第二章_位姿描述和齊次變換(2010-09).

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 機械手作為執(zhí)行機構(gòu)是用來保證復(fù)雜空間運動的綜合剛體綜合剛體，而且它自身也往往需要在機械加工或裝配等過程中作為統(tǒng)一體進行運動。因此，我們需要一種用以描述單一剛體位移、速度和加速度以及動力學(xué)問題的有效而又方便的數(shù)學(xué)方法-矩陣法矩陣法 數(shù)學(xué)描述是以四階方陣變換三維空間點的齊次坐標(biāo)為基礎(chǔ)的，能夠?qū)⑦\動、變換和映射與矩陣運算聯(lián)系起來 補充：向量的點積和叉積 矩陣的乘法zzyyxxbabababakbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyx)()()(1. 方向角與方向余弦 =AOB(0)為向量 ， 的夾角，記作 =方向角的余弦稱為其方向余弦.方向余弦

2、abBOAOab),(ba1coscoscos222:的單位向量向量 r2.向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：)cos(Pr ABABju向量補充212212212,232221232221332211,coszzyyxxdbbbaaababababaBA已知：a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) 空間任意兩直線的公法線長度公式給定一直線過p點，具有方向矢量m，另一直線過點q，具有方向矢量n，則：)cos()(nmnmacrnmqpnma位置描述(position)-點在坐標(biāo)系的位置 一旦建立了一個坐標(biāo)系，我們就能夠用某個31位置矢量來確定該空間內(nèi)任一點的

3、位置。對于直角坐標(biāo)系A(chǔ)，空間任一點p的位置可用31的列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是點p在坐標(biāo)系A(chǔ)中的三個坐標(biāo)分量。Ap的上標(biāo)A代表參考坐標(biāo)系A(chǔ)。我們稱Ap為位置矢量，見圖21。 方位描述方位描述(orientation) 物體的方位可由某個固接于此物體的坐標(biāo)系描述為了規(guī)定空間某剛體B的方位，設(shè)置一直角坐標(biāo)系B與此剛體固接。用坐標(biāo)系B的三個單位主矢量xB、yB、zB相對于參考坐標(biāo)系A(chǔ)方向余弦組成的33矩陣來表示剛體B相對于坐標(biāo)系A(chǔ)的方位。稱為姿態(tài)矩陣姿態(tài)矩陣/旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣。式中，上標(biāo)A代表參考坐標(biāo)系A(chǔ)，下標(biāo)B代表被描述的坐標(biāo)系B。共有9個元素，但只有3個是獨立的。由于的三個列矢量

4、AxB、 AyB 、和AzB 都是單位矢量，且雙雙相互垂直，因而它的9個元素滿足6個約束條件(正交條件)。 坐標(biāo)系軸上的投影在坐標(biāo)系的單位基矢量示了中的三個列矢量分別表姿態(tài)矩陣AkjiBRBBBAB, 坐標(biāo)系軸上的投影在坐標(biāo)系的單位基矢量示了中的三個行矢量分別表姿態(tài)矩陣BkjiARAAAAB,位姿描述 要完全描述剛體B在空間的位姿(位置和姿態(tài))，通常將物體B與某一坐標(biāo)系B相固接。B的坐標(biāo)原點一般選在物體B的特征點上，如質(zhì)心等。相對參考系A(chǔ)，坐標(biāo)系B的原點位置和坐標(biāo)軸的方位，分別由位置矢量B和旋轉(zhuǎn)矩陣描述。這樣，剛體B的位姿可由坐標(biāo)系B來描述，即有 (2.9)Y(orientation) x(n

5、ormal) z(approach) ao nRAB手抓坐標(biāo)系Y(orientation) x(normal) z(approach) ao nRAB平移坐標(biāo)變換 (2.10)前面討論的是在一個坐標(biāo)系中位姿的描述，在大量的機器人問題中，涉及到用不同的坐標(biāo)系來描述同一個剛體的位置及姿態(tài)問題，這就涉及到從一個坐標(biāo)系的描述到另一個坐標(biāo)系的描述之間的變換關(guān)系，這種變換關(guān)系包括：平平移變換和旋轉(zhuǎn)變換移變換和旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)矩陣 設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為Oxyz，動坐標(biāo)系為，動坐標(biāo)系為O uvw，研究旋轉(zhuǎn)變換情況。研究旋轉(zhuǎn)變換情況。xyzwvuPo(O)圖2-3 初始位置時，動靜

6、坐標(biāo)系重合，初始位置時，動靜坐標(biāo)系重合，O、O 重合，如圖。各軸重合，如圖。各軸對應(yīng)重合，設(shè)對應(yīng)重合，設(shè)P點是動坐標(biāo)系點是動坐標(biāo)系O uvw中的一點，且固定不變。中的一點，且固定不變。則則P點在點在O uvw中可表示為：中可表示為： wwuvuuuvwkPjPiPP 、 、 為坐標(biāo)系為坐標(biāo)系O uvw的單位矢的單位矢量，則量，則P點在點在oxyz中可表示為：中可表示為： uivjwkzzyyxxxyziPiPiPPuvwPxyzP 當(dāng)動坐標(biāo)系當(dāng)動坐標(biāo)系O uvw繞繞O點回轉(zhuǎn)時，求點回轉(zhuǎn)時，求P點在固定坐標(biāo)系點在固定坐標(biāo)系oxyz中的位置中的位置 yzxo(O)uvwPPwPvPu圖2-4已知：

7、已知：P點在點在O uvw中是不變的仍然中是不變的仍然成立，由于成立，由于O uvw回轉(zhuǎn)，則：回轉(zhuǎn)，則： wwuvuuuvwkPjPiPP)(PwwvvuuxxuvwxkPjPiPiiP)(PwwvvuuyyuvwykPjPiPjjP)(PwwvvuuzzuvwzkPjPiPjjP用矩陣表示為用矩陣表示為: wvwzvzzwvyywxvxxzyxPPPkkjkikkjjjijkijiiiPPPy（2-7） uvwxyzwzvzzwvyywxvxxPRpkkjkikkjjjijkijiii:Ry則旋轉(zhuǎn)矩陣為：定義反過來：反過來： xyzuvwPRP1RRRdet*1T1RRRdet因此是正交矩陣

8、，的行列式，由于為的伴隨矩陣，為RRRR旋轉(zhuǎn)矩陣的幾何意義 參考坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣坐標(biāo)系對可以作為固連于剛體的ABRAB) 1 PPAPPBRAB的坐標(biāo)中的同一個空間點成坐標(biāo)系變換點的坐標(biāo)中的。它使坐標(biāo)系可以作為坐標(biāo)變換矩陣AB)2系中的投影之間的關(guān)系矢量在同一坐標(biāo)示具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個可以作為算子。用來表RAB)3三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣),(xR即動坐標(biāo)系即動坐標(biāo)系 求求 的旋轉(zhuǎn)矩陣，也就是的旋轉(zhuǎn)矩陣，也就是求出坐標(biāo)系求出坐標(biāo)系 中各軸單位矢量中各軸單位矢量 在固定坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中各軸的投影分量，很容易得到在重合時，有：中各軸的投影分量，很容易得到在重合時，有：角，軸轉(zhuǎn)動繞，XOvwOvwOwvk

9、ji,Oxyz),(xR100010001R由圖由圖2-52-5可知，可知， 在在y y軸上的投影為軸上的投影為 ， 在在z z軸上的投影軸上的投影為為 , , 在在y y軸上的投影為軸上的投影為 ， 在在z z軸上的投影為軸上的投影為 ，所以有：，所以有： vjcosyjsinzksinyjwkcoszkvjwkwzvzzwvyywxvxxkkjkikkjjjijkijiiiy)R(x,xyzouvwUVWO圖2-5cossin0sincos0001uxii方向余弦陣方向余弦陣同理：同理： cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R（comsin

10、0sincos0001)R(x,三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣: : xyzouvwUWOxyzouvwUWOv繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)矩陣式中，s表示表示sin，c表示表示cos。以后將一律采用此約定。 旋轉(zhuǎn)矩陣-舉例例1 已知轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系OUVW中的兩點aUVW(4，3，2) T和bUVW(6，2，4) T，若OUVW系統(tǒng)繞OZ 軸轉(zhuǎn)動了60。，試求參考坐標(biāo)系中的相應(yīng)點axyz和bxyz。 解 uvwZxyzuvwZxyzbRbaRa0060,60,旋轉(zhuǎn)矩陣-舉例例2 已知參考坐標(biāo)系OXYZ中的兩點aXYZ(4，3，2) T和bXYZ(6，2，4) T，若OUVW系統(tǒng)繞OZ 軸轉(zhuǎn)動了60。，試求

11、轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中的相應(yīng)點aUVW和bUVW。 解 xyzTZxyzxyzTZuvwbRbaRa0060,60, 合成旋轉(zhuǎn)矩陣合成旋轉(zhuǎn)矩陣: :例例1：在動坐標(biāo)中有一固定點：在動坐標(biāo)中有一固定點 ，相對固，相對固定參考坐標(biāo)系定參考坐標(biāo)系 做如下運動：做如下運動： R（x, 90）；）； R(z, 90)； R(y,90)。求點。求點 在固定參考坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系 下的位置。下的位置。 TuvwPo321OxyzuvwPoOxyz解解1：用畫圖的簡單方法：用畫圖的簡單方法 解解2：用分步計算的方法：用分步計算的方法 R（x, 90） R（z, 90） R（y, 90） 2313210101-000

12、01P21323110000101-0 P312213001-010100 P（2-14） （2-15） （2-16） 上述計算方法非常繁瑣，可以通過一系列計算得到上述上述計算方法非常繁瑣，可以通過一系列計算得到上述結(jié)果。將式（結(jié)果。將式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）聯(lián)寫為如下形式：）聯(lián)寫為如下形式： wvuzyxPPPRPPP33R3x3為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令：為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令： ),(),(),RR33xRzRy（定義定義1： 當(dāng)動坐標(biāo)系當(dāng)動坐標(biāo)系 繞固定坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系 各坐標(biāo)軸順序有限各坐標(biāo)軸順序有限次轉(zhuǎn)動時，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序次

13、轉(zhuǎn)動時，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序左乘左乘。注意：旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換注意：旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換 uvwOOxyz旋轉(zhuǎn)次序?qū)ψ儞Q結(jié)果的影響合成旋轉(zhuǎn)矩陣為了表示繞OXYZ坐標(biāo)系各軸的一連串有限轉(zhuǎn)動，可把基本旋轉(zhuǎn)矩陣連乘起來。由于矩陣乘法不可交換，故完成轉(zhuǎn)動的次序是重要的。例如，先繞OX軸轉(zhuǎn)角，然后繞OZ袖轉(zhuǎn)角，再繞OY轉(zhuǎn)角；表示這種轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)矩陣為 如果轉(zhuǎn)動的次序變化為，先繞OY轉(zhuǎn)角繞OX軸轉(zhuǎn)角，然后繞OZ袖轉(zhuǎn)角，再繞OX軸轉(zhuǎn)角；表示這種轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)矩陣為 除繞OXYZ參考系的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動外，OUVW坐標(biāo)系也可以繞它自己的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動。這時，合成旋轉(zhuǎn)矩陣可按下述簡單規(guī)則求得：1. 兩坐標(biāo)

14、系最初重合，因此旋轉(zhuǎn)矩陣是一個33單位矩陣I3。2如果OUVW坐標(biāo)系繞OXYZ坐標(biāo)系的一坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動，則可對上述旋轉(zhuǎn)矩陣左乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣。3如果OUVW坐標(biāo)系繞自己的一坐標(biāo)鈾轉(zhuǎn)動，則可對上述旋轉(zhuǎn)矩陣右乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣合成旋轉(zhuǎn)矩陣規(guī)則先繞OY軸轉(zhuǎn) 角，然后繞OW袖轉(zhuǎn)角，再繞OU轉(zhuǎn)角；表示這種轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)矩陣為位姿坐標(biāo)變換/一般變換(2.13)位姿坐標(biāo)變換-示例例21 已知坐標(biāo)系B的初始位姿與A重合，首先B相對于坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸轉(zhuǎn)30，再沿A的xA軸移動12單位，并沿A的yA軸移動6單位。求位置矢量APB0和旋轉(zhuǎn)矩陣 。假設(shè)點p在坐標(biāo)系B的描述為BP59，0T，求它在坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述AP。

15、RAB齊次坐標(biāo) n一般來說，n維空間的齊次坐標(biāo)表示是一個（n+1）維空間實體。有一個特定的投影附加于n維空間，也可以把它看作一個附加于每個矢量的特定坐標(biāo)比例系數(shù)。 kcj bi avzyxTwwzyxV式中式中i, j, k為為x, y, z 軸上的單位矢量，軸上的單位矢量，a= , b= , c= ，w為比例為比例系數(shù)系數(shù) wxwywz 顯然，齊次坐標(biāo)表達并不是唯一的，隨顯然，齊次坐標(biāo)表達并不是唯一的，隨w值的不同而不同。在計算機圖學(xué)中，值的不同而不同。在計算機圖學(xué)中，w 作為作為通用比例因子通用比例因子，它可取任意正值，但，它可取任意正值，但在機器人的運動分析中，總是取在機器人的運動分析中

16、，總是取w=1 。列矩陣列矩陣例：kjiV543可以表示為：可以表示為： V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T 齊次坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的區(qū)別nV點在OXYZ坐標(biāo)系中表示是唯一的（x、y、z）n而在齊次坐標(biāo)中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V點在空間位置上不變。 xyzzzxV圖2-2o 幾個特定意義的齊次坐標(biāo)：n0, 0, 0, nT坐標(biāo)原點矢量的齊次坐標(biāo)，n為任意非零比例系數(shù) n1 0 0 0T指向無窮遠處的OX軸n0 1 0 0T指向無窮遠處的OY

17、軸 n0 0 1 0T指向無窮遠處的OZ軸 這樣，利用齊次坐標(biāo)不僅可以規(guī)定點的位置，還可以用來規(guī)定矢量的方向。第四個元素非零時，代表點的位置；第四個元素為零時，代表方向。平面的齊次坐標(biāo)n平面齊次坐標(biāo)由行矩陣P=a b c d 來表示n當(dāng)點v=x y z wT處于平面P內(nèi)時，矩陣乘積PV=O，或記為 0dwczbyaxwzyxdcbaPV如果定義一個常數(shù)如果定義一個常數(shù)m= ，則有：，則有： 222cbamdmcwzmbwymawx)()(kmcjmbimakwzjwyiwx= =可以把矢量可以把矢量 解釋為某個平面的外法線，解釋為某個平面的外法線，此平面沿著法線方向與坐標(biāo)原點的距離為。此平面沿

18、著法線方向與坐標(biāo)原點的距離為。 )(kmcjmbimamd因此一個平行于因此一個平行于x、y軸，且在軸，且在z軸上的坐標(biāo)為單位距離的軸上的坐標(biāo)為單位距離的平面平面P可以表示為：可以表示為： 或或 有：有： PV= 1100P2200Pv0 v0v0 點在平面下方點在平面上點在平面上方例如：點例如：點 V=10 20 1 1T 必定處于此平面內(nèi)，而點必定處于此平面內(nèi)，而點 V=0 0 2 1T處于處于P平面的上方點平面的上方點V=0 0 0 1T處于處于P平面下方。因為：平面下方。因為： 01120101010000 1120011000-110001-100與點矢與點矢 相仿，平面相仿，平面

19、也沒有意義也沒有意義 T00000000齊次變換 其中，41的列矢量表示三維空間的點，稱為點的齊次坐標(biāo)， 齊次變換矩陣是44的方陣 ,綜合地表示了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換。 T T反映了反映了O O 在在O O中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標(biāo)系原點中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標(biāo)系原點和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。該矩陣可以由該矩陣可以由4 4個子矩陣組成，寫成如下形式：個子矩陣組成，寫成如下形式：比例系數(shù)透視矩陣位置矢量旋轉(zhuǎn)矩陣11311333wfPRTzzzyyyxxxwww33R為姿態(tài)矩陣，表示動坐標(biāo)系為姿態(tài)矩陣，表示動坐標(biāo)系O O 在

20、固定參考在固定參考坐標(biāo)系坐標(biāo)系O O中的姿態(tài)，即表示中的姿態(tài)，即表示O O 各坐標(biāo)軸單各坐標(biāo)軸單位矢量在位矢量在O O各軸上的投影各軸上的投影 為位置矢量矩陣，代表動坐標(biāo)系為位置矢量矩陣，代表動坐標(biāo)系O O 坐標(biāo)坐標(biāo)原點在固定參考坐標(biāo)系原點在固定參考坐標(biāo)系O O中的位置中的位置 TzyxpppP13為透視變換矩陣，在視覺中進行圖像計算，為透視變換矩陣，在視覺中進行圖像計算，一般置為一般置為0 0 000f31為比例系數(shù)為比例系數(shù) 1 11w平移齊次坐標(biāo)變換 空間某點由矢量ai+bj+ck描述。其中，i,j,k為軸x,y,z上的單位矢量。此點可用平移齊次變換表示為 例23 作為例子，讓我們考慮矢

21、量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移變換得到的新的點矢量原坐標(biāo)系中的表示平移后形成的新坐標(biāo)系新坐標(biāo)系中的表示相對變換 舉例說明：舉例說明：例例1：動坐標(biāo)系：動坐標(biāo)系0起始位置與固定參考坐標(biāo)系起始位置與固定參考坐標(biāo)系0重合重合,動坐標(biāo)動坐標(biāo)系系0做如下運動：做如下運動：R(Z,90) R（y,90） Trans(4，-3, 7)，求合成矩陣，求合成矩陣 解解1：用畫圖的方法：用畫圖的方法： ozyx74-3owuvvuwzyxoo(o)xyzuvwzyxuwo(o) v解解2：用計算的方法：用計算的方法 1000701030014100)R(Z,90 )90R(y,7) , 3 ,Tra

22、ns(4T 以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準，因此矩陣左乘。以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準，因此矩陣左乘。如果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果：如果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果： 例例2：先平移：先平移Trans (4,-3,7)；繞當(dāng)前；繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動90； 繞當(dāng)前繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動90；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣。；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣。 vw （2-202-20）解解1：用畫圖的方法：用畫圖的方法 zyxo(o)vwuzyxoowuvozyxowvuxyzoowuv解解2：用計算的方法：用計算的方法 1000701030014100)R(Z,90 )90R(y,7) , 3 ,Tra

23、ns(4Too（2-212-21）式（式（2-202-20）和式（）和式（2-212-21）無論在形式上，還是在結(jié)果上都是）無論在形式上，還是在結(jié)果上都是一致的。因此我們有如下的結(jié)論：一致的。因此我們有如下的結(jié)論：動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊次變換有動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊次變換有2 2種情況：種情況：定義定義1 1：如果所有的變換都是相對于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋：如果所有的變換都是相對于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對變換絕對變換。定義定義2 2：如果動坐標(biāo)系相對于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或：如果動坐標(biāo)系相對于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，

24、則齊次變換為依次右乘，稱為平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換相對變換。 結(jié)果均為為動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿（位置結(jié)果均為為動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿（位置+ +姿態(tài)）。姿態(tài)）。相對于固定坐標(biāo)系，相對于固定坐標(biāo)系，軸。軸相當(dāng)于軸，軸相對于軸，軸相當(dāng)于ZYXwv 也就是說，動坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換，也就是說，動坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換，要達到繞固要達到繞固定坐標(biāo)系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。定坐標(biāo)系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。 旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換 合成齊次變換除繞OXYZ參考系的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動外，OUVW坐標(biāo)系也可以繞它自己的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動。這時，合成旋轉(zhuǎn)矩陣可按下述簡單規(guī)則求得：

25、1. 兩坐標(biāo)系最初重合，因此旋轉(zhuǎn)矩陣是一個44單位矩陣I4。2如果OUVW坐標(biāo)系繞（或沿）OXYZ坐標(biāo)系的一坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動（或平移），則左乘相應(yīng)的齊次變換矩陣-絕對變換絕對變換。3如果OUVW坐標(biāo)系繞（或沿）自己的一坐標(biāo)鈾轉(zhuǎn)動（或平移），則可右乘相應(yīng)的齊次變換矩陣相對變換相對變換齊次變換矩陣T 的意義：n機器人用到相對變換的時候比較多n例如機械手抓一個杯子，如右圖所示，手爪需要轉(zhuǎn)動一個角度才抓的牢，相對于固定坐標(biāo)系表達太麻煩，可以直接根據(jù)手爪的坐標(biāo)系表示n但也要知道在O中的位姿，就用右乘的概念。 xyzoH齊次變換矩陣的幾何意義 的姿態(tài)轉(zhuǎn)矩陣部分確定了的坐標(biāo)原點，旋置矢量部分確定了參考坐標(biāo)系的位姿

26、，位坐標(biāo)系對連的可以用來描述與剛體固剛體位姿的描述。BBABTAB ) 1 PPAPPBTAB的坐標(biāo)中的同一個空間點成坐標(biāo)系變換點的坐標(biāo)中的。它使坐標(biāo)系可以作為坐標(biāo)變換矩陣AB)2 1AB1AB221AB1111AB221ABAB,)3pTpTppPTABppABBPBpTpppTTABAAABAAAA，于是有點隨剛體到達了表示的運動，此時個用發(fā)生一相對于令剛體重合，所以與坐標(biāo)系坐標(biāo)系，且開始時和一個固連的坐標(biāo)系上有一點這實際上相當(dāng)于剛體，即產(chǎn)生新矢量作用于矢量可以作為算子。齊次變換矩陣的逆陣TABABBABABAABRRRRTT1AB110P0而 00000000010BATABBAABBA

27、BAABABBABABABBABABABAPRPRPRPPPRPBPBPPRP系中的描述在系坐標(biāo)原點由上式，求取1000pa-aaapo-ooopn-nnzyxzyxzy1xABBAnTT齊次變換矩陣的逆陣1000paonpaopaozzzzyyyyxxxnnTxAB齊次變換矩陣舉例例：動坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)30度，并分別沿x,y的正向平移3個和4個單位，求齊次變換矩陣及其逆陣。10000100304303S03030S- 30S4303-030S301000pa-aaapo-ooopn-nn10000100403030S 3030S-3010000100003030S 0030S-3

28、01000010040103001zyxzyxzy44CCCCnTCCICCTxBAXAB通用齊次變換 動坐標(biāo)系繞過P=PX,PY,PZ點而分量為kx,ky,kz的任意單位矢量單位矢量k轉(zhuǎn)動角時的變換矩陣 研究這種轉(zhuǎn)動的好處是，對于某種角運動，可以用動坐標(biāo)系繞某軸k的一次運動代替繞參考坐標(biāo)系（固定坐標(biāo)系）或(和)動坐標(biāo)系坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的數(shù)次運動動。 1000paonpaopao(,zzzzyyyyxxxnnTAkkpkkzkxAKpp的齊次變換矩陣為：相對于參考坐標(biāo)系設(shè)坐標(biāo)系軸）點的過軸重合軸與它的假設(shè)一坐標(biāo)系 1000C)v()v()v(B)v()v()v(A)v()v()v(1000pa-

29、aaapo-ooopn-nn1000010000s00s-1000paonpaopao),(),(),(),(),(kakazyxzyxzyzzzzyyyyxxx1zzyyckkskkkskkkskkkckkskkkskkkskkkckknccnnkRTTZRTTkRTZRTTTkRTzkkAkkakZkzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxxxpAKAKpAKAKpxxp角是相同的，于是有：軸轉(zhuǎn)過一個自身當(dāng)前坐標(biāo)系繞角，與軸轉(zhuǎn)過一中的坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系軸重合，所以有：軸與的由于坐標(biāo)系通用齊次變換通用齊次變換 1 0000.04.8660.35400.3541.130.354.933

30、0.06701.13-.3540.0670.9330)30,( 3p2p1p00.70730,0 ,707. 0 ,707. 0303 , 2 , 1 p-)v()v()v()v()v()v()v()v()v(pC-1)v(zyxxxpABzyxABAATAzyzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxzykRTTkkkTkkpABppckkskkkskkkskkkckkskkkskkkskkkckkppCBA求，已知軸旋轉(zhuǎn)點的重合，將其繞過初始與參考系例：坐標(biāo)系通用齊次變換-例題),(111kRTT角的變換矩陣轉(zhuǎn)動），的矢量（例：試求繞過坐標(biāo)原點等效轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)軸R=Rot(f，)= 把上

31、式兩邊的對角線項分別相加，并化簡得 所以把式(247)中的非對角線項成對相減可得等效轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)軸對上式各行平方后相加得 所以把旋轉(zhuǎn)規(guī)定為繞矢量f的正向旋轉(zhuǎn)，使得o180。這時，式(250)中的符號取正號，轉(zhuǎn)角被惟一地確定為 而矢量f的各分量可由式(249)求得等效轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)軸-例題120323)()()a-o21sin21) 1(21COS01000110010000101-0001-010100)90,()90,(222yztgonnaaonRZRYRRxyzxzyxABAB（解：的等效轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角求復(fù)合旋轉(zhuǎn)矩陣：)90,()90,()120,(31313131sin231sin231sin2a-

32、oyzZRYRkRkjikonknakkxyzzxyx001-1-00010,RRABAB求等效轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角已知旋轉(zhuǎn)矩陣變換方程初步 基坐標(biāo)系目標(biāo)系工具系工作站系例題：n試求立方體中心在機座坐標(biāo)系0中的位置n該手爪從上方把物體抓起，同時手爪的開合方向與物體的Y軸同向，那么，求手爪相對于0的姿態(tài)是什么？ 在機器人工作臺上加裝一電視攝像機，攝像機可見到固聯(lián)在機器人工作臺上加裝一電視攝像機，攝像機可見到固聯(lián)著著6DOF關(guān)節(jié)機器人的機座坐標(biāo)系原點，它也可以見到被操作關(guān)節(jié)機器人的機座坐標(biāo)系原點，它也可以見到被操作物體（立方體）的中心，如果在物體中心建一局部坐標(biāo)系，則物體（立方體）的中心，如果在物體中心建一

33、局部坐標(biāo)系，則攝像機所見到的這個物體可由齊次變換矩陣攝像機所見到的這個物體可由齊次變換矩陣T1來表示，如果攝來表示，如果攝像機所見到的機座坐標(biāo)系為矩陣像機所見到的機座坐標(biāo)系為矩陣T2表示。表示。1000101-002001-010-001T100091-00100011010T21xyz解1：xyzz機y機z物y物x物oO機O物TT21物機機攝物攝求，已知TTTTT11 -2）（有：物攝攝機物機TTT100091-001000110101000101-002001-0100011000110010001-11010O物根據(jù)T1畫出O機根據(jù)T2畫出因此物體位于機座坐標(biāo)系的（因此物體位于機座坐標(biāo)系

34、的（11，10，1）T處，它的處，它的X，Y，Z軸分別與機座坐標(biāo)系的軸分別與機座坐標(biāo)系的-Y，X，Z軸平行。軸平行。 解2：xyzz機y機z物y物x物oO機O物手爪機實際要求Tpaonpaonpaonzzzzyyyyxxxx1000向重合手爪開合方向與物體ya:To001有方向相反方向物體的從上向下抓，指出手爪zab:Ta 100則有Tkjikjiasnc01000100001:1-00001010因此：姿態(tài)矩陣為重合時與物體中心當(dāng)手爪中心100011-001000111010T物機繞固定軸x-y-z旋轉(zhuǎn) z-y-x歐拉角 Z-Y-Z歐拉角 知識點： n點和面的齊次坐標(biāo)和齊次變換n三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣n絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對變換。n相對變換：如果動坐標(biāo)系相對于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。n繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換通式及等效轉(zhuǎn)角、等效轉(zhuǎn)軸習(xí)題習(xí)題1 1：O O 與與O O初始重合，初始重合，O O 作如下運動：繞作如下運動：繞Z Z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動3030 ；繞繞X X軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動6060 ；繞