。、正互反矩陣主特征值及主特征向量估計(jì)定義：若矩陣滿足：，則稱 為正互反矩陣。若 還滿足， ，則稱 為一致性正互(3)反矩陣。條件稱一致性或傳遞性條件。58max1111ma(1)(1)(2)(1)(3)(4) niijjniiTniTniniiWAMa innwM inWwwwWwwwWw 估計(jì)正互反矩陣主特征值和主特征向量，可用如下的方根法：將 中的元素按行相乘，乘積記作， ；將這些乘積開(kāi) 次方根，方根記作，

27、 ；將方根組成的向量歸一化，得，其中，即主特征向量；計(jì)算主特征值x1()()()()(1)niiiiiAWnWAWAWinWnWiin， 其中表示第 個(gè)分量，表示的第 個(gè)分量， 。具體算例見(jiàn)書(shū)33頁(yè)例1.27。59 .:, lim,.kkkijkkkijijijkkkkkAAakaaAAaAAAAAAA1一、 矩陣序列定義 設(shè)有矩陣序列其中且當(dāng)時(shí)則稱收斂 并把叫做的極限或稱收斂于記為或不收斂的矩陣序列則稱為發(fā)散的 其中又分為有界和無(wú)界的情況1.4矩陣分析60111 1 ln1 1sin lim 1 lim=0 10 1kkkkkkkkkkkAkkkkAAkeA 例 1.14 求 方 陣求.解

28、： 對(duì)中 每 個(gè) 元 素 取 極 限 (令)， 得。61 1111-1-1.: , 1 (2.3 ()() , 4,kkkkkkkkkkkkkkkABA BABABA BABAAAAPA QPAQP A PP AP2收斂矩陣序列的性質(zhì)設(shè)分別收斂于則，若存在特別6212.:,lim. kkkAnAA AAkAA1冪收斂的定義設(shè) 為 階方陣，若矩陣序列收斂，即收斂又即時(shí)存在，則稱矩陣 冪收斂二、 矩陣級(jí)數(shù)12-1-1-10-10=() =skkkkkkkJJP AP JAJP A PP APJJJAP J P若為 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,因，若則2、方陣冪收斂的條件：6312,1,2,kkkksiAJJJJ

29、JJJ is方陣 冪收斂問(wèn)題等價(jià)于其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 的冪收斂問(wèn)題又所以對(duì) 冪收斂討論，又可轉(zhuǎn)化為的討論1,=1.3:AA定理 方陣 為收斂矩陣的充要條件是 的任一特征值| |若| |，且對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊為一階的、方陣冪收斂判定定理6411121121:, , 10,10.1,=1.kikikkiksiskkiikiAPAPJPJAJJJJJJAPJ PPPJJkJAAJordan證明 對(duì)任何方陣均存在可逆矩陣使得其中 為 的標(biāo)準(zhǔn)形,定理 方陣 為收斂矩陣的充要條件是 的任一特征值| |若| |，且對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊為一階的 1!.(1)!(1)!,00(1,2,., )0(1,2,., ),1.=1=1ik

30、 miiikkkiiiiiikmkmkm AJisism當(dāng)就等價(jià)于等價(jià)于而這只有才可能也必能若，只有才收斂。 得證 65|1.30.370.10.5=0.5(1.30.21)=0.5(1.3- 0.21)| 1,AEA例15：證矩陣冪收斂性。證：特征值或所以冪收斂。66101111.:,. ,.,., kkkkkkNNkNkkkkkkkkkijkkAc AAASc ASSSc ASc Ac a1Neumann方陣冪級(jí)數(shù)收斂的定義矩陣序列的無(wú)窮和叫做矩陣級(jí)數(shù)稱為 的級(jí)數(shù)而稱為其部分和 若矩陣序列收斂 且有極限則稱該級(jí)數(shù)收斂 且有和 記為不收斂的級(jí)數(shù)必為發(fā)散的

31、2、絕對(duì)收斂：若矩陣級(jí)數(shù)的所有元素均絕對(duì)收斂則稱該級(jí)數(shù)為絕三、 方陣冪級(jí)數(shù).對(duì)收斂67 111121111211 ,.2,3,()kkkkkkkkkkkikikiAPA QPA QABS SA BS S 1絕對(duì)收斂矩陣級(jí)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)收斂,級(jí)數(shù)一定收斂 且任意調(diào)換它的項(xiàng)所得的級(jí)數(shù)仍收斂 并具有相同的和絕對(duì)收斂 則也絕對(duì)收斂且等于均絕對(duì)收斂 且和分別為則3、6814.,() .AIANeumannNeumann級(jí)數(shù)收斂的充要條件定理級(jí)數(shù)收斂的充要條件是 為收斂矩陣 且級(jí)數(shù)和為69000005.( ),( ),().,( ),.(2)( ),( )( )kkkkkkkkkkkkAzc zAc AAI

32、AzAARAc ARzc z收斂圓定理 若矩陣 的特征值全部落在冪級(jí)數(shù)的收斂圓內(nèi) 則矩陣冪級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的反之若 存在落在的收斂圓外的特征值 則是發(fā)散的矩陣 的譜半徑方陣冪級(jí)數(shù)收斂，其中 為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。 7012000101!21( ),-10lim|!( )=kkkkkkkkkkkfffsAkf AAcxc xRkcAAkJJf APPJ 例16：判定方陣冪級(jí)數(shù)的冪收斂性，若收斂求其和。其中。證：記則所以無(wú)論 特征值為何，均收斂，其和712121|(1)111=-1-20( )=02EAPeeef APPeee由可以求得7220212002100 :,(“”)111,2!( 1)( 1

33、)sin( ),cos( )(21)!(2 )!,1( 1)( 1),sin( ),cos( )!(21)!AznnnnnnnnnnAnnnneezzznzzzznnAeAAAAnn 四、 矩陣函數(shù)1.如以矩陣為自變量的函數(shù) 實(shí)際上是 函矩陣我們知道均為整個(gè)復(fù)平面上收斂的級(jí)數(shù) 故對(duì)任何的方陣20(2 )!.nnAn均絕對(duì)收斂三者分別稱為矩陣指數(shù)函數(shù)、矩陣正弦函數(shù)、矩陣余弦函數(shù)。73112( )(),(),()(1,2, )( )10112( )10iiiiiimiiiAPP APJf zfffsf AJJJJJsJordan、矩陣函數(shù)求法設(shè)階矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形為，且有非奇異矩陣 使得：對(duì)于函數(shù)，若

34、下列函數(shù)均有意義，則稱矩陣函數(shù)有意義，且 74()1()211( )( )()111( )( )( )( )( )2!1 !iiiiiiiiiJf Jf Jf APf J PPPf Jsmfffffmm m 7511111 2 3 41 2 3 1 21:(1)1 1 0 08 40022101 1 04114201,1 122816161116(2 ( ),( ),.)1,4, ( ), (1)1,)(imiiiiffff JAAJPJPPmf zz ff例1.17已知求解求出 及求出并構(gòu)成 1351111332221)|,(1)|,(1)|111224488zfzfzzzz76116821

35、16821()1681616f J11( )()1111111( )( )111f Jf Jf APf J P(3)合成(4)求773.( )( )( )( ) ( )ijm nijijm nA ta ttA tdadAA tdtdta t矩陣導(dǎo)數(shù)定義：若矩陣的每一個(gè)元素是變量 的可微函數(shù)，則稱可微，其導(dǎo)數(shù)定義為由此出發(fā)，函數(shù)可以定義高階導(dǎo)數(shù)，類似地，又可以定義偏導(dǎo)數(shù)。78110001014. ( )( )( ) , ( ) , ( )( )ijm nijttijttm nA ta ta tt tA tt tA t dta t dt矩陣積分定義：若矩陣的每個(gè)元素都是區(qū)間上的可積函數(shù)，則稱在區(qū)間上可積，并定義在上的積分為791.5 應(yīng)用舉例一： 線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)80