chap6-4雙線性變換法

1、 沖激響應不變法的映射關(guān)系 j3/ T/ T3/ T/ Too11jImzRezZ平面S平面沖激響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 一、一、 變換原理變換原理 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似率響應相似的一種變換方法。為了克服多值映射這一缺點，采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T

2、一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關(guān)系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖6-6所示。 圖圖 6-6雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射關(guān)系 o 11Z平 面jImzRez/ Tj11/ TS1平 面S平 面joo第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化 雙線性變換法的映射規(guī)則：（1）頻率壓縮：頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。（2）數(shù)字化：數(shù)字化：將S1平面通過標準變換關(guān)系 變換到z平面。Tsez1（1）頻率壓縮 把整個把整個S平面壓縮變換到某一中介的平面壓

3、縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶平面的一條橫帶里。里。)2tan(1T111111111111111222222222,tan2,00tan211jTjTsTsTsTjTjTsTsTsTTTTTTTsjjeeeeeeeeee 寬度為，從采用如下變換關(guān)系：這樣滿足：，又-/T/T（2）數(shù)字化 將將S1平面通過標準變換關(guān)系變換到平面通過標準變換關(guān)系變換到z平面。平面。11111111111,11111tan()2211,1s Ts Ts Ts TzeszszzsszzsTsTecsc thcezcszesczzcs 此時，則可得到 平面平面的單值映射關(guān)系：或?qū)嶋H中，為了使模擬濾波器的某一頻率與

4、數(shù)字化濾波器的任一頻率有對應的關(guān)系，要引入常數(shù)c） 代入可得：這時這時S 平面與平面與Z平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。二、變換常數(shù)c的選擇 調(diào)節(jié)c，可使AF的頻率特性與DF的頻率特性在不同頻率點處有對應的關(guān)系。也就是可以調(diào)節(jié)頻帶間的對應關(guān)系。 （a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應關(guān)系。在低頻處有1111111tan()22tan()222TTTTcccT 當較小時有由于11)tan()tan()22()2ccccccccbDFTAFTcccctgAFDF （利用的某一特定頻率（例截止頻率與的某一特定頻率嚴格相對應。即：看

5、出：此方法優(yōu)點：是在特定和特定處，頻率響應是嚴格相等的，它可以較準確地控制截止頻率的位置。三、三、 逼近的情況逼近的情況 雙線性變換符合上節(jié)中提出的映射變換應滿足的兩點要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 1tan12jjescjcje 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 1111zscz（2） 其次，將s=+j代入式 ，得 cjzcj 因此 2222|czccszcs 由此看出，當0時， |z|0時，|z|1。也就是說， S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的

6、數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 四、四、 優(yōu)缺點優(yōu)缺點 雙線性變換法與沖激響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關(guān)系。S平面整個平面整個j軸單值地對應于軸單值地對應于Z平面單位圓一周，平面單位圓一周， 即頻即頻率軸是單值變換關(guān)系率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系下式所示，重寫如下： tan2c 上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖6-7所示。 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率

7、而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖6-7 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 o2tan2T圖 6-8 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j(argaH 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性嚴重非線性關(guān)系關(guān)系而得到的。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型模擬

8、濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 6-8 所示。 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當進一步

9、增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖 6-9 雙線性變換時頻率的預畸變 )j(aH)(ejHooo43211234tan2c =/T設(shè)計流程 1.根據(jù)要求，設(shè)定指標。 2.將各分段頻率臨界點預畸變。 3.將數(shù)字濾波器的性能指標轉(zhuǎn)換為中間模擬濾波器的性能指標。 4.根據(jù)設(shè)計要求，選定雙線性變換常數(shù)C。 5.設(shè)計中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s). 6.將 代入Ha(s)中，得到DF 的H(z).1111zzCS （1） 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻

10、帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式tan2c 計算出相應的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器H(z)的原轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則 首先，利用下式計算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3 和4。 再利用式 tan2c 2fT對頻率預畸變，得到預畸變后的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、 3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率、2、3和4, 經(jīng)雙線性變換后映

11、射到數(shù)字濾波器H(z)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、 3、4，并且能保證數(shù)字域頻率1、2、3、4與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1、f、f、f4成線性關(guān)系。（2） 按1、2、3和4等指標設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。 （3）將 代入Ha(s)，得H(z)為 1111zscz1111111( )( )|1aazs czzH zHsHcz其頻率響應為 tan2()()|tan2jaacH eHjHjc上述這些步驟比用脈沖響應不變法設(shè)計濾波器要簡便得多。 需要特別強調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應用變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是低通濾波器； 若Ha(s)為高通濾波器，應用 變換得到的數(shù)字濾波器H(

12、z)也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，當強調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應時，采用沖激響應不變法較好; 而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。 1111zscz1111zscz 例例 6-2 設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH 解解 數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應的巴特沃思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是c，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )828. 0/(11)/(11)(sTssHca將雙線性變換應用于模

13、擬濾波器，有 11111124159. 0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs 例例6-3 用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=250 s），其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解: 首先，確定數(shù)字域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式，確

14、定預畸變的模擬濾波器的截止頻率 TTTcc225 . 0tan22tan2第三步，將c代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa 圖6-10給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換， 使截止區(qū)的衰減越來越快。圖圖 6-10 用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)

15、字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz五、模擬濾波器的數(shù)字化方法五、模擬濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起沖激響應不變法來，在設(shè)計和運算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，所以可以直接將式 代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數(shù)， 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 即 1111111( )( )1zas czzH zHsH cz頻率響應也可用直接代換的方法得到 tan2()()tan2jacH eHjHjc1111zscz 若階數(shù)較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設(shè)計，一方面， 可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、 二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。另一方面，可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計，即預先求出雙線性變換法中離散系