正交試驗設(shè)計原理-

1、正交實驗設(shè)計1 .概述任何生產(chǎn)部門，任何科學(xué)實驗工作，為達(dá)到預(yù)期目的和效果都必須恰當(dāng)?shù)匕才艑嶒灩ぷ?，力求通過次數(shù)不多的實驗認(rèn)識所研究課題的基本規(guī)律并取得滿意的結(jié)果。例如為擬定一個正確而簡便的分析方法，必然要研究影響這種分析方法效果的種種條件，諸如試劑濃度和用量、溶液酸度、反應(yīng)時間以及共存組分的干擾等等。同時，對于影響分析效果的每一種條件，還應(yīng)通過試驗選擇合理的范圍。在這里，我們把受到條件影響的反系方法的準(zhǔn)確度、精密度以及方法的效果等叫做指標(biāo)；把試驗中要研究的條件叫做因素；把每種條件在試驗范圍內(nèi)的取值（或選取的試驗點）叫做該條件的水平。這就是說我們常常遇到的問題可能包括多種因素，各種因素又有不同

2、的水平，每種因素可能對分析結(jié)果產(chǎn)生各自的影響，也可能彼此交織在一起而產(chǎn)生綜合的效果。正交試驗設(shè)計就是用于安排多因素實驗并考察各因素影響大小的一種科學(xué)設(shè)計方法。它始于1942年,之后在各個領(lǐng)域里都得到很快的發(fā)展和廣泛應(yīng)用。這種科學(xué)設(shè)計方法是應(yīng)用一套已規(guī)格化的表格一一正交表來安排實驗工作，其優(yōu)點是適合于多種因素的實驗設(shè)計，便于同時考查多種因素各種水平對指標(biāo)的影響通過較少的實驗次數(shù)，選出最佳的實驗條件，即選出各因素的某一水平組成比較合適的條件，這樣的條件就所考查的因素和水平而言，可視為最佳條件。另一方面，還可以幫助我們在錯綜復(fù)雜的因素中抓住主要因素，并判斷那些因素只起單獨的作用，那些因素除自身的單獨

3、作用外，它們之間還產(chǎn)生綜合的效果。數(shù)理統(tǒng)計上的實驗設(shè)計還能給出誤差的估計。2 .試驗設(shè)計的基本方法2.1 全面試驗法正交設(shè)計的方法，首先應(yīng)根據(jù)實驗的目的，確定影響實驗結(jié)果的各種因素，選擇這些影響因素的試驗點，進(jìn)而擬出實驗方案，之后按所擬方案進(jìn)行實驗并對實驗結(jié)果作出評估。必要時再擬出進(jìn)一步的實驗方案，使實驗工作更趨完善，所得結(jié)果也更為可靠。如在研究某一顯色反應(yīng)時，為選擇合適的顯色溫度、酸度和顯色完全的時間，可作如下的試驗安排。首先確定上述三因素的實驗范圍：顯色溫度：2535C（溫度以A表示）酸濃度：0.40.6mol/L（酸濃度以B表示）顯色時間：1030min（時間以C表?。┢浯未_定每種因素在

4、上述實驗范圍內(nèi)各取的水平數(shù)（如各取三個水平）。因素A的三個水平分別以A1,A2,慶3表?。灰蛩谺的三個水平分別以Bi,B2,B3表??；因素C的三個水平分別以C1,C2,C3表?。蝗缓髮@色試驗的因素、水平列為下表。.因素ABC水平溫度（t/C）酸濃度（C/molL-1）時間（t/min）1250.4102300.6203350.630這是一個三因素三水平的試驗問題，對這樣的試驗工作可做如下的安排AiBiCiA2BiCiA3BiCiAiBiC2A2BQ2A3BQ2AiBiC3A2BQ3A3BQ3AiB2CiA2B2CiA3B2CiAiB2c2A2B2C2A3B2C2AiB2c3A2B2c3A3B

5、2c3AiB3CiA2B3CiA3B3CiAiB3c2A2B3C2A3B3C2AiB3c3A2B3C3A3B3C3即三因素水平的試驗共27種組合（33=27）,按上組合方式做完27次試驗后自然可得出在所確定的因素和水平下的最佳顯色條件。這種全面試驗的方法，對事物的內(nèi)部規(guī)律剖析得十分清楚，但卻費時費事。假如我們還需要對實驗精密度，對試驗誤差的大小做出估計，則每一試驗至少應(yīng)重復(fù)一次。即應(yīng)做54次實驗。如果在討論六因素而每種因素均取5個水平時，則全面試驗的數(shù)目是56=15625次，這里還未包括為了給出誤差估計所需的重復(fù)試驗次數(shù)，顯然這是難以付諸實施的。當(dāng)考察的因素，水平數(shù)越多，在試驗中所有可能的搭配

6、也更多，要逐個地進(jìn)行試驗，顯然是不可能的。這就提出了合理地設(shè)計和安排試驗的問題。提出了通過較少量的試驗次數(shù)以獲得理想的實驗條件取得最佳的試驗效果，并對試驗結(jié)果做出科學(xué)評估的問題。對于上述試驗，一種習(xí)慣的試驗方法是簡單比較法。2.2 簡單比較法這種方法首先固定因素A、B為某一水平（如Ai、Bi）,改變C以獲得在AiBi時C的最佳水平（設(shè)為C2,在其下以:-）。CiA1B14電然后固定A為Ai,C為C2,改變B以獲得在Ai.C2時B的最佳水平（設(shè)為B3）BiAiC2JB23再固定B為B3,C為C2,改變A以獲得在B3、C2時的最佳水平（設(shè)為A2）oB3C2tA.2A3這樣可以認(rèn)為A2B3c2為較佳

7、的顯色條件，即簡單比較法經(jīng)過9次試驗也能獲得較佳的試驗條件，但卻存在以下缺點：2.2.1 當(dāng)各因素之間交互影響較大時,A2B3c2不認(rèn)為是最佳試驗條件。2.2.2 它未能保證三因素中任何兩因素的不同水平之間相碰一次因而上不均衡的，它提供的信息也是不豐富的。2.2.3 在不做重復(fù)試驗的情況下，不能給出誤差的估計。如何保持這種方法試驗次數(shù)少的優(yōu)點而又能避免上述缺點呢，可采用正交設(shè)計的方法來解決。在這9次試驗中實際上有兩次試驗是在相同條件下的重復(fù)試驗（AiB3c2和AiB3c2）,所以只有7次屬不同條件下的實驗，另一方面還可看出各因素、各水平出現(xiàn)的機會是不均衡的，其中Ai、C2各出現(xiàn)了7次;B3、C

8、i各出現(xiàn)了4次；而A2、A3、Ci、C3、B2卻只出現(xiàn)了一次，顯然，它們的出現(xiàn)的機會是很不均衡的。簡單比較法認(rèn)為最佳的分析條件是A2B3c2,但在試驗過程中C2是在AiBi條件下與Ci和C3相比，是最佳的一個條件水平，至于因素A、B取其他水平時是否也得出同樣的結(jié)論，卻未做過實驗，也不能得出同樣的結(jié)論，故上述的條件不能視為最佳的顯色條件，而只能是最佳條件的一種估計。導(dǎo)致上述幾種問題的原因是簡單比較法中各因素各水平的搭配不是均衡分散的，只能在同一批試驗中做單因素比較，而在不同批數(shù)的試驗之間卻無法進(jìn)行比較。2. 3正交設(shè)計法試驗設(shè)計是數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要內(nèi)容，正交設(shè)計是利用預(yù)先編制好的正交表來合理的

9、安排多因素試驗，以便通過少量的試驗次數(shù)來獲得滿意的結(jié)果，同時對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析?，F(xiàn)在對三因素三水平的試驗做如下的安排，首先只考慮A、B兩因素，起全面實驗應(yīng)作9次，如下表所不。A7BiB2B3AiA1B1A1B2A1B3A2A2B1A2B2A2B3A3A3B1A3B2A3B3這時兩因素的三水平相互各碰一次，它反映的情況全面，現(xiàn)在將因素C考慮進(jìn)去，也同樣希望在任何兩個因素的不同水平之間各相碰一次而有不增加試驗的次數(shù)，可做如下按排c、bA一B1B2B3、A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A2A2B1C2A2B2C3A2B3C1A3A3B1C3A3B2C1A3B3C2按上表安排的9次試驗與簡

10、單比較法相比，試驗次數(shù)相同但卻克服了簡單比較法的不均衡性，A的每個水平和B、C的三個水平分別各碰一次，B的每個水平和A、C的三個水平分別各碰一次，對C也是類似的情況。即三因素中任何兩因素的不同水平均相碰一次因而試驗是均衡的，上述9次試驗可視為三因素三水平的全面試驗的代表。為了書寫方便，上述試驗設(shè)計可簡化為下表：C、BA123112322313312表中右下角部分的每一行和每一列中，1,2,3正好各出現(xiàn)一次，我們把具有這樣的性質(zhì)方塊叫拉丁方，在排這種方塊時常用拉丁字母，故有拉丁方之稱。3正交設(shè)計法的基本特征3. 1均衡分散性在正交設(shè)計的試驗安排中，各因素之間的搭配是均勻的，這種因素間搭配的均勻性

11、一一試驗點分布的均衡性成為正交設(shè)計的均衡分散性?；蛘哒f，正交試驗設(shè)計把各試驗條件均衡地分散在排列完全的水平組合之中，是之更具有代表性，更易于通過最少的試驗次數(shù)來尋求最佳的試驗條件，正交設(shè)計的這種性質(zhì)，可以從試驗結(jié)果的平均值中消除由于非均衡所引起的誤差，有利于提高測定結(jié)果的可靠信。3.2整齊可比性正交試驗設(shè)計中，各因素各水平之間不僅搭配均勻，而且變化很有規(guī)律。在考慮某因素的每一水平的試驗中，其他各因素各水平出現(xiàn)的次數(shù)都相同，所作的貢獻(xiàn)也認(rèn)為是一致的。這樣在比較各因素的每一水平對指標(biāo)生產(chǎn)的影響時，就能最大限度地排除其他因素的干擾，突出本因素的作用，也就將各因素的效應(yīng)清楚地加以區(qū)別并估計其大小，這就

12、是正交試驗設(shè)計的整齊可比性。在數(shù)學(xué)上把均衡分散性和整齊可比性稱為正交性，凡具有這特性的試驗設(shè)計方法都稱為正交設(shè)計法。正是由于正交試驗設(shè)計最大限度地排除了其他因素的干擾并消除了非均勻分散性可能造成的誤差，因而只要比較因素各水平的試驗指標(biāo)的平均植，就能估計各因素對試驗指標(biāo)的影響大小，這在后面將作具體的介紹。3.3兩拉丁方的疊合在上述三因素三水平的基礎(chǔ)上，如果還需同時考慮第四個因素D,且因素D也取三個水平（D1,D2,D3）,那么能否在不增加試驗次數(shù)而又能保持前述的要求呢？這首先應(yīng)將D的三個水平拼成拉丁方，其次D的拉丁方和C的拉丁方不一樣。對于前著，是使D也能與A、B均衡搭配；對于后者，是使D與C之

13、間也能均衡，既無重復(fù)，又無遺漏。若用（1）,（2）,（3）表示D的三個水平，而D的拉丁方與C的拉丁方相同時，其9次試驗安排為：C(D)*12311(1)2(2)3(3)22(2)3(3)1(1)33(3)1(1)2(2)這時A、B和D間是均衡的搭配，但C和D的搭配卻不均衡，C的（1）水平和D的（1）水平相碰三次而不與D的（2）、（3）水平相碰，C的其他水平也有類似的情況。所以上述的試驗安排是不妥的，當(dāng)試驗的結(jié)果表明C的（1）水平最好，而在C?。?）水平時總是伴隨著D的（1）水平的出現(xiàn)，自然也可以認(rèn)為是D的（1）水平也最好，導(dǎo)致C和D的作用混雜。改進(jìn)上述試驗設(shè)計時，只需使D的拉丁方和C的拉丁方不

14、同，兩拉丁方具有均勻的搭配。按此原則可作如下的設(shè)計：C、DB1231231(1)2(3)2(2)3(1)1(3)3(3)1(2)2(1)3(2)這時D的三個水平組成的是拉丁方，它和A、B及C之間的搭配都是均衡的，D的每一水平和C的1、2、3水平各碰一次，C的每一水平也和D的（1）、（2）、（3）水平各碰一次，既無重復(fù)，也無遺漏?，F(xiàn)將C、D兩個拉丁方疊合在一起，就獲得上述的試驗設(shè)計，習(xí)慣上把具有這種性質(zhì)的兩個拉丁方叫正交拉丁方。1(1)2(2)3(3)2(3)3(1)1(2)3(2)1(3)2(1)一(2)(3)(3)(2)(2)(3)(1)1正交拉方設(shè)計因其搭配均衡，在分析試驗數(shù)據(jù)時可以把每個

15、因素的作用剖析得十分清楚而不致混雜，同時還可簡便地尋求到最優(yōu)的測量條件，達(dá)到預(yù)期的效果。第一部分正交試驗結(jié)果的直觀分析1 .正交表及其使用1.1 正交表它是一種預(yù)先編制好的表格，根據(jù)這種表可合理安排試驗并對試驗數(shù)據(jù)作出判斷。對于前述的三因素三水平試的設(shè)計安排，可采用L9(34)正交表來完成。L9(34)表見表1.表1L9(34)正交表水平試獎事,一陳|(列號)工1234111112122231333421235223162312731328321393321表L9(34)讀作L934,符號L表示正交表，L右下角的數(shù)字“9表示此表有9行，即需安排9個實驗，括號內(nèi)數(shù)字的指數(shù)“4表示有4歹U,即最多

16、能安排四個因素；括號內(nèi)數(shù)字的底數(shù)“3裳示每個因素取三個水平。表頭的列號是置放試驗中的因素(因素常記為A、B、C、D)，表中列號1、2、3、4是在不考慮交互作用時最多可置放四個因素(因素少于四時，可只用其中幾列)，表的左側(cè)為試驗號，表內(nèi)的1、2、3是因素在試驗中應(yīng)分別取的水平，故稱作水平號。L9(34)正交表可解決四因素(或少于四因素)的三水平試驗設(shè)計問題，是一種較為簡單的正交表。當(dāng)試驗因素及所取水平數(shù)更多時，則應(yīng)選擇其它種類的正交表，如L16(45)、L27(313)、L25(56)、L16(42X29)等，其中L(42X29)表示作16個試驗，可安兩個四水平的因素和9個二水平的因素。1.2

17、.正交表的選擇選擇正交表時可考慮以下幾點：(1.2.(1) 根據(jù)試驗?zāi)康拇_定要考查的因素，如對試驗的變化規(guī)律有大致的了解，有把握判斷出影響試驗效果的主要因素，可少取些因素，也可多取些因素，總之不能將主要影響因素漏掉。(1.2.(2) 確定各因素的變化范圍和水平數(shù)，每個因素的水平數(shù)可以相等，也可以不等，一般地說，重要因素或者特別希望詳細(xì)考查的因素，其變化范圍可寬些水平數(shù)可多些，其余的因素所取水平數(shù)則可少些。(1.2.(3) 根據(jù)試驗者進(jìn)行試驗時一次能平行完成的試驗次數(shù)而選擇正交表。(1.2.4)選用正交表除考慮因素水平及試驗條件外，還應(yīng)考慮對試驗結(jié)果精度的要求。當(dāng)對試驗結(jié)果的精度要求高時，宜取試

18、驗次數(shù)多的正交表，試驗費用貴或試驗周期長的，可取試驗次數(shù)少的正交表。當(dāng)存在交互作用時，應(yīng)選用具交互作用的正交表。|一般情況下，若因素全為二水平時，可選用L4(23)、L8(27)、L16(215)等正交表；因素全是三水平時，可選用L9(34)、L18(27)、L27(318)等正交表；若因素全為四水平的，可選用L16(45)正交表；因素全為五水平的則選用L16(45)正交表。當(dāng)因素取不同水平時，一方面可采用下面即將介紹的擬水平法，一方面可直接套用L8(4X*28)、L12(3X28)、L16(4X212)、L18(42凌9)等混合水平正交表。在三水平實驗種選L18(27),其中2水平所在的列，

19、不做安排。三水平因素可在其它7列選用。1.3 正交試驗的工作程序及幾點說明在選擇所需要的正交表后，將已確定的因素放置在表的任意列上，并把每一列的1、2、3填入具體水平，即得出試驗方案。今仍以前述三因素三水平的顯色反應(yīng)為例，其試驗方案如下表所示。表:三因素三水平正交試驗表水平那素A1A(t/C)2B(ml/L)3C(t/min)11(25)1(0.4)1(10)21(25)2(0.5)2(20)31(25)3(0.6)3(30)42(30)1(0.4)2(20)52(30)2(0.5)3(30)62(30)3(0.6)1(10)73(35)1(0.4)3(30)83(35)2(0.5)1(10)

20、93(35)3(0.6)2(20)試驗號試驗結(jié)果表中每一橫行表示一次試驗及進(jìn)行該試驗時所取的條件，按上安排作完實驗后并將所測結(jié)果填入最后一列內(nèi)，至于試驗結(jié)果的分析，將在以后再作討論。上面的試驗設(shè)計表未考慮因素之間的交互作用，故選用L9(34)正交表，三因素在表上所處的列可任意A、C、BL9(34)表所安排的9選擇而且可將因素的次序進(jìn)行交換。如在1、2、3列可依次排列A、B、C三因素，也可安排為三因素，在把因素及水平排入正交表后而獲得一張試驗設(shè)計表，這過程叫表頭設(shè)計。次試驗，不一定按表上的試驗號碼排列，也可按抽簽的方法來決定，這樣處理是為了減少試驗中由于先后掌握不勻所帶來的影響，但對有些試驗，其

21、次序卻不宜隨意變更。對于每個因素的水平并不一定總是由小到大(或由大到小)按順序排列，一般采用隨機化方法來處理，即對部分因素的水平作隨機的排列。1.4 常用的正交表1.4.1 三因素二水平正交表正交表為L4(23),表頭設(shè)計為:試驗號列號12311112122321242211.4.2七因素二水平正交表正交表為L8(27),表頭設(shè)計為:一列號試驗號123456711111111211122223122112241222211521212126212212172211221822121121.4.3更多因素二水平的正交法正交表為L12(211)、L16(215),前者的表頭設(shè)計為:列號試驗號123

22、456789101111111111111121111122222231122211122241212212211251221221212161222122121172122112212182121222111292112221221110222111122121122121211122221121212211.4.4四因素三水平正交表正交表為Lg(34),表頭設(shè)計在前已述及，當(dāng)為三因素時，此三因素可在表頭上占取任意三列，如三因素三水平在選用Lg(34)時，表頭設(shè)計可為：試驗號列號1231111212231334213522162327312832393311.4.5七因素三水平正交表正交表為

23、L18(37),表頭設(shè)計為:試驗號12345671111111111212222221313333331421122331522233111623311221731213231832321311933132122101133221211121133221213221132132123132214223121321523123212163132312217321312321833212312*:若把二水平的列1排進(jìn)L18(37)表中，便得到混合型L18(21鄧7)表。更多因素的三水平正交表可選用L27(313)、L36(313)正交表。1.4.6五因素四水平正交表正交表為L16(45),表頭設(shè)計

24、為:試驗號列號123451111112122223133334144445212346221437234128243219313421032431113312412342131341423144231415432411644132更多因素的四水平，可選用L32(49)正交表。1.4.7六因素五水平正交表正交表為L25(56),表頭設(shè)計為:123456實驗”1111111212222231333334144444515555562123457223451823451292451231025123411313524123241351333524114341352153524131641425317

25、42531418431425194425312045314221515432225215432353215424543215255543212 .二列間交互作用正交表二列間指兩因素之間（因為因素占歹U）2.1 交互作用正交表除能對因素的主效應(yīng)進(jìn)行考查外，有時還能簡便地考查各因素之間的交互作用并給出交互效應(yīng)的大小。所謂交互作用，是指在某些試驗中，不僅因素自身對實驗結(jié)果產(chǎn)生影響，而且因素之間產(chǎn)生協(xié)同的影響這種協(xié)同作用叫交互作用。如考查氮肥（N）和磷肥（P）對豆類增產(chǎn)效果，可在四塊土質(zhì)情況基本相同的土地上做四個試驗，試驗中施肥情況及產(chǎn)量如表所示.表：氮肥.磷肥對豆類產(chǎn)量的影響試驗號N量（m/kg）P

26、量（m/kg）產(chǎn)量（m/kg）100200230215302225432275由表知，單施氮肥3kg增產(chǎn)豆類15kg；單施磷肥2kg增產(chǎn)豆類25kg；同時施加了3kg氮肥和2kg磷，豆類增產(chǎn)量不是把兩種肥料單獨使用時增產(chǎn)豆類量的加和，而是增產(chǎn)了75kg,說明兩種肥料對豆類增產(chǎn)起了協(xié)同的效果，這種作用叫氮肥和磷肥的交互作用，以NXP表示。對于其它的因素，則記作因素1X因素2,或AXB、AXC等。2.2 二列間交互作用正交表試驗設(shè)計時，要考慮各因素間有無交互作用，這既可從專業(yè)本身加以判斷，也可對一定的試驗方案下的實驗數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計分析來加以確定。在常用正交表中，有的只能考查因素本身的效應(yīng)，不能用以考查

27、因素間的交互作用；有的則可以分析因素間的交互作用，很多正交表都附有相應(yīng)的二列間的交互作用表。在作表頭設(shè)計時，若不考慮因素間的交互作用，則因素置那一列上可任意選取，若因素間存在交互作用，則因素的置放要根據(jù)一定的規(guī)則，應(yīng)利用有交互作用的表來設(shè)計表頭。今以L8(27)正交表來安排具有二列間交互作用的試驗工作時，可由表2對因素及交互列在表頭中所處的列號作出安排。表2:L8(27)二列間交互作用表號列1(A)2(B)3(A*B)4(C)5(A*C)6(B*C)71(A)(1)3254762(B)(2)167453(A*B)(3)76544(C)(4)1235(A*C)(5)326(B*C)(6)17表2

28、中最上一行和最左側(cè)一列數(shù)字以及括號(呈對角線)內(nèi)的數(shù)字是列號，其余數(shù)字均為交互作用的列號。對于三因素A.B.C而言，先將因素A.B置放在表的第1、2歹U,則A和B相交的位置上的數(shù)字為3。即A*B應(yīng)置放在第3列上，再將因素c置放于第4歹U,則A和C相交位置上的數(shù)字是5,B和C相交位置上的數(shù)字是6,這樣A和C及B和C的交互作用列應(yīng)分別為第5列和第6歹U。如果考查時還有第四個因素D,并將它置放于第6歹U,根據(jù)上表可得如下的表頭設(shè)計。列號1234567因素ABC*DA*BCB*DA*CDB*CA*D這樣的設(shè)計中，雖有B和CXD、C與BXD、D與BXC的混雜，但如果已知B、C、D之間的交互作用很小。故不

29、致影響試驗結(jié)果的分析，仍可進(jìn)引因素A、B、C及交互作用AXB、AXC及AXD的考查。如果要對四個因素及其兩兩之間的交互作用都作全面的考查，不允許上述存在的幾種混雜，故此時不能選用L8(27)表，而選用L16(215)二列向的交互作用表，見表3。表3:Li6(215)二列向的交互作用表號列123456789101112131415123456789101112131415(1)3(2)21(3)567(4)4761(5)74523(6)654321(7)9101112131415(8)81110131215141(9)11891415121323(10)109815141312321(11)13

30、14158910114567(12)12151498111054761(13)151213101189674523(14)1413121110987654321(15)這樣，對于四因素的表頭設(shè)計為:列號123456789101112131415因素ABAXBCAXCBXCDADBXDCXD表3中，D未置入第7歹限原因是D置于7列后，AXD應(yīng)置第6列，導(dǎo)致與BXC的混雜。對于五因素。二水平的試驗，在同時考慮各因素之間的交互作用時，因五因素自身及它們之間的兩兩交互作用共有15項，仍可用L16(215)二列間交互作用表，其表頭設(shè)計為:列號12345678因素ABA*BCA*CB*CD*ED列號910

31、1112131415因素A*DB*DC*EC*DB*EA*EE如果考查一個四因素三水平的問題，在只考慮因素主效應(yīng)時，選用L8(27)正交表，讓因素順序上列，水平對號入座，填寫好試驗方案并按此安排進(jìn)行實驗。若同時考慮交互作用的影響，仍以選用L8(27)二列向交互作用表為宜，在填寫試驗方案時，只需列出交互作用列僅不填水平取值，仍按L8(27)表的安排作完八個實驗，并將測得值填入表中，既可考察四因素各自的主效應(yīng)，同時也能考察它們兩兩的交互作用效應(yīng)。示例如下：今考查影響某化合物產(chǎn)量的四個主要因素，每個因素取兩個水平，其值為:水平因素At/cBt/hC反料配比D攪拌速度1A180B12C11/1Di慢2

32、A2100B23C21.5/1D2快在不考慮因素間的交互作用時，試驗按下表安排進(jìn)行:試驗號因素ABCD1111121122312124122152112621217221182222當(dāng)同時考慮交互作用的影響，但又根據(jù)已有的經(jīng)驗估計這些交互作用并不明顯時，仍選用L8(27)二列間的交互作用表，其表頭設(shè)計為：列號1234567AXBAXCBXC因素ABCDCXDBXDAXD在此情況下，每個因素的作用可以分析清楚，而交互作用都混雜在一起，只是由于交互作用很小，不必單獨頒出來，這樣的處理對結(jié)果不致產(chǎn)生明顯的影響。如AXB、AXC、AXD如果不需對各因素的交互作用作全面的考查而只討論其中影響較大的幾個交

33、互作用,則表頭設(shè)計為:列號1234567因素BCDACXDAXBBXDAXCBXCAXD設(shè)計中雖有一些混雜，但因CXD、BXD、BXC卻很小，不致影響結(jié)果分析。若需全面考查四因素及其兩兩的交互作用。則選用L16（215）二列交互作用表，其表頭設(shè)計為:11列號1234567891012141513AABAXBIXCX因素ABCDXBCCDDD根據(jù)已有的經(jīng)驗，因素A、B、C之間交互作用，而攪拌速度D與這些因素間的交互作用可予忽略，這樣就成為研究四個因素和三個交互作用中，何者對產(chǎn)量影響較大、何者影響較小并進(jìn)而尋求有利于提高化合物產(chǎn)量的條件選擇問題。這時應(yīng)選擇至少有七列的二水平正交表L8（27）,其表

34、頭設(shè)計為：列號1234567因素ABAXBCAXCBXCD表頭設(shè)計好后，再按正交試驗的基本方法，列出如下試驗方案。列號因素At/cBt/cAXBC配比AXCBXCD試驗號123456711(80)1(2)11(1/1)111(4S)21(80)1(2)12(1.5/1)222（快）31(80)2(3)21(1/1)122（快）41(80)2(3)22(1.5/1)211(4S)52(100)1(2)21(1/1)212（快）62(100)1(2)22(1.5/1)121(4S)72(100)2(3)11(1/1)221(4S)82(100)2(3)12(1.5/1)112（快）綜上所述，可知正

35、交表是安排多因素試驗的一種有用的工具，在應(yīng)用時不得將主要影響因素遺漏，必要時傾向于多考查一些因素，因為有時增加12個考查的因素不一定會增加試驗次數(shù)或者說增加工作量并不大。在采用三水平以上的正交表作試驗后，可根據(jù)試驗結(jié)果作圖，找出不同水平的變化趨勢，為以后的試驗提供有益的信息。所以在不遺漏合理值的前提下，可把各因素的取值范圍稍取寬些，在此范圍內(nèi)取的水平數(shù)也不宜多，以免選用試驗次數(shù)多的正交表而增加試驗工作量。如果先用水平數(shù)少的正交表作實驗，以從多個因素中挑選出主要因素后，再于下一批試驗中對已挑選出的主要因素進(jìn)行的細(xì)致考查。在一般化學(xué)分析中，三因素之間的交互作用通?？梢院雎裕槐貑为氃僮骺疾?，讓其混

36、雜在試驗誤差之中。因交互作用不是具體因素，也就不存在水平問題，無須專門增加試驗工作來判斷它的影響。3 .正交試驗結(jié)果的直觀分析正交試驗結(jié)果的直觀分析由選定的正交表安排試驗并按試驗方案完成試驗記錄各次試驗的結(jié)果，再按一定步驟分析試驗結(jié)果。試驗結(jié)果分析方法有兩種，一種是直觀分析法；一種為方差分析法。直觀分析法是一種常用的結(jié)果分析法，它簡便直觀，計算工作量小，但不能給出試驗誤差的估計，也就無法得知分析結(jié)果的精度。3.1 不考慮交互作用的單指標(biāo)正交實驗的結(jié)果分析對于只考慮因素的主效應(yīng)而忽略因素間的交互作用時，正交試驗結(jié)果的分析，可從下面幾個例子說明：例1:研究某萃取分離過程的萃取效率，選擇了如下的因素

37、和水平萃取溫度(A):15(A1)、25(A2)萃取時間(B):3min(B。.、5min(B2)兩相體積比(C):1/1(C1)、2/1(C2)鹽析劑用量(D):1g/25ml(D1)、2g/25ml(D2)試判斷在不考慮交互作用的情況下各因素的影響并尋求最佳的萃取條件。解：此題屬四因素二水平問題，可選用L8(27)正交表，在表頭設(shè)計中將因素A、B、C、D分置于1、2、4、7歹U,并將因素的各水平代入，按正交表安排做完八次試驗，所得結(jié)果記錄于表的末列。ABCD試驗結(jié)果試驗號yi(%)12471153118621532/12953155129141552/11945253129162532/1

38、1967255118382552/1288如果從八次試驗結(jié)果的萃取效率yi來看，可認(rèn)為A2B1C2D1為最佳條件。實際上，為獲得正確的結(jié)論，應(yīng)對所測數(shù)據(jù)作科學(xué)的分析。首先將測得數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合比較，找出對yi有明顯影響的因素，進(jìn)而判斷它取什么水平對試驗產(chǎn)生最佳的效果。為便于綜合比較，可先從每個因素的不同水平的比較著手，在八次試驗中，由于每一次試驗都是在不同條件下進(jìn)行的，故無比較的基礎(chǔ)，只有將所測八個數(shù)據(jù)適當(dāng)?shù)丶右越M合，才能找到某種可比性一一正交設(shè)計的綜合可比性。以因素A為例，A的1水平A1出現(xiàn)在表的試驗號1-4號，這四次試驗的萃取效率的平均值為鼐4yy2y3y4=91.5%A的2水平A2出現(xiàn)在表的

39、試驗號5-8號，四次試驗的萃取效率的平均值為y8=89.5%由于在Ai條件下的四次試驗中，因素B、C、D皆取遍了兩種水平，且兩種水平出現(xiàn)的次數(shù)相同，均為二次。同樣在A2條件下的四次試驗中,B、C、D也都取遍兩種水平，且均為二次。這樣對于Ai和A2條件下的四次試驗來說，雖然其它條件B、C、D在變化，但這種變化是平等的或均衡的，即A1與A2之間的差異反映了兩個水平的不同影響，所以A1與A2就是有可比性了A-A2=91589.5=2)可以認(rèn)為因素A取A1水平時優(yōu)于取A2水平，根據(jù)同樣的理由比較因素B、C、D的兩種水平的效果，可得如下各式：1一-Bi=4yiy2y5y6=92.0%iB2=4y3y4y

40、7y8=89.0%-i_一.Ci=4yiy3y5y7=87.75%一iC2=4y2y4y6y8=93.25%一iDi=4yiy4y6y7=89.75%一i一一一一一D2=4y2y3y5y8=9i.25%以上各項計算的結(jié)果可列在正交表的下方ABCD試驗結(jié)果y(%)試驗號、i234567i2345678iiiiii22i2i2i22i2ii22i2i22ii222286959i949i968388Ki36636835i359K2358356373365k產(chǎn)與9i.592.087.7589.75k2=89.589.093.259i.25R=ki-k22.03.0-5.5-i.5表中K1表示正交表中每

41、列的i水平所對應(yīng)的數(shù)據(jù)之和，k1、為其平均值；k2表示正交表中每列的2水平對應(yīng)的數(shù)據(jù)之和,k2為其平均值，R叫極差，是每列兩水平平均值之差。Ra=A一A2V91,5-89.5-2.0Rb=B1一B2=92.0-89.0=3.0RC=C-C2=87.75-93.25=-5.5Rd=5-區(qū)=89.75一91.2575由差值的正負(fù)知因素a取a1比a好;因素b取b1比b2好；因素c取C2比C1好；因素dD2比D1好，所以在不考慮交互作用的情況下，選擇A1BCD2進(jìn)行萃取是最為合適的。另一方面A、B、C、D四因素各自對萃取效率的影響是不同的，這種影響的大小具體表現(xiàn)在該因素的不同水平對應(yīng)的平均萃取效率之間

42、的差異大小。從表上的極差植R絕對值知，因素C的兩個水平所導(dǎo)致的萃取效率的差異最大，即C的影響是最大的，其次是因素B、A,影響最小的是因素D。當(dāng)然，在試驗范圍改變后,上述結(jié)論也可能發(fā)生變化。例：為提高某產(chǎn)物的產(chǎn)率，考查可溫度、反應(yīng)時間、壓力和溶液濃度四個因素的影響，每個因素取三個水平，取值如下（其中因素A的三個水平作了隨機處理）：水平因素溫度y時間h壓力p/Mpa濃度C/%molL)11401.50.200.5021202.00.250.7031302.50.301.00解：試驗是四因素三水平問題，可選用L934118（2乂37）|_2713博正交表，如果由于試驗條件的限制，則選用試驗次數(shù)少的L

43、9（34醫(yī)，將因素順序上列，水平對號填入或i按正交表的安排作完九次試驗，結(jié)果記錄于表的右側(cè)，而對結(jié)果所作的初步運算記錄于表的下面部分。1234產(chǎn)率（%）實驗號因素ABCD1111128.02122233.03133340.54212336.55223114.56231232.07313233.08321345.59332132.5K1101.597.5105.575.0K283.093.5102.098.0Z=295.5K3111.0105.088.0122.5k1,333.832.535.225.0k上327.731.034.032.7Z9=32.8k3337.035.029.340.8R=

44、kmaxkmin9.34.05.915.8表中數(shù)據(jù)表明最佳反應(yīng)條件是A3B3C1D3,這時可得最高的產(chǎn)率。當(dāng)然，這是所說的最佳反應(yīng)條件是各因素所取水平值的范圍內(nèi)得出的結(jié)論，當(dāng)水平取值范圍改變后，最佳反應(yīng)條件也可能改變。另一方面，這里所得的最佳水平組合，并不包括在已做的九次試驗中，為了證實上述的結(jié)論，應(yīng)按最佳組合進(jìn)行試驗，將所得結(jié)果與試驗方案中具有最高產(chǎn)率的試驗作一比較。如果將各因素的水平取值對指標(biāo)作圖，得圖A,B,C,D的各水平為橫坐標(biāo)，以對應(yīng)的平均試驗數(shù)還可以對因素與指標(biāo)的關(guān)系作圖，即分別以因素?fù)?jù)（數(shù)值）為縱坐標(biāo)作圖。圖1:因素水平取值與產(chǎn)率的關(guān)系由圖1知某因素的點子散布（波動）的范圍大，表明該因素對指標(biāo)的影響也大；點子散布范圍小，對指標(biāo)的影響也小。例中因素D的不同水平所對應(yīng)的平均產(chǎn)率之間的差異最大，是影響產(chǎn)率的主要因素，其次是A,而影響最小的是B和C。對因素D而言，因其最佳水平在試驗范圍的邊界上，故有必要適當(dāng)?shù)財U(kuò)大D的取值，以獲得更佳的試驗條件。在進(jìn)行正交試驗設(shè)計時如果所考查的因素其水平的取值不是具體的數(shù)值量，可