談新課程理念下的《立體幾何》教學

1、談新課程理念下的立體幾何教學北京市順義牛欄山第一中學 孫楓新課程中的立體幾何部分，從設計到理念與大綱教材有較大的變化，針對這些變化，下面我就這些變化作一個分析。一、立體幾何內(nèi)容變化 新課程中，立體幾何知識分為兩部分：一部分是必修2中的“立體幾何初步”；另一部分是選修21中的“空間向量與立體幾何”。這部分內(nèi)容有以下的一些變化：1增加了平行投影、中心投影，三視圖 增加這部分內(nèi)容的主要目的是更進一步地認識空間圖形，通過三視圖及空間幾何體與其三視圖的互相轉(zhuǎn)化，對空間圖形有比較完整的認識，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力，幾何直觀能力，更全面地把握空間幾何體。2對于“點、線、面之間的位置關系”，課標強調(diào)重點

2、應放在定性研究平行與垂直上，有關空間角、距離的計算在必修中不作要求，而“異面直線所成的角”、“ 直線與平面所成的角”、“三垂線定理及其逆定理”、“二面角及其平面角”等內(nèi)容被安排在選修2-1“空間向量與立體幾何”中，僅是理工科學生學習。3線、面平行、垂直的判定定理只要求直觀感知、操作確認，不作證明，嚴格的證明被移到“空間向量與立體幾何”部分，體現(xiàn)了分步到位，螺旋上升的設計理念。4新增內(nèi)容“多面體與歐拉公式” ，被安排在選修系列3-5歐拉公式與閉曲面分類。二、立體幾何內(nèi)容、結(jié)構特點的變化大綱教材中的立體幾何對能力的要求除了運算能力外，教材強調(diào)公理化體系，注重邏輯推理，重點要發(fā)展學生的空間想像能力，

3、邏輯推理能力。而新課程中，首先安排對空間幾何體的整體認識，要求發(fā)展學生的空間想像能力。在空間點、直線、平面之間的位置關系的研究中，是以“長方體等幾何體”為模型進行說理或簡單的論證。在選修2-1的“空間向量與立體幾何”部分，則是以邏輯推理與向量運算相結(jié)合的方式完善了空間幾何推理論證，并對空間幾何中的一些問題從向量角度予以證明。 由此看出，課程標準理念下的立體幾何教學內(nèi)容有這樣的一些特點 ：1立體幾何的內(nèi)容安排，遵循從整體到局部、具體到抽象的原則與以往立體幾何的內(nèi)容體系相比，本模塊立體幾何的內(nèi)容體系在結(jié)構上有重大改革。 以往立體幾何內(nèi)容，常從研究構成空間幾何體的基本要素：點、直線和平面開始，講述平

4、面及其基本性質(zhì)，點、直線、平面之間位置關系和有關公理、定理，再研究由它們組成的幾何體包括棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺、球的結(jié)構特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則. 這種安排有它的道理，它嚴格按公理化的體系，按知識的進程來安排內(nèi)容.邏輯關系非常嚴謹，老師教起來也感覺數(shù)學的味道很濃.但這種安排沒有考慮學生的認知規(guī)律、學生的思維方式，這也是學生學立體幾何感覺困難吃力的原因之一. 而新課程下的立體幾何，依據(jù)新的課程標準的要求，按照從整體到局部、具體到抽象的原則，這樣的安排先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。這種安排更多地是從關注學生的角度出發(fā)，在章節(jié)內(nèi)

5、容的安排上，在具體內(nèi)容的學習要求上都有所體現(xiàn)。而這樣安排有它實際的意義，因為我們生活在一個三維的世界中，對于一個物體，首先感受到的是它的輪廓，之后才會對它的側(cè)面、邊角感興趣。而這種先由整體上認識空間幾何體的安排，更符合人的認識規(guī)律，更有助于發(fā)展學生的空間觀念、培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力，符合學生的認知規(guī)律，提高學生學習立體幾何的興趣. 為了提高學生學習的興趣，增強幾何的直觀性，有的教師讓學生觀察大量的空間幾何圖形的模型的同時，還讓學生動手制作一些基本的空間幾何體的模型，讓學生感受這些幾何體的結(jié)構特征，這對于空間幾何體的認識和空間感的培養(yǎng)還是非常有幫助的. 2強調(diào)幾何直觀，滲透公理化思

6、想，引進合情推理，進行適當?shù)膸缀瓮评?高中立體幾何課程歷來以培養(yǎng)邏輯思維能力為主要目標的，而新課標更加強調(diào)空間想象能力的培養(yǎng)，強調(diào)空間觀念的建立，并且通過強調(diào)幾何直觀來落實空間想象能力的培養(yǎng).在課程標準中強調(diào)：“借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、線、面位置關系的定義”，“通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質(zhì)與判定”,并總結(jié)歸納一系列的判定定理和性質(zhì)定理。在新課標中要求學生在獲得數(shù)學結(jié)論、空間觀念形成的過程中，應當“經(jīng)歷合情推理-演繹推理的過程”，從而將合情推理引入課程。在大量的實際背景，直觀操作和感受的基礎上，

7、引導學生歸納、概括出若干定理，讓學生感受公理化思想（而不是進行嚴格的公理化的訓練）、了解證明的意義。使學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動，經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認識直線與平面、平面與平面的位置關系，在推理過程中滲透公理化思想，養(yǎng)成言必有據(jù)的理性思維精神，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力。 從以往的教學實踐來看，高中學生普遍對立體幾何的入手感到困難，其主要原因有：學生的實際感知及所具有的數(shù)學能力一時難以適應這種由平面到空間的突變；在教學中缺乏直觀的空間模型和實驗操作，以至于學生不能通過觀察、分析和動手操作中悟出數(shù)學問題的實質(zhì)。針對學生抽象思維能力比較薄弱、對具體素

8、材的依賴性強，具體與抽象割裂的不足，在教材中，有的放矢地設計立體空間模型的實驗，通過實驗，讓學生直觀感受到數(shù)學問題的結(jié)論，并通過分析、論證、說理，充分調(diào)動學生的感覺器官，從而從不同的感覺渠道促進學生空間概念的建立.如“直線與平面平行的判斷定理”，在傳統(tǒng)教材的證明非常經(jīng)典，在證明的過程中也滲透了許多的數(shù)學思想。而在新課程中，該定理是通過直觀感知，操作確認而獲得的，雖然沒有經(jīng)歷傳統(tǒng)證法中的思維訓練，但讓學生經(jīng)歷了實驗、探究、合作交流的過程，并直觀感知判斷線面垂直的必備條件，這對于學生認識空間位置關系、提升空間想象能力都是非常有益的。3從整套教材來看，立體幾何教學、學習的要求不是一步到位，而是分階段

9、、分層次、多角度的。與傳統(tǒng)立體幾何的教學內(nèi)容相比，課標標準在“立體幾何初步”刪掉了許多定理，剩下的又有一半不做證明要求，那么是不是課標標準對立體幾何證明的要求降低了呢？ 毫無疑問，這種看法是片面的，只要我們認真學習新的課標標準，從整體的教學內(nèi)容安排來看這個問題，就不難發(fā)現(xiàn)：幾何教學、學習的要求不是一步到位，而是分階段，分層次，多角度.（1）新課程中立體幾何的學習是分三個階段進行的：必修課程: 數(shù)學2立體幾何初步選修課程：系列2空間向量與立體幾何選修系列3，4：系列3-1數(shù)學史選講中的部分專題以及系列3-3，球面上的幾何；系列3-5，歐拉公式與閉曲面分類；系列3-6，三等分角與數(shù)域擴充；系列4-

10、1，幾何證明選講等；因此我們不能說：新的課程標準降低了幾何證明的要求.從上面三個階段來看，要求是一步一步提高的，這樣的安排更符合學生的實際認知水平.能滿足不同層次學生的學習幾何的需要。（2）立體幾何的學習也是分層次、多角度的：第一層次：對幾何體的認識，依賴于學生的直觀感受，不做任何推理的要求. 第二層次：以長方體為載體（包括其它的實物模型、身邊的實際例子）對圖形（模型）進行觀察、實驗和說理.引入合情推理. 第三層次：嚴格的推理證明.如線面平行、垂直的性質(zhì)定理的證明 第四層次：空間向量與立體幾何，用代數(shù)的方法研究幾何問題 在選修系列2部分（空間向量與立體幾何）引入向量與坐標，用它們處理線與線、線

11、與面、面與面的交角以及點到線、點到面的距離，從而使幾何問題代數(shù)化，這不僅使幾何問題的處理有了多種方法，而且對立體幾何問題的認識也有了多視角，這無疑會幫助學生更好地認識客觀世界中的幾何問題。三、立體幾何內(nèi)容變化的分析從幾何的發(fā)展，以及幾何的研究方法和教材的變化整體看，隨著幾何知識復雜程度的提高，用代數(shù)方法研究幾何問題是幾何研究發(fā)展的大趨勢，而且研究幾何使用的代數(shù)工具也是不斷提升。另外，從推理角度來說，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學自身發(fā)展的過程來看，即使演繹推理也并非“幾何”所獨有，它廣泛存在于數(shù)學的各個分支中。 四、立體幾何有關內(nèi)容的教學建議1.關于空間幾何體的結(jié)構引導學生重點觀察柱、

12、錐、臺、球的特點，并根據(jù)各自的經(jīng)驗、結(jié)合身邊的模型討論各個幾何體的特點，可以通過學生自制模型來提高認識，并在比較中形成對柱、錐、臺、球結(jié)構特征的直觀認識。 2.關于投影、三視圖對于這些內(nèi)容，教師在講授前要充分了解初中教材中的所涉及到的知識點的范疇、與高中教學要求的異同，也好做到有的放矢。2.1 平行投影、中心投影初中人教版教材涉及的主要內(nèi)容有：投影、投影線、投影面、中心投影、平行投影、正投影、線段的投影、平面的投影、正方體的投影，教學要求均為了解。2.2 三視圖2.2.1 教學內(nèi)容與教學要求三視圖的主視圖、左視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖，它們都是平

13、面圖形。三視圖的教學內(nèi)容與初中相比基本一致，不同的是，初中涉及的幾何體都比較簡單，具體的教學要求不盡相同，初中的教學要求是：由幾何體畫三視圖（三等原則）；由三視圖說出立體圖形的名稱、描述物體的形狀；由三視圖求物體的表面積。高中的三視圖的教學要求是：簡單幾何體的三視圖（圖形比初中的復雜）；增加了斜二測畫法（空間幾何體的直觀圖）；空間幾何體的表面積與體積。2.2.2 三視圖的教學建議： 對于畫三視圖和直觀圖的幾何體，只要求前一節(jié)介紹的柱、錐、臺、球及它們的一些簡單組合，不必研究較復雜的幾何體，尤其由三視圖和直觀圖畫實際的立體圖形要求不宜過高。三視圖的教學中注意要求的層次性，注意虛線的使用。三視圖還

14、原幾何體不惟一的情況不要涉及。教師在這部分教學中應該意識到：實物與相應的平面圖形、幾何體與其三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化關系，不僅是一個思考過程，也是一個實際操作過程。在教學中，要使學生能根據(jù)條件作出立體模型、根據(jù)三視圖經(jīng)過頭腦的加工和組合，并在此基礎上通過實際嘗試和動手操作來實現(xiàn)。總之，本節(jié)教學的主要目標，不是僅僅會畫空間幾何體.而是通過作圖：從實物模型到三視圖再到直觀圖這樣一個過程，來認識空間幾何體，培養(yǎng)空間想象能力，這是我們教學的重心，也是學習后續(xù)內(nèi)容的基礎。3.關于邏輯推理與證明立體幾何中涉及的邏輯推理與證明，主要集中在必修2中的第二章“直線和平面位置關系”中關于線、面的平行與垂直問題的處理，

15、這部分具體的教學要求是，對線面平行、線面垂直的判定不作證明，只要求操作確認，對線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理要求證明，但教材的理念十分清晰，就是分步到位，因此立體幾何教學不應忽視推理與證明。那么在具體教學中如何把握“直觀感知”、操作確認”，下面以直線與平面垂直的判定為例作簡要說明。【教學目標】1通過觀察圖片和折紙試驗，使學生理解直線與平面垂直的定義，歸納和確認直線與平面垂直的判定定理，并能簡單應用定義和判定定理；2通過對判定定理的探究和運用，初步培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和抽象概括能力；3通過對探索過程的引導，努力提高學生學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)學生主動探究的習慣 【教學過程】1. 實例引入、理解直線與平面垂直的概念2. 通過試驗，探究定理 設計問題串，引導學生直觀感知判斷線面垂直的條件問題1：折痕AD與桌面一定垂直嗎？問題2：如何翻折才能使折痕與桌面垂直？追問：為什么折痕與桌面是垂直的？（引導學生進行合理的解釋）問題3：如果一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，能判斷此直