高中數(shù)學經典題匯編[1]

1、1高中數(shù)學易錯易混易忘題分類匯編高中數(shù)學易錯易混易忘題分類匯編“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學生數(shù)學成績提高的重要因素，成為學生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學生的高考成敗起著至關重要的作用。本文結合筆者的多年高三教學經驗精心挑選學生在考試中常見的 66 個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應練習，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習幫你識破命題者精心設計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風破浪，實現(xiàn)自已的理想報負?！疽族e點 1】忽視空集是任何非空集合的子集

2、導致思維不全面。例 1、 設，若，求實數(shù) a2|8150Ax xx|10Bx ax ABB組成的集合的子集有多少個？【易錯點分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的ABBBA子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的 a 值產生漏解現(xiàn)象。解析：集合 A 化簡得，由知故（）當時，即 3,5A ABBBAB方程無解，此時 a=0 符合已知條件（）當時，即方程10ax B的解為 3 或 5，代入得或。綜上滿足條件的 a 組成的集合為10ax 13a 15，故其子集共有個。1 10,3 5328【知識點歸類點拔】 （1）在應用條件 ABAB時，要樹立起分類討論的數(shù)學思想，將集合是空

3、集 的情況優(yōu)先進行討論（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學語言）和自然語言之間的轉化如：，其中22,|4Ax yxy 222,|34Bx yxyr2,若求 r 的取值范圍。將集合所表達的數(shù)學語言向自然語言進行0r AB轉化就是：集合 A 表示以原點為圓心以 2 的半徑的圓，集合 B 表示以（3，4）為圓心，以 r 為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑 r 的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關系來解答。此外如不等式的解集等也要注

4、意集合語言的應用?！揪?1】已知集合、，若2|40Ax xx22|2110Bx xaxa ，則實數(shù) a 的取值范圍是 。答案：或。BA1a 1a 【易錯點 2】求解函數(shù)值域或單調區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例 2、已知,求的取值范圍22214yx 22xy【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于 x 的函數(shù)最值求解，但極易忽略 x、y 滿足這個條件中的兩個變量的約22214yx 束關系而造成定義域范圍的擴大。解析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1 從而 x2+y2=-3x2-22214yx 42y16x-12=+因此當 x=-1 時 x2+y2有最小值 1, 當 x

5、=-時，x2+y2有最大值。故32838328x2+y2的取值范圍是1, 328【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對 x、y 的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則22214yx 易知-3x-1，。此外本題還可通過三角換元轉化為三角最值求解。22y 【練 2】 （05 高考重慶卷）若動點（x,y）在曲線上變化，則22214xyb0b 的最大值為（）22xy3（A）（B）（C）（D）24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：A【易錯點 3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。例 3、是 R 上的奇函數(shù)， （1）求

6、 a 的值（2）求的反函數(shù) 2112xxaf x 1fx【易錯點分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯。解析：（1）利用（或）求得 a=1. 0f xfx 00f（2）由即，設,則由于故1a 2121xxf x yf x211xyy 1y ，而所以121xyy112logyyx 2121xxf x211,121x 1112log11xxfxx 【知識點歸類點拔】 （1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域為 R 可省略）。（2）應用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解1( )( )fba

7、f ab但應注意其自變量和函數(shù)值要互換?！揪?3】（2004 全國理）函數(shù)的反函數(shù)是（） 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxxC、 D、 221yxx x221yxx x答案：B【易錯點 4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位例 4、已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關 121xf xx yg x11yfx于直線對稱，則的解析式為（）yx yg x4A、 B、 C、 D、 32xg xx 21xg xx 12xg xx 32g xx【易錯點分析】解答本題時易由與互為反函數(shù)，而認為 yg x11yfx的反函數(shù)是則=11yfx1yf x yg x1f x 而錯選 A。1213211xxxx

8、解析：由得從而 121xf xx 112xfxx再求的反函數(shù)得。 11121211xxyfxx 11yfx 21xg xx正確答案：B【知識點分類點拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他11yfx1yf x只是表示中 x 用 x-1 替代后的反函數(shù)值。這是因為由求反函數(shù)的過程來 1fx看：設則，1yf x 11fyx再將 x、y 互換即得的反函數(shù)為，故 11xfy1yf x 11yfx的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問題時一定要謹1yf x11yfx慎?！揪?4】 （2004 高考福建卷）已知函數(shù) y=log2x 的反函數(shù)是 y=f-1(x)，則函數(shù) y= f-1(1-x)的圖象是（）答案：B【易錯

9、點 5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關于原點對稱。5例 5、 判斷函數(shù)的奇偶性。2lg 1( )22xf xx【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯誤結論。 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函數(shù)的解析式知 x 滿足即函數(shù)的定義域為定21022xx 1,00,1義域關于原點對稱，在定義域下易證即函數(shù)為 2lg 1xf xx fxf x 奇函數(shù)?！局R點歸類點拔】 （1）函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)具有奇偶性，則是

10、對定義域內 f x f xfx或 f xfx x 的恒等式。常常利用這一點求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。【練 5】判斷下列函數(shù)的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯點 6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調性和奇偶性的關系。從而導致解題過程繁鎖。例 6、 函數(shù)的反函數(shù)為，證明是 2221211log22xxf xxx 或 1fx 1fx奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)?！舅季S分析】可求的表達式，再證明。若注意到與具有相同 1fx 1fx f x的單調性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調性和奇偶性即可。 f

11、x解析：，故為奇函數(shù)從而212121212121222logloglogxxxxxxfx f x f x為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù) 1fx21212121xtxx 1,2 1,26且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故2logty f x1,2 1,2分別在和上分別為增函數(shù)。 1fx0,0【知識點歸類點拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結論：（1）定義域上的單調函數(shù)必有反函數(shù)。 （2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調性。 （3）定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。 （4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 。1( )( )fbaf

12、ab【練 6】 （1） （99 全國高考題）已知 ，則如下結論正確的是（）( )2xxeef xA、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函 f x f x數(shù)C、 是偶函數(shù)且為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函 f x f x數(shù)答案：A（2） （2005 天津卷）設是函數(shù)的反函數(shù)，則使 1fx 112xxf xaaa成立的 的取值范圍為（）A、 B、 11fxx21(,)2aa21(,)2aaC、 D、21(, )2aaa( ,)a 答案：A （時，單調增函數(shù)，所以1a f x.） 21111112afxffxfxfa 【易錯點 7】證明或判斷函數(shù)的單調性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定

13、義域優(yōu)先的原則。例 7、試判斷函數(shù)的單調性并給出證明。 0,0bf xaxabx【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調性必須依據(jù)函數(shù)的性質解答。特別注意定義中的的任意性。12,xD xD 1212f xf xf xf x12,x x以及函數(shù)的單調區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。7解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在 fxf x f x f x上的單調性即可。設 ， 由于0,120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x 故當 時，此時函數(shù)在120 xx12,bx xa 120f xf x f x上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù),ba

14、 f x0,ba為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：,0ba,ba 函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和 f x,ba ,ba0,ba上分別為減函數(shù).,0ba【知識歸類點拔】 （1）函數(shù)的單調性廣泛應用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應引起足夠重視。（2）單調性的定義等價于如下形式：在上是增函數(shù) f x, a b，在上是減函數(shù)，這表明 12120f xf xxx f x, a b 12120f xf xxx增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點連線 1122,xf xxf x的斜率都大于（小于）零。（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應 0,0bf xa

15、xabx用。但注意本題中不能說在上為增函數(shù)，在 f x,ba ,ba上為減函數(shù),在敘述函數(shù)的單調區(qū)間時不能在多個單調區(qū)間0,ba,0ba之間添加符號“”和“或”，【練 7】 （1） （濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調性的定義 10 xf xaxaax8判斷函數(shù)在上的單調性。 （2）設在的最小值為， f x0, f x01x g a求的解析式。 yg a答案：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。 （2）1,a10,a 12101aayg aaa（2） （2001 天津）設且為 R 上的偶函數(shù)。 （1）求 a 的值0a xxeaf xae（2）試判斷函數(shù)在上的單調性并給出證明。0,答案：（1）（2）函數(shù)在上

16、為增函數(shù)（證明略）1a 0,【易錯點 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。例 8、 （2004 全國高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求 a 的 3231f xaxxx取值范圍?！疽族e點分析】是在內單調遞減的充分不必要條 0,fxxa b f x, a b件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在 R 上遞減，但 3f xx 。 230fxx 解析：求函數(shù)的導數(shù)（1）當時，是減函數(shù)， 2361fxaxx 0fx f x則故解得。 （2）當時， 23610fxaxxxR 00a 3a 3a 易知此時函數(shù)也在 R 上是減函數(shù)。 （3） 332183313

17、39f xxxxx 當時，在 R 上存在一個區(qū)間在其上有，所以當時，函數(shù)3a 0fx3a 不是減函數(shù)，綜上，所求 a 的取值范圍是。 f x, 3 【知識歸類點拔】若函數(shù)可導，其導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系現(xiàn)以增函數(shù) f x9為例來說明：與為增函數(shù)的關系:能推出為增函0)( xf)(xf0)( xf)(xf數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調遞增，但，3)(xxf),(0)( xf是為增函數(shù)的充分不必要條件。時，與0)( xf)(xf0)( xf0)( xf為增函數(shù)的關系:若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即)(xf0)( xf0)( xf摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有。當時，)(xf0)( xf0

18、)( xf是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關系:0)( xf)(xf0)( xf)(xf為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為)(xf0)( xf0)( xf或。當函數(shù)在某個區(qū)間內恒有，則為常數(shù)，函0)( xf0)( xf0)( xf)(xf數(shù)不具有單調性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調0)( xf)(xf性是函數(shù)一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數(shù)判斷好函數(shù)的單調性。因此新教材為解決單調區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。因此本題在第一步后再

19、對和進行了討論，確保其充要性。在解題3a 3a 中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思維的嚴密性?！揪?8】 （1） （2003 新課程）函數(shù)是是單調函數(shù)的充2yxbxc0,x要條件是（）A、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：A（2）是否存在這樣的 K 值，使函數(shù)在上 243221232f xk xxkxx1,2遞減，在上遞增？2,答案：。 （提示據(jù)題意結合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)12k 20f 20f 在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由1,22,10求出 K 值后要檢驗。 ） 20f

20、【易錯點 9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內。例 9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。a1b1錯解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)a1b121a21bab2abab1a12+(b+)2的最小值是 8b1【易錯點分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等號成立的條件是 a=b=,第二次等號成立的條件 ab=，顯然，這兩個條件21ab1是不能同時成立的。因此，8 不是最小值。解析：原式= a2+b2+4=( a2+b

21、2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)21a21b21a21ba1b12-+4=(1-2ab)(1+)+4 由 ab()2= 得：1-2ab1-=ab2221ba2ba 4121,且16，1+17原式17+4= (當且僅當 a=b=時，21221ba221ba2122521等號成立)(a+)2+(b+)2的最小值是。a1b1225【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等” ，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內。【練 9】 （97 全國卷文 22 理 22）甲、乙兩地相距 s km , 汽

22、車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 c km/h ,已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為 b;固定部分為 a 元。（1） 把全程運輸成本 y（元）表示為速度 v（km/h）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2） 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？答案為:（1）（2）使全程運輸成本最小，當c20sybvavcvba11時，行駛速度 v=；當c 時，行駛速度 v=c。baba【易錯點 10】在涉及指對型函數(shù)的單調性有關問題時，沒有根據(jù)性質進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例 10、是否

23、存在實數(shù) a 使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出 2logaxxaf x2,4a 的值，若不存在，說明理由。【易錯點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調性及復合函數(shù)的單調性判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導致 a 的范圍擴大。解析：函數(shù)是由和復合而成的，根據(jù)復合函數(shù)的 f x 2xaxx logxay單調性的判斷方法（1）當 a1 時，若使在上是增函數(shù)，則 2logaxxaf x2,4在上是增函數(shù)且大于零。故有解得 2xaxx2,4 1222420aaa1。 （2）當 a1 使得函數(shù)在上是增函數(shù) 2logaxxaf x2,4【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調性如

24、：一次函數(shù)的單調性取決于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性決定于其底數(shù)的范圍（大于 1 還是小于1） ，特別在解決涉及指、對復合函數(shù)的單調性問題時要樹立分類討論的數(shù)學思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制） ?！揪?10】 （1） （黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設，且試求函數(shù)0a 1a 的的單調區(qū)間。2log 43ayxx答案：當，函數(shù)在上單調遞減在上單調遞增當函數(shù)01a31,23,421a 12在上單調遞增在上單調遞減。31,23,42（2） （2005 高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內單 3log0,1af xxaxaa1(,0)2調遞增，則

25、的取值范圍是（）A、 B、 C、a1 ,1)43 ,1)4 D、9( ,)49(1, )4答案：B.（記，則當時，要使得是增函數(shù)， 3g xxax 23gxxa1a f x則需有恒成立，所以.矛盾.排除 C、D 當時，要使 0gx 213324a01a是函數(shù)，則需有恒成立，所以.排除 A） f x 0gx 213324a【易錯點 11】 用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性例 11、已知求的最大值1sinsin3xy2sincosyx【易錯點分析】此題學生都能通過條件將問題轉化為關于1sinsin3xy的函數(shù)，進而利用換元的思想令將問題變?yōu)殛P于 t 的二次函數(shù)最sin xsintx值求解。但

26、極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，解析：由已知條件有且（結合1sinsin3yx1sinsin1,13yx ）得，而=sin1,1x 2sin13x2sincosyx1sin3x2cos x令則原式=根據(jù)二次22sinsin3xx2sin13txt222133ttt 函數(shù)配方得：當即時，原式取得最大值。23t 2sin3x 49【知識點歸類點拔】“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關

27、鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散13的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化。【練 11】 （1） （高考變式題）設 a0，000 求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和最小值。2答案：f(x)的最小值為2a 2a，最大值為22121202222 212222()()aaaa（2）不等式ax的解集是(4,b)，則 a_，b_

28、。x32答案：（提示令換元原不等式變?yōu)殛P于 t 的一元二次不等式1,368abxt的解集為）2, b【易錯點 12】已知求時, 易忽略 n的情況nSna例 12、 （2005 高考北京卷）數(shù)列前 n 項和且。 （1）求 nans1111,3nnaas的值及數(shù)列的通項公式。234,a a a na【易錯點分析】此題在應用與的關系時誤認為對于任意 n 值都nsna1nnnass成立，忽略了對 n=1 的情況的驗證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯誤結論。 na解析：易求得。由得故2341416,3927aaa1111,3nnaas1123nnasn得又，故該數(shù)111112333nnnnnaassan142

29、3nnaan11a 213a 列從第二項開始為等比數(shù)列故。2111 423 3nnnan 【知識點歸類點拔】對于數(shù)列與之間有如下關系：利nans1112nnnsnassn用兩者之間的關系可以已知求。但注意只有在當適合nsna1a時兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式。12nnnassn14【練 12】 （2004 全國理）已知數(shù)列滿足 na則數(shù)列的通項為 112311,2312nnaaaaanan na。答案：（將條件右端視為數(shù)列的前 n-1 項和利用公式法解答即可）nna11!22nnann【易錯點 13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前 n 項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集

30、（從 1 開始）例 13、等差數(shù)列的首項，前 n 項和，當時，。問 n 為 na10a nslmmlss何值時最大?ns【易錯點分析】等差數(shù)列的前 n 項和是關于 n 的二次函數(shù)，可將問題轉化為求解關于 n 的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件。解析：由題意知=此函數(shù)是以 n 為變ns 2111222n nddf nnadnan量的二次函數(shù)，因為，當時，故即此二次函數(shù)開口向下，10a lmmlss0d 故由得當時取得最大值，但由于，故若 f lf m2lmx f xnN為偶數(shù)，當時，最大。lm2lmnns當為奇數(shù)時，當時最大。lm12lmnns【知識點歸類點拔】

31、數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式都可視為定義域為正整數(shù)集或其子集（從 1 開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點應用函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前 n 項和公式是關于 n 的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如所對應的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的2nsanbn前 n 項和。此時由知數(shù)列中的點是同一直線上，這也是一個nsanbn,nsnn15很重要的結論。此外形如前 n 項和所對應的數(shù)列必為一等比數(shù)列的nnscac前 n 項和?！揪?13】 （2001 全國高考題）設是等差數(shù)列，是前 n 項和，且， nans56ss，則下列結論錯誤的是（）A、B、C、 D、和678sss0d 70a

32、 95ss6s均為的最大值。7sns答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前 n 項和關于 n 的二次函數(shù)的對稱軸再結合單調性解答）【易錯點 14】解答數(shù)列問題時沒有結合等差、等比數(shù)列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。例 14、已知關于的方程和的四個根組成首項為230 xxa230 xxb的等差數(shù)列，求的值。34ab【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數(shù)列的性質明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。解析：不妨設是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等34230 xxa差數(shù)列的性質知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程230 xxa的兩根是等差數(shù)列的中間兩項，根

33、據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)230 xxb列為：故從而=。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【知識點歸類點拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質是數(shù)列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數(shù)列的性質往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列，若，則；對于等比數(shù)列，若 naqpmnqpmnaaaa na，則；若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前 n 項的和，vumnvumnaaaa nanS，那么，成等比數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，*Nk kSkkSS2kkSS23 na是其前 n 項的和，那么，成等差數(shù)列等性質nS*Nk kSkkSS2kkSS23要熟練和靈活應用。16【練 14】 （2003

34、全國理天津理）已知方程和的四220 xxm220 xxn個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則=（） A、1 B、 C、 14mn3412D、38答案：C【易錯點 15】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比的情況例 15、數(shù)列中，數(shù)列是公比為（）的等na11a22a1nnaaq0q比數(shù)列。（I）求使成立的的取值范圍；（II）求數(shù)列的32211nnnnnnaaaaaaqna前項的和n2nS2【易錯點分析】對于等比數(shù)列的前 n 項和易忽略公比 q=1 的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為1nnaa（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題突破q0q口。使

35、思維受阻。解：（I）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，1nnaaqqaaaannnn121，由得2132qaaaannnn32211nnnnnnaaaaaa，即（） ，解得221111qqqaaqaaaannnnnn012 qq0q2510 q（II）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這1nnaaqqaaqaaaannnnnn2121表明數(shù)列的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是na，又，當時，q11a22a1qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaa，當時，qqqqaqqannn1)1 (31)1 (1)1 (211qnS217nnaaaaaa212

36、4321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222() 1111 (【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解qaann2題的關鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關注。另外，不要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進行觀察就得出正確結論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為 1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設計陷阱使考生產生對現(xiàn)而不全的錯誤?！揪?15】 （2005 高考全國卷一第一問）設等比數(shù)列的公比為 q，前 n 項和 na（1）求 q 的取值范圍。0ns 答案： 1,00,【易錯點 16】在數(shù)列求

37、和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構成的數(shù)列的前n 項和不會采用錯項相減法或解答結果不到位。例 16、 （2003 北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 na11232,12aaaa（1）求數(shù)列的通項公式（2）令求數(shù)列前項和的公式。 nannnba xxR nb【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項公式再由數(shù)列的通項公式 na nb分析可知數(shù)列是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構成的“差比數(shù)列” ，可用錯 nb項相減的方法求和。解析：（1）易求得2nan（2）由（1）得令（）則2nnbnxns 232462nxxxnx（）用（）減去（） （注意錯過一23124212nnnxsxxnxnx位再相減）得當23

38、1122222nnnx sxxxxnx1x 18當時11211nnnxxsnxxx1x 24621nsnn n綜上可得：當當時1x 11211nnnxxsnxxx1x 24621nsnn n【知識點歸類點拔】一般情況下對于數(shù)列有其中數(shù)列和 ncnnnca b na分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前 n 項和可通過在原數(shù)列的每一項的基 nb礎上都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。【練 16】 （2005 全國卷一理）已知1221nnnnnnuaabababb當時，求數(shù)列的前 n 項和,0,0nNabab nans答案：時當時.1a 21

39、221221nnnnanaaasa1a 32nn ns【易錯點 17】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導致多項或少項。例 17、求nS321121111n3211【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項和公式得，n2) 1(321nnn，取 ， ，就分別得到)111(2) 1(23211nnnnnn123，3211,211,11nS)111(2)4131(2)3121(2)211 (2nn12)111

40、(2nnn【知識歸類點拔】 “裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數(shù)（也可三個或更多）相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項的第二個數(shù)，如果不具備這些特點，就要進行轉化。同是要明確消項的規(guī)律一19般情況下剩余項是前后對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項，即nn216314212112222，問題會很容易解決。另外還有一些類似“裂)211(21)2(1212nnnnnn項法”的題目，如：，求其前項和，可通過分母有理化的方11nnann法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等?！揪?17】 （2005 濟南統(tǒng)

41、考）求和121222nS1414221616221)2(1)2(22nn答案：715115131131111nS1211211nn122nnn【易錯點 18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬎季S。例 18、 （2004 年高考數(shù)學江蘇卷，20）設無窮等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn.()若首項，公差，求滿足的正整數(shù) k；1a321 d2)(2kkSS ()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對于一切正整數(shù) k 都有成立.2)(2kkSS 【易錯點分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力.學生在解第()時極易根據(jù)條件“對于一切

42、正整數(shù) k 都有成立”這句話將 k 取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差，2)(2kkSS 但沒有認識到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應進一步的由特殊到一般。解：（I）當時1,231dannnnndnnnaSn21212) 1(232) 1(由，即 又22242)21(21,)(2kkkkSSkk得0) 141(3kk.4, 0kk所以（II）設數(shù)列an的公差為 d，則在中分別取 k=1,2,得2)(2nnSS20211211224211)2122(2344,)()(dadaaaSSSS即由（1）得 當. 1011aa或, 60)2(,01dda或

43、得代入時若成立,21)(, 0, 0, 0, 0kknnSSSada從而則若故所知由則216,324)( ,18),1(6, 6, 02331nnSSSnada,)(239Ss 得數(shù)列不符合題意.當20,)2(64)2(,121dddda或解得得代入時若;)(, 1, 0, 1212成立從而則kknnSSnSada若.成立從而則221)(,) 12(31, 12, 2, 1nnnSSnnSnada綜上，共有 3 個滿足條件的無窮等差數(shù)列：an : an=0，即 0，0，0，；an : an=1，即 1，1，1，；an : an=2n1，即 1，3，5，【知識點歸類點拔】事實上， “條件中使得對

44、于一切正整數(shù) k 都有成2)(2kkSS 立.”就等價于關于 k 的方程的解是一切正整數(shù)又轉化為關于 k 的方程的各項系數(shù)同時為零，于是本題也可采用這程等價轉化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關系?！揪?18】 （1） （2000 全國）已知數(shù)列,其中,且數(shù)列為 nc23nnnc 1nncpc等比數(shù)列.求常數(shù) p答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根據(jù)等比中項的性質建立關于 p 的方程，再說明 p 值對任意自然數(shù) n 都成立）【易錯點 19】用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點的個數(shù)）時，易忽略討論二次項的系數(shù)是否

45、為尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.例 19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點的224xy1yk x個數(shù)（1）（2）21【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉化為關于 x 或 y 的方程后，易忽視對方程的種類進行討論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組消去 y 得到（1）當2214yk xxy22221240kxk xk時，即，方程為關于 x 的一次方程，此時方程組只有解，即210k1k 直線與雙曲線只有一個交點。 （2）當時即，方程22104 430kk 2 3

46、3k 組只有一解，故直線與雙曲線有一個交點（3）當時，方程22104 430kk 組有兩個交點此時且。 （4）當時即2 32 333k1k 22104 430kk 或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。2 33k 2 33k 綜上知當或時直線與雙曲線只有一個交點，當1k 2 33k 且。時直線與雙曲線有兩個交點，當或2 32 333k1k 2 33k 時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。2 33k 【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個數(shù)對應于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于漸進線的性質利用數(shù)形結合的方法解答，并且這兩種方法的對應關系如下上

47、題中的第一種情況對應于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。22【練 19】 （1） （2005 重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右1c2214xy2c焦點分別為的左右頂點，而的左右頂點分別是的左右焦點。 （1）求雙曲1c2c1c線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點，:2lykx1c2c且與的兩個交點 A 和 B 滿足，其中 O 為原點，求 k 的取值范2c6lOA OB 圍。答案：（1）（2）

48、2213xy133113131,115322315 （2）已知雙曲線C： ，過點P（1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有_條。答案：4條（可知kl存在時，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-1422yx(1-k2)-4=0, 當4-k2=0即k=2時，有一個公共點；當k2時，由=0有，有一個切點另：當kl不存在時，x=1也和曲線C有一個切點綜上，共有25k4條滿足條件的直線）【易錯點 20】易遺忘關于和齊次式的處理方法。sincos例 20、已知，求（1）；（2）2tansincossincos的值.22cos2co

49、s.sinsin【思維分析】將式子轉化為正切如利用可將（2）式分子分母221sincos除去即可。sin解：（1）；2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin .324122221cossin2cossincossin222223【知識點歸類點拔】利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到） ，進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。2222(1sincossectantancot這些統(tǒng)稱為 1 的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應用【練 20】 （200

50、4 年湖北卷理科）已知的值.)32sin(,2, 0cos2cossinsin622求答案：（原式可化為，65 3132602tantan62）223tan1tan2sin 231tan【易錯點 21】解答數(shù)列應用題，審題不嚴易將有關數(shù)列的第 n 項與數(shù)列的前 n項和混淆導致錯誤解答。例 21、如果能將一張厚度為 0.05mm 的報紙對拆,再對拆.對拆 50 次后,報紙的厚度是多少?你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為米)84 10【易錯點分析】對拆 50 次后,報紙的厚度應理解一等比數(shù)列的第 n 項,易誤理解為是比等比數(shù)列的前 n 項和。解析：對拆一

51、次厚度增加為原來的一倍，設每次對拆厚度構成數(shù)列，則數(shù)列na是以米為首項，公比為 2 的等比數(shù)列。從而對拆 50 次后紙的厚na31a =0.05 10度是此等比數(shù)列的第 51 項，利用等比數(shù)列的通項公式易得 a51=0.0510-3250=5.631010,而地球和月球間的距離為 41080，所以nnxabcx*nN10abcx1abxc1x.猜測：當且僅當，且時，每年年初魚群的總量保持不變.ababcbax1 （）若 b 的值使得0，由 知 ,nx*nN13nnnxxbx03nxb 特別地，有. 即，而(0, 2)，所以*nN103xb103bx1x，由此猜測 b 的最大允許值是 1. 下證

52、 當(0, 2) ，b=1 時，都 1 , 0(b1x有(0, 2), 。 當 n=1 時，結論顯然成立.假設當 n=k 時結論nx*nN成立，即(0, 2),則當 n=k+1 時，.又因為kx120kkkxxx.所以(0, 2)，故當 n=k+1 時結2121112kkkkxxxx 1kx論也成立.由、可知，對于任意的，都有(0,2).綜上所述，*nNnx為保證對任意(0, 2), 都有0， ，則捕撈強度 b 的最大允許1xnx*nN值是 1.【知識點歸類點拔】歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有

53、的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數(shù)學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在 n1(或 n )時成立，這是遞推的基礎；第二步是假042設在 nk 時命題成立，再證明 nk1 時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或 nn 且 nN）結

54、論都正確” 。由這兩步可以看0出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納.運用數(shù)學歸納法證明問題時，關鍵是 nk1 時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù) n 有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等?！揪?34】 （2005 年全國卷統(tǒng)一考試理科數(shù)學）（）設函數(shù)，求的最小值；) 10( )1 (log)1 (log)(22xxxxxxf)(xf（）設正數(shù)滿足，證明npppp2321,12321nppppnpp

55、ppppppnn222323222121loglogloglog答案：（）（）用數(shù)學歸納法證明。112f （2） （2005 高考遼寧）已知函數(shù)設數(shù)列滿足).1(13)(xxxxfna，數(shù)列滿足)(, 111nnafaanb).(|,3|*21NnbbbSabnnnn （）用數(shù)學歸納法證明； （）證明12) 13(nnnb.332nS【易錯點 35】涉及向量的有關概念、運算律的理解與應用。易產生概念性錯誤。例 35、下列命題： |=|若422|)()(aaabcacba)()(ababa則，則存在唯一實數(shù) ，使若，bb ,cacababcbca且 ，則設是平面內兩向量，則對于平面內任何一向量，

56、都coba 21,eea43存在唯一一組實數(shù)x、y，使成立。若|+|=|21eyexaabab則=0。=0，則=或=真命題個數(shù)為（ ）ababa0b0A1B2C3D3 個以上【易錯點分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質和運算法則等是向量一章中正確應用向量知識解決有關問題的前提，在這里學生極易將向量的運算與實數(shù)的運算等同起來，如認為向量的數(shù)量積的運算和實數(shù)一樣滿足交換律產生一些錯誤的結論。解析：正確。根據(jù)向量模的計算判斷。錯誤，向量的數(shù)量積的運2aaa算不滿足交換律,這是因為根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義表示和向量共線()a cb b的向量，同理表示和向量 共線的向量，顯然向量和向量 不

57、一定是()a bc cbc共線向量，故不一定成立。錯誤。應為錯誤。()()a bca cb aba b 注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。錯誤。應加條件“非零向量”錯誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，a只需向量和向量在向量 方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有bbc無數(shù)多個。錯誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共線的向21,ee量即一組基底。正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形。故=0。錯誤。只需兩向量垂直即可。ab答案：B【知識點歸類點拔】在利用向量的有關概念及運算律判斷或解題時，一定要明確概念或定理成立的前提條件

58、和依據(jù)向量的運算律解答，要明確向量的運算和實數(shù)的運算的相同和不同之處。一般地已知， 和實數(shù) ，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律： (交換律)（）（）（） (數(shù)乘結合律)() (分配律)說明：（1）一般地，()（） （2），0（3）有如下常用性質：， （） （）44，()【練 35】 （1） （2002 上海春，13）若 a、b、c 為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bc C.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）（2）(2000 江西、山西、天津理，4)設 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（ab

59、）c（ca）b=0 |a|b|0 的的取值范圍.答案：，(fxxfxx)4,2()43,2(x)kZ【易錯點 42】向量與解析幾何的交匯例 42、 （03 年新課程高考）已知常數(shù) a0，向量 c=（0，a） ，i=（1，0） ，經過原點 O 以 c+i 為方向向量的直線與經過定點 A（0，a）以 i2c 為方向向量的直線相交于點 P，其中 R.試問：是否存在兩個定點 E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出 E、F 的坐標；若不存在，說明理由.【易錯點分析】此題綜合程度較高，一方面學生對題意的理解如對方向向量的51概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結合圓錐曲線的定義來

60、解答，使思維陷入僵局。解析：根據(jù)題設條件，首先求出點 P 坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點 P 到兩定點距離的和為定值.i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）因此，直線 OP 和 AP 的方程分別為 和 .消去參數(shù) ，得點的坐標滿足方程axy axay2),(yxP.整理得 因為所以得：（i）當222)(xaayy. 1)2()2(81222aayx, 0a時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點 E 和 F；（ii）當22a時，方程表示橢圓，焦點和為合乎題意220 a)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF的兩個定點；（iii）