第9章 不確定性設(shè)計(jì)技術(shù)

1、第九章 不確定性設(shè)計(jì)技術(shù)9.1概述現(xiàn)實(shí)生活中的產(chǎn)品從設(shè)計(jì)、生產(chǎn)到報(bào)廢的整個(gè)壽命周期中都充滿了不確定性，例如在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，由于設(shè)計(jì)知識(shí)的缺乏或者對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象的不完全認(rèn)知性，從而產(chǎn)生了基于模型的預(yù)估結(jié)果與真實(shí)結(jié)果的不一致性，而在對(duì)設(shè)計(jì)產(chǎn)品的決策過(guò)程中也存在一定的模糊性，這就構(gòu)成了工程產(chǎn)品設(shè)計(jì)問(wèn)題的不確定性。這些不確定性因素對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量均有著不同程度的影響。一些大型的復(fù)雜系統(tǒng)，如飛行器、汽車和核電設(shè)備，如果對(duì)于其中的不確定性因素估計(jì)不足，則可能導(dǎo)致出現(xiàn)災(zāi)難性事故，造成重大損失。所以，不確定性因素必須在設(shè)計(jì)階段就子以重視和考慮。不確定性設(shè)計(jì)是設(shè)計(jì)理論發(fā)展的一個(gè)重要方向。由于傳統(tǒng)的確定性設(shè)計(jì)方法無(wú)法定量

2、計(jì)入不確定性因素的影響，因此所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品要么由于對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性過(guò)于敏感而不能穩(wěn)定地發(fā)揮其效能，要么由于采取過(guò)于保守的措施而不經(jīng)濟(jì)。傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)將系統(tǒng)中不確定性量假定為確定性量，本質(zhì)上是用該變量的均值來(lái)表示。由于忽視了系統(tǒng)本身固有的不確定性因素，這種設(shè)計(jì)優(yōu)化所追求的最優(yōu)解只具有相對(duì)或數(shù)學(xué)上的意義，或僅在非常狹小的范圍內(nèi)存在，而對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是不存在真正意義上的最優(yōu)解。這首先是因?yàn)樵u(píng)定方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)具有模糊性和主觀性，以及隨時(shí)間和條件而變的隨機(jī)性，其次是由于作為尋優(yōu)基礎(chǔ)的各種信息和模型具有不確定性。傳統(tǒng)的確定性設(shè)計(jì)方法中未能引入對(duì)于不確定性因素的影響，為了克服確定性設(shè)計(jì)的不足，自上世紀(jì)下半

3、葉以來(lái)各種不確定性分析與設(shè)計(jì)理論和方法得到了迅速發(fā)展，并在工程中取得了顯著成效。飛行器設(shè)計(jì)中存在大量的不確定因素，主要來(lái)源于結(jié)構(gòu)、參數(shù)和學(xué)科模型定義時(shí)的不明確，針對(duì)模型或方法簡(jiǎn)化后所定義的假設(shè)條件，仿真過(guò)程固有的隨機(jī)性和仿真誤差等。這些不確定性對(duì)設(shè)計(jì)目標(biāo)和約束均產(chǎn)生一定的影響。圖9.1給出了不確定性對(duì)最優(yōu)設(shè)計(jì)目標(biāo)的影響。圖9.1 不確定優(yōu)化設(shè)計(jì)和確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)比較可以看出，不確定性設(shè)計(jì)追求的是一個(gè)穩(wěn)健的綜合設(shè)計(jì)目標(biāo)。相對(duì)于確定性設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，不確定性設(shè)計(jì)具有如下潛在優(yōu)勢(shì)：1）分析工具的可信度將增加不確定性設(shè)計(jì)方法是否具有使分析工具更加科學(xué)，這一點(diǎn)尚有爭(zhēng)議。要達(dá)到這一目的，需要一套較為全面的用于評(píng)價(jià)

4、不確定性的策略。現(xiàn)在大多數(shù)計(jì)算學(xué)科的重點(diǎn)在于描述并處理發(fā)散和收斂偏差，以及通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)修正計(jì)算程序。這種狹窄的研究視野必須被拓寬，從而能提供對(duì)不確定性的完整描述，亦可增加分析與工程管理人員的信心。2）設(shè)計(jì)循環(huán)的周期、成本、以及風(fēng)險(xiǎn)都將減小減少設(shè)計(jì)周期的關(guān)鍵在于避免過(guò)度計(jì)算。在了解不同層次仿真程序的不確定性前提下，就可以采用能滿足工程不確定性設(shè)計(jì)要求的最快的分析程序進(jìn)行設(shè)計(jì)。換句話來(lái)說(shuō)，不確定性設(shè)計(jì)方法允許在計(jì)算成本與計(jì)算不確定性之間進(jìn)行定量的權(quán)衡。更進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，預(yù)先了解更多的關(guān)于分析工具的不確定性可以有效提高風(fēng)險(xiǎn)試驗(yàn)的利用效率。3）在保證可靠性需求的同時(shí)會(huì)使系統(tǒng)性能得到提高為確保安全性能，目

5、前的飛行器設(shè)計(jì)均采取了保守處理。基于不確定性的設(shè)計(jì)方法能夠在保證可靠性或者安全性能的同時(shí)使系統(tǒng)性能得到提高。工程上已經(jīng)證實(shí)了能夠在不犧牲安全性能要求的同時(shí)減輕結(jié)構(gòu)重量，反之，在重量相同的情況下可以提高系統(tǒng)性能。4）設(shè)計(jì)結(jié)果更為穩(wěn)健基于不確定性的優(yōu)化方法能得到更好的設(shè)計(jì)，它可以減小源于系統(tǒng)操作、生產(chǎn)條件變化以及設(shè)計(jì)工具自身的不確定性對(duì)產(chǎn)品的影響。5）可以從本質(zhì)上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估基于不確定性的設(shè)計(jì)方法能提供一套用于評(píng)價(jià)與分析系統(tǒng)及其子系統(tǒng)在異?；蚱茐那闆r下工作性能的系統(tǒng)分析工具。這一類方法能被用于確定和識(shí)別系統(tǒng)性能的失效與退化狀態(tài)。9.2不確定性設(shè)計(jì)理論9.2.1基本概念假設(shè)系統(tǒng)輸入為=，而系統(tǒng)輸出

6、為，n與m分別表示與的維數(shù)。系統(tǒng)模型用來(lái)描述輸出與輸入之間的關(guān)系。不確定性分析的任務(wù)就是找出系統(tǒng)輸出分布與輸入分布的關(guān)系。當(dāng)系統(tǒng)模型形式比較簡(jiǎn)單，且輸入變量服從某種簡(jiǎn)單的分布規(guī)律時(shí)，可以基于概率理論獲取輸出分布的近似結(jié)果。但是，在許多情況下，當(dāng)這種近似結(jié)果很難獲取的時(shí)候需要采用其他的方法。獲取不確定性輸入對(duì)系統(tǒng)輸出影響的方法通常被稱為不確定性傳播（Uncertainty Propagation）或不確定性分析（Uncertainty Analysis）方法。下面對(duì)不確定性的基本概念進(jìn)行介紹。定義9.1 不確定性（Uncertainty） 指物理系統(tǒng)或環(huán)境內(nèi)在的可變性、模型預(yù)估與真實(shí)結(jié)果的不一致

7、性和設(shè)計(jì)問(wèn)題描述及決策過(guò)程中存在的模糊性。定義9.2 不確定性建模（Uncertainty Modeling） 指采用不確定性數(shù)學(xué)方法和其他方法描述并量化不確定性的過(guò)程。定義9.3 不確定性分析（Uncertainty Analysis） 指已知設(shè)計(jì)不確定性類別及其建模方法，對(duì)系統(tǒng)輸出性能的不確定性進(jìn)行評(píng)估。定義9.4 設(shè)計(jì)穩(wěn)健性（Robust） 又稱魯棒性，指系統(tǒng)性能相對(duì)于設(shè)計(jì)不確定性具有穩(wěn)定性，即系統(tǒng)性能對(duì)設(shè)計(jì)不確定性不敏感。定義9.5 設(shè)計(jì)可靠性 指系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)約束的能力。定義9.6 設(shè)計(jì)可靠度 指系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)約束不確定性事件的測(cè)度。設(shè)計(jì)可靠度可用下式表示 （9.

8、1）式中，表示系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)約束不確定性事件，表示不確定性測(cè)度。依據(jù)系統(tǒng)不確定性事件的屬性和設(shè)計(jì)不確定性建模方法，不確定性測(cè)度可選擇概率測(cè)度、可信性測(cè)度、機(jī)會(huì)測(cè)度或類概念測(cè)度等。定義9.7 確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化 指在設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中，不考慮系統(tǒng)存在的各種不確定性，直接根據(jù)設(shè)計(jì)空間、約束條件和目標(biāo)性能進(jìn)行優(yōu)化。數(shù)學(xué)模型表述如下 （9.2）其中，和分別為設(shè)計(jì)變量和系統(tǒng)參數(shù)，和分別為設(shè)計(jì)變量的上下限，為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，為不等式約束，為等式約束。定義9.8 不確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化 指在設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中考慮系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量、系統(tǒng)參數(shù)、分析模型等不確定性因素的影響，以獲得可靠的、穩(wěn)健的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。定義9.9 穩(wěn)健設(shè)

9、計(jì)優(yōu)化（Robust Design） 穩(wěn)健設(shè)計(jì)通過(guò)減?。ǘ皇呛雎裕┰斐僧a(chǎn)品性能波動(dòng)因素的影響來(lái)改進(jìn)產(chǎn)品性能，從而達(dá)到提高產(chǎn)品質(zhì)量、保持性能穩(wěn)定、降低制造成本的目的。穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題要求性能目標(biāo)函數(shù)的方差或偏差最小，即通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)變量，減少由于其擾動(dòng)引起的性能變化，并滿足設(shè)定的約束條件，穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型表述如下 （9.3）其中，為設(shè)計(jì)變量向量，為的變化容差，為系統(tǒng)參數(shù)，也可能具有不確定性。和分別為目標(biāo)函數(shù)在不確定性設(shè)計(jì)變量和系統(tǒng)參數(shù)影響下的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。為優(yōu)化目標(biāo)的加權(quán)因子，可根據(jù)應(yīng)用需要進(jìn)行調(diào)整。和分別為和的比例因子，用于對(duì)和的大小進(jìn)行調(diào)整，使兩個(gè)目標(biāo)的大小在一個(gè)量級(jí)上，從而使優(yōu)

10、化目標(biāo)能夠綜合體現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)的性能。由上式可以看出，通過(guò)將目標(biāo)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差加入優(yōu)化目標(biāo)，使系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)差盡量小，從而達(dá)到設(shè)計(jì)穩(wěn)健的目的。定義9.10 基于可靠性的設(shè)計(jì)優(yōu)化（Reliability Based Design） 主要對(duì)設(shè)計(jì)方案的滿足約束可靠度進(jìn)行考慮，要求在性能最優(yōu)點(diǎn)，在不確定性設(shè)計(jì)變量和系統(tǒng)參數(shù)的影響下，滿足約束的概率達(dá)到預(yù)定可靠度要求?；诳煽啃缘脑O(shè)計(jì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表述如下 （9.4）其中，和分別為滿足不等式約束和等式約束的可靠度要求，為大于0的一個(gè)小量，用于對(duì)等式約束的容差進(jìn)行限制。在不確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化中，如果需要得到同時(shí)滿足目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)健、約束條件可靠的最優(yōu)方案，則需要對(duì)穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)

11、化和基于可靠性的設(shè)計(jì)優(yōu)化進(jìn)行綜合，數(shù)學(xué)模型表述如下 （9.5）如果在設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中，除了目標(biāo)函數(shù)具有穩(wěn)健性要求外，還有其他表征系統(tǒng)性能的狀態(tài)變量具有穩(wěn)健性要求，記為，則可將這部分狀態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差也作為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，數(shù)學(xué)模型表述如下 （9.6）9.2.2不確定性設(shè)計(jì)方法分類考慮不確定性的設(shè)計(jì)技術(shù)主要分為兩類，即穩(wěn)健設(shè)計(jì)與可靠性設(shè)計(jì)。不確定性設(shè)計(jì)的兩個(gè)關(guān)鍵因素是不確定因素頻率（擾動(dòng)）和不確定因素造成的影響（性能影響）。若不確定性因素的小擾動(dòng)就可導(dǎo)致系統(tǒng)失效，則不存在可行的系統(tǒng)；作為替代，可以選擇一個(gè)性能對(duì)不確定性因素不太敏感的系統(tǒng)，即對(duì)每一個(gè)小擾動(dòng)具有穩(wěn)健性。另一方面，若設(shè)計(jì)人員期望系統(tǒng)性能在不確

12、定性因素的極限擾動(dòng)下仍不大可能失效，則應(yīng)采用可靠性設(shè)計(jì)方法。如圖9.2（a）所示。穩(wěn)健性的設(shè)計(jì)目標(biāo)是尋求一個(gè)對(duì)不確定性變量有小擾動(dòng)相對(duì)不敏感的設(shè)計(jì)，而可靠性設(shè)計(jì)則是尋求一個(gè)系統(tǒng)失效概率小于某一特定值的設(shè)計(jì)。穩(wěn)健性和可靠性都考慮不確定性因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響，只是穩(wěn)健設(shè)計(jì)側(cè)重于保證性能，而可靠性設(shè)計(jì)側(cè)重于系統(tǒng)失效的可能性。穩(wěn)健設(shè)計(jì)處理在概率密度函數(shù)均值附近的事件分布，可靠性設(shè)計(jì)則處理在概率密度函數(shù)尾部的事件分布，如圖9.2（b）所示。（a）不確定性設(shè)計(jì)問(wèn)題分類 （b）概率密度意義下的可靠性與穩(wěn)健性圖9.2 不確定設(shè)計(jì)分類說(shuō)明圖1）穩(wěn)健設(shè)計(jì)影響產(chǎn)品質(zhì)量的因素主要可分為兩類：一類是在設(shè)計(jì)中人們可以控制

13、的因素，如設(shè)計(jì)變量、變量的容差等；另一類是噪聲，是由生產(chǎn)條件、使用環(huán)境及時(shí)間等的變差而影響產(chǎn)品質(zhì)量的因素，其基本特點(diǎn)是具有不確定性(隨機(jī)性和模糊性)，是一些不可控因素。工程穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目的就是如何利用干擾因素與產(chǎn)品質(zhì)量間的非線性效應(yīng)，通過(guò)調(diào)整設(shè)計(jì)變量及控制其容差，使產(chǎn)品或系統(tǒng)的功能函數(shù)具有較好的穩(wěn)定性(不靈敏性)，即具有較強(qiáng)的抗各種噪聲的能力。穩(wěn)健設(shè)計(jì)（Robust Design）最早由日本學(xué)者Taguchi提出，其基本思想是在不消除或不減小不確定性源的前提下，通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的合理設(shè)計(jì)使不確定性因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響盡可能小。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值方法的普及和發(fā)展，Taguchi方法注入了許多新的內(nèi)

14、容。穩(wěn)健設(shè)計(jì)在20世紀(jì)80年代后逐步發(fā)展成為機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域中的重要分支?，F(xiàn)代穩(wěn)健設(shè)計(jì)思想是，在追求系統(tǒng)性能優(yōu)化的同時(shí)盡可能使性能偏差最小化，設(shè)計(jì)可行性、穩(wěn)健化。這其中既包括了優(yōu)化設(shè)計(jì)中的性能優(yōu)化，也包括了優(yōu)化設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)約束滿足的穩(wěn)健性問(wèn)題。目前穩(wěn)健設(shè)計(jì)的方法大致可分為兩類，一類是基于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，另一類是基于工程模型的方法。Taguchi方法是基于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的最早的一種方法，隨后響應(yīng)面法、雙曲響應(yīng)面法、廣義線性模型法先后出現(xiàn)，并用于穩(wěn)健設(shè)計(jì)。基于工程模型的方法本質(zhì)上將工程模型與優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，通過(guò)優(yōu)化計(jì)算實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量性能的控制?；诠こ棠Ｐ偷姆椒ㄓ腥莶疃嗝骟w法、容差模型法、隨機(jī)模型法及靈敏度法

15、，基于質(zhì)量成本模型的混合穩(wěn)健設(shè)計(jì)等。2）可靠性設(shè)計(jì)可靠性設(shè)計(jì)最早出現(xiàn)于機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域，由于其工作條件比較惡劣，使用條件苛刻，應(yīng)力因素多種多樣，最終導(dǎo)致性能下降等功能性故障。隨著對(duì)產(chǎn)品可靠性要求的提高，可靠性設(shè)計(jì)逐漸得到了工程技術(shù)人員的重視?？煽啃栽O(shè)計(jì)是在原理設(shè)計(jì)方案基本確定的情況下，綜合考慮設(shè)計(jì)變量的不確定性等因素，使之滿足可靠性指標(biāo)的一種設(shè)計(jì)方法。產(chǎn)品可靠性設(shè)計(jì)的重要任務(wù)是從產(chǎn)品設(shè)計(jì)一開始，設(shè)法使系統(tǒng)在規(guī)定的使用條件下完成規(guī)定任務(wù)，目的是使設(shè)備或系統(tǒng)在設(shè)計(jì)上達(dá)到要求的性能、可靠性和費(fèi)用之間綜合平衡。目前可靠性設(shè)計(jì)方法較多，較典型的三種方法有：傳統(tǒng)的雙循環(huán)方法（Traditional Appro

16、ximation Method，TAM），單循環(huán)單變量方法（Single Loop Single Variable Method，SLSV），次序優(yōu)化與可靠性評(píng)估方法（Sequential Optimization And Reliability Assessment，SORA）。其中SORA方法將可靠性分析與確定性優(yōu)化分開次序進(jìn)行，實(shí)踐表明它是一種較為有效的可靠性設(shè)計(jì)方法?？煽啃栽O(shè)計(jì)中有一個(gè)較為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是可靠性分析（概率分析），即計(jì)算某一設(shè)計(jì)點(diǎn)的可靠性，或是MPP（most probable point）的搜尋。這一過(guò)程本身即為一個(gè)復(fù)雜的優(yōu)化過(guò)程，除可以采用傳統(tǒng)的非線性規(guī)劃方法求解該問(wèn)題外

17、，研究人員還提出了其它的一些方法如AMV (advanced mean value)、CMV (conjugate mean value)、HMV (hybrid mean value)、DD (diagonal direction)方法等。9.3不確定性分析和優(yōu)化方法不確定性分析是不確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化的重要環(huán)節(jié)，用于獲得在設(shè)計(jì)變量和系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響下，系統(tǒng)性能和約束的不確定性分布特性。9.3.1可行性的穩(wěn)健程度評(píng)估方法穩(wěn)健設(shè)計(jì)通過(guò)減小（而不是忽略）造成產(chǎn)品性能波動(dòng)因素的影響來(lái)改進(jìn)產(chǎn)品性能。穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的目標(biāo)可以描述為“優(yōu)化性能均值”與“減小系統(tǒng)性能波動(dòng)”（式9.3）。設(shè)計(jì)目標(biāo)穩(wěn)健性的描述方法

18、固然重要，但對(duì)于穩(wěn)健性設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，最重要的問(wèn)題是在不確定性環(huán)境下保持設(shè)計(jì)可行性，即穩(wěn)健的可行性。對(duì)于航空航天領(lǐng)域，我們首要關(guān)心的是設(shè)計(jì)具有穩(wěn)健的可行性，其次才關(guān)心提高設(shè)計(jì)目標(biāo)。例如，對(duì)于機(jī)翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，嚴(yán)格滿足強(qiáng)度約束的要求（受隨機(jī)參數(shù)控制）要遠(yuǎn)比達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)的穩(wěn)健性（如減小重量等等）重要。因此，在不確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化中，則需要對(duì)穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化和基于可靠性的設(shè)計(jì)優(yōu)化進(jìn)行綜合，既要保證設(shè)計(jì)目標(biāo)的穩(wěn)健性又要保證約束的穩(wěn)健性（式9.5）。為此，穩(wěn)健設(shè)計(jì)首要解決如何評(píng)估可行性穩(wěn)健程度的問(wèn)題。目前，有許多方法可以用來(lái)評(píng)估可行性的穩(wěn)健程度，如概率可行性分析、矩吻合方法、最差情況分析法、角空間評(píng)估方法、以及方差模

19、式法等，但各種方法的效率與準(zhǔn)確性難以預(yù)測(cè)，因此，工程中常常使用一些簡(jiǎn)單的方法，如一階泰勒展開式和最差情況分析方法?？尚行苑€(wěn)健程度的評(píng)估是一項(xiàng)非常復(fù)雜和耗費(fèi)時(shí)間的過(guò)程。在可接受的計(jì)算效率前提下，需要選擇高效的約束模型描述方法，從而保證評(píng)估準(zhǔn)確性。（1）基于概率與統(tǒng)計(jì)分析的方法1）概率分析法由式9.5可以看出，穩(wěn)健設(shè)計(jì)中的可行性即為滿足約束的概率大于或等于某個(gè)用戶定義的概率。以下是一般性的概率可行性表達(dá)式： （9.7）其中，為滿足不等式約束j的概率或可靠度要求。如果所有不確定性設(shè)計(jì)變量和系統(tǒng)參數(shù)的分布已知，則滿足約束的概率可通過(guò)下式計(jì)算 （9.8）其中，為設(shè)計(jì)變量與參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。由于和的

20、維數(shù)高，的區(qū)域難于準(zhǔn)確描述，上式很難獲取解析解或數(shù)值解。如果知道該函數(shù)的概率分布，則上式可變?yōu)?（9.9）實(shí)際應(yīng)用中，很難獲取，因此該方法的應(yīng)用范圍十分有限。對(duì)于一些典型的變量分布情況（例如正態(tài)與對(duì)數(shù)正態(tài)），將它們用于簡(jiǎn)單約束函數(shù)以及低維問(wèn)題時(shí)，一般能夠獲取最終的概率表示。2）概率分布矩匹配法為了減輕概率可靠性評(píng)估的計(jì)算負(fù)擔(dān)，工程中使用了大量簡(jiǎn)化方法。其中之一就是概率分布矩匹配法（The Moment Matching Formulation）。該方法用于對(duì)約束可靠度進(jìn)行近似估計(jì)，并對(duì)約束條件進(jìn)行可靠性等效處理。記約束的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，假設(shè)約束為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則約束的可靠度可近似計(jì)算如下，

21、（9.10）根據(jù)設(shè)計(jì)優(yōu)化的可靠度要求，可將約束條件等效如下： （9.11）其中，為滿足不等式約束j的概率或可靠度要求。例如，對(duì)于，則取；對(duì)于，則取。還有一些方法同樣可以用來(lái)估計(jì)與。一種簡(jiǎn)單的方法就是利用約束函數(shù)在與均值處的泰勒展開式獲取。如下所示： （9.12） （9.13）（2）非概率方法1） 最差情況分析法最差情況分析法（The Worst Case Analysis）是穩(wěn)健設(shè)計(jì)中用于可行性評(píng)估的另外一種簡(jiǎn)單方法。該方法假設(shè)所有不確定性設(shè)計(jì)變量和參數(shù)的不確定性擾動(dòng)最壞情況可能同時(shí)發(fā)生，并假設(shè)當(dāng)所有變量和參數(shù)為擾動(dòng)最壞組合情況下系統(tǒng)違反約束的可能性最大。約束的最大擾動(dòng)范圍可通過(guò)一階泰勒展開式

22、進(jìn)行計(jì)算。如果已知條件只給出不確定性變量的變化區(qū)間，則可通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算 （9.14）由構(gòu)造可以保持可行性，約束條件變?yōu)椋?（9.15）最差情況下分析所得的結(jié)果往往趨于保守。另外，在給定參數(shù)波動(dòng)區(qū)間時(shí)，使用泰勒展開式確定極值情況（如性能最大值與最小值）的結(jié)果并不準(zhǔn)確。盡管如此，由于最差情況分析方法的形式和求解簡(jiǎn)單，使其在不確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化中仍被大量采用。2） 角空間分析法角空間分析法（The Corner Space Evaluation）與最差情況分析法的思想類似，它不要求精確描述隨機(jī)變量的分布，由Sundaresan 等于1993年提出。兩種方法的區(qū)別在于，后者將設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)參數(shù)的方差轉(zhuǎn)換

23、到約束函數(shù)的途徑與前者不同。假設(shè)設(shè)計(jì)變量X的變化區(qū)間為X，不確定性參數(shù)P的變化區(qū)間為P。定義容差空間（Tolerance Space）為一組接近目標(biāo)設(shè)計(jì)點(diǎn)的點(diǎn)集合，而點(diǎn)集合的每一個(gè)點(diǎn)代表由于各設(shè)計(jì)變量的不確定性造成的一種可能性組合 （9.16）定義角空間（Corner Space）由容差空間的所有角點(diǎn)組成，表示如下 （9.17）為了保持設(shè)計(jì)可行性，X的值應(yīng)該在可行區(qū)域內(nèi)。這可以通過(guò)保持角空間始終在約束范圍內(nèi)來(lái)實(shí)現(xiàn)，如圖9.3所示。由此可將約束條件等效表述如下 （9.18）圖9.3 二維問(wèn)題的角空間分析法示意圖如果變量的分布已知，可以較精確地獲取容差X與P。例如，對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在置信度

24、99.87%情況下容差可以選擇為3。該方法不需要計(jì)算約束函數(shù)對(duì)各個(gè)不確定性設(shè)計(jì)變量和參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算簡(jiǎn)單，便于使用。但是，該方法沒(méi)有對(duì)實(shí)際約束滿足可靠度進(jìn)行計(jì)算，可能出現(xiàn)角空間均在約束可行范圍內(nèi)但實(shí)際可靠度不滿足要求的情況。3） 方差模式分析法圖 9.4 二維問(wèn)題方差模型分析法示意圖在角空間分析法的基礎(chǔ)上，方差模式分析法（The Variation Patterns Formulation）進(jìn)一步考慮隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，對(duì)變量的可能組合及其約束的影響進(jìn)行分析。該方法中， VP（）表示隨機(jī)變量置信度參數(shù)為時(shí)可能的變量組合，表示設(shè)計(jì)變量分布在方差模式（Variation Pattern，VP）

25、之外的概率。該模式的形狀由變量分布決定，模式尺寸由置信度參數(shù)決定。例如，對(duì)于具有相關(guān)性的兩變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布情況，其模式形狀為橢圓形，如圖9.4所示。根據(jù)方差模式空間VP（）的分布，對(duì)不確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化的不等式約束進(jìn)行等效處理，表述如下 （9.19）該方法比角空間法更能準(zhǔn)確描述不確定性變量的臨近變化空間，但是在使用該方法時(shí)，如果模式的形狀不規(guī)則，那么穩(wěn)健設(shè)計(jì)點(diǎn)的搜索將非常困難。（3）抽樣方法1） 基于仿真的抽樣方法基于仿真的抽樣方法主要指蒙特卡羅取樣（MCS）方法，該方法是最精確的不確定性分析方法，可獲取系統(tǒng)輸出的均值、方差、分布函數(shù)和密度函數(shù)等。在置信度為100（）條件下，隨機(jī)模擬抽樣誤差與抽樣

26、數(shù)和失效概率的近似關(guān)系為 （9.20）其中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。當(dāng)選取置信度為95時(shí)，上式近似為 （9.21）如果1，則?？梢姵闊煍?shù)目足夠大才能保證概率計(jì)算的準(zhǔn)確性。由于抽樣數(shù)目過(guò)多，極大地增加了計(jì)算復(fù)雜度，因此，以蒙特卡羅法為基礎(chǔ)，又進(jìn)一步發(fā)展形成了改進(jìn)的抽樣方法，包括重要性抽樣法（Importance Sampling），基于最大似然點(diǎn)MPP的重要性抽樣法等。2）基于最佳點(diǎn)（Most Possible Point，MPP）的重要性抽樣法可行性概率表述是描述穩(wěn)健可行性的一種很好方法，在設(shè)計(jì)人員能對(duì)參數(shù)方差加以描述時(shí)，它能夠保證結(jié)果以一定準(zhǔn)確度水平滿足約束?？梢圆捎蒙弦还?jié)提到的基于MAMV

27、方法的可靠性評(píng)估方法描述可行性概率。當(dāng)最佳點(diǎn)（MPP）確定以后，可采用FORM與SORM來(lái)直接評(píng)估設(shè)計(jì)可行性。由于FORM與SORM可能會(huì)引入一些由于近似帶來(lái)的誤差，我們推薦一種基于MPP的重點(diǎn)取樣方法，它能在適度增加計(jì)算負(fù)擔(dān)的情況下，以較高的準(zhǔn)確性得到穩(wěn)健可行性的評(píng)估結(jié)果?；谧罴腰c(diǎn)法（MPP）的重點(diǎn)取樣方法步驟如下：1) 在給定臨界狀態(tài)函數(shù)情況下，通過(guò)擴(kuò)展后的用于可靠性評(píng)估的MAMV方法獲取MPP。2) 通過(guò)重點(diǎn)取樣方法在MPP附近選取一些樣點(diǎn)進(jìn)行模擬取樣?；诿商?卡羅取樣（MCS）方程，最終的概率評(píng)估公式可以表述為： （9.21）上式中，N為模擬規(guī)模，為與的取樣點(diǎn)， （9.22）對(duì)于重

28、點(diǎn)取樣方法，引入重點(diǎn)取樣密度到式（9.21）中，可得： （9.23）一種估計(jì)式（9.23）所示積分的蒙特-卡羅算法是從中取出一系列樣點(diǎn)來(lái)評(píng)估概率，如下式： （9.24）重點(diǎn)取樣方法可以在U-空間中進(jìn)行，取樣密度與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布保持一致且其均值與MPP重合，如圖9.5所示?？梢钥闯觯蟾庞幸话氲臉狱c(diǎn)落在不可行區(qū)域內(nèi)，另一半則在可行區(qū)域內(nèi)?？梢酝ㄟ^(guò)這種方法顯著改善評(píng)估效率。對(duì)于同樣的置信度水平以及同樣的誤差，如果滿足約束的概率設(shè)定為0.99，一般MCS方法與基于MPP的重點(diǎn)取樣方法的計(jì)算量之比將為99：1，當(dāng)滿足約束概率設(shè)置為0.999時(shí)，兩者之比將增長(zhǎng)為999：1。圖9.5 重點(diǎn)取樣法在U-空間中

29、的取樣當(dāng)可行性概率的評(píng)估成為一個(gè)不斷重復(fù)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)過(guò)程的一部分時(shí)，在優(yōu)化過(guò)程中使用這種方法，會(huì)大大提高計(jì)算效率。當(dāng)安全性能指標(biāo)能近似反映滿足約束概率（越大，此概率越高），且MPP搜索中所獲得的與要求概率相距甚遠(yuǎn)時(shí)（例如要求概率為0.95，而），為了減小計(jì)算負(fù)擔(dān)，可以在不斷循環(huán)的優(yōu)化中使用作為近似概率。這種情況下，不需要進(jìn)一步的取樣工作。在取樣過(guò)程中，最好能通過(guò)預(yù)先設(shè)置的具有某一置信度水平的指定誤差來(lái)決定模擬次數(shù)。系統(tǒng)將不斷追蹤落入可行區(qū)域的取樣數(shù)目并且計(jì)算由于隨機(jī)性造成的模擬誤差。如果該誤差小于設(shè)計(jì)人員在一定置信度水平下確定的可接受誤差，則終止取樣過(guò)程，得到概率估計(jì)結(jié)果。（4）各種方法的比較如

30、果忽略計(jì)算負(fù)擔(dān)，使用解析微分方法或是蒙特卡羅抽樣方法的可行性概率評(píng)估方法是描述穩(wěn)健可行性最理想的方法，它能確保結(jié)果以一個(gè)較為準(zhǔn)確的水平滿足約束。但是，MCS方法來(lái)估計(jì)滿足約束的概率是非常消耗計(jì)算資源的。通過(guò)基于MPP的重要性取樣方法，取樣數(shù)目將得到明顯的減少。在犧牲一定準(zhǔn)確率的情況下，結(jié)合FORM與SORM的MAMV方法能夠進(jìn)一步提高效率。概率分布矩匹配法相對(duì)于可行性概率評(píng)估來(lái)說(shuō)具有更高的計(jì)算效率，如果設(shè)計(jì)過(guò)程需要考慮計(jì)算消耗的問(wèn)題，則可以考慮使用概率分布矩匹配法等方法。在系統(tǒng)性能為正態(tài)分布時(shí)，矩匹配方法較為準(zhǔn)確。另外應(yīng)該注意的是，對(duì)于同樣一個(gè)約束函數(shù)，使用不同的數(shù)學(xué)構(gòu)造形式時(shí)，由于一階泰勒展

31、開式的差異，可能會(huì)使矩匹配方法得到不一樣的結(jié)果。非概率方法能夠較好地適用于變量和參數(shù)分布無(wú)法得到的問(wèn)題。這種情況下最差情況分析方法是一個(gè)好的選擇。盡管該方法的評(píng)估趨于保守，但在某些可行的設(shè)計(jì)區(qū)域仍然有可能違背約束情況出現(xiàn)。為避免統(tǒng)計(jì)分析或是約束函數(shù)的偏微分計(jì)算，可以采用角空間分析方法或是方差模式分析法。這些方法的準(zhǔn)確性依賴于約束函數(shù)在容差空間對(duì)于所有設(shè)計(jì)變量的單調(diào)性，以及設(shè)計(jì)變量的容差是造成波動(dòng)的唯一來(lái)源。這兩種方法的局限性在于不能提供滿足約束的分布信息。9.3.2基于MPP和可靠性的不確定性分析方法（1）最佳點(diǎn)法（MPP）的概念MPP的概念源于上個(gè)世紀(jì)70年代的結(jié)構(gòu)分析。結(jié)構(gòu)可靠性中，系統(tǒng)輸

32、出通常為性能指標(biāo)、相關(guān)載荷以及應(yīng)力參數(shù)X的函數(shù)。Z=g（X）被稱為臨界狀態(tài)函數(shù)。失效界面或者是臨界區(qū)域可以被定義為g（X）=0。在隨機(jī)變量空間中，它位于失效與安全的邊界。g（X）>0，則結(jié)構(gòu)安全，g（X）<0，則結(jié)構(gòu)不能滿足設(shè)計(jì)函數(shù)的要求。圖9.10為二維問(wèn)題臨界狀態(tài)。一個(gè)臨界狀態(tài)可以為隨機(jī)變量X的直接或間接函數(shù)，并且可以有簡(jiǎn)單或者是復(fù)雜的形式。圖9.10 二維問(wèn)題的臨界狀態(tài)失效概率定義為積分： （9.25）式中，為的聯(lián)合概率密度函數(shù)。最終在失效區(qū)域進(jìn)行多重積分獲取失效概率?？煽慷萊由下式給出： （9.26）由于式（9.25）中的多重積分難以實(shí)現(xiàn)。因此通常采用MPP的概念來(lái)近似計(jì)算

33、此多重積分。在形式上MPP方法是由獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量組成的坐標(biāo)系統(tǒng)。將輸入隨機(jī)設(shè)計(jì)變量（X-空間）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間（U-空間）。最常用的轉(zhuǎn)換公式如下： （9.27）其中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。由式9.27可以看出，該轉(zhuǎn)換保證了CDF在X-空間與U-空間的同一性，如圖9.11所示。圖9.11 X-空間和U-空間的轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換后臨界狀態(tài)函數(shù)可以表示為： （9.28）定義為U-空間中從原點(diǎn)到失效界面的最短距離。因此式（9.28）是一個(gè)具有等式約束的最小化問(wèn)題： （9.29）圖9.12 MPP點(diǎn)在U-空間的聯(lián)合概率密度分布此最小化問(wèn)題的解即稱為最佳點(diǎn)MPP（Most Probable Po

34、int）。由圖9.12中可以看出，在MPP處聯(lián)合概率密度函數(shù)具有極大值，因此，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，MPP點(diǎn)最適合于獲取臨界狀態(tài)函數(shù)的值。最短距離通常被稱為可靠性分析中的安全指標(biāo)。MPP點(diǎn)成為了評(píng)估可靠性或者失效概率的關(guān)鍵點(diǎn)。如果臨界狀態(tài)函數(shù)是線性的，則對(duì)于臨界狀態(tài)的精確估計(jì)如下方程所示： （9.30）式（9.30）提供了安全指標(biāo)或最短距離與概率評(píng)估之間的一種簡(jiǎn)單關(guān)系。如果是非線性的，在臨界狀態(tài)曲面的曲率不太大的情況下，通過(guò)上式仍然能夠得到一個(gè)較好的近似結(jié)果。如果臨界狀態(tài)函數(shù)高度非線性，可采用概率的二階近似作為MPP的計(jì)算函數(shù)。通常采用的二階近似為拋物線或橢球函數(shù)，其中，基于橢球函數(shù)的近似最簡(jiǎn)單，

35、如下式所示： （9.31）式中，表示臨界狀態(tài)函數(shù)在MPP點(diǎn)的曲率。（2）R百分點(diǎn)和MPP 對(duì)于一組隨機(jī)向量。設(shè)為系統(tǒng)輸出模型，不確定性分析的描述為：給定：系統(tǒng)輸入的分布求出：系統(tǒng)輸出的分布如果僅關(guān)心“系統(tǒng)輸出超出臨界值z(mì)”這一事件的概率而不是其概率分布，不確定性分析可以如下表達(dá)：給定：系統(tǒng)輸入的分布尋求：系統(tǒng)輸出大于或等于某值z(mì)的概率：。稱為可靠性。為簡(jiǎn)單起見，我們使用臨界值0來(lái)代替z，則有。如果臨界值z(mì)不為零，則可以定義新的臨界狀態(tài)。首先，采用MPP概念解決可靠性問(wèn)題的逆問(wèn)題給定可靠度R情況下，確定臨界狀態(tài)的百分點(diǎn)。令系統(tǒng)性能g（X）大于或等于定值的概率為R，稱定值為g（X）的R百分點(diǎn)。如下

36、式： （9.32）.圖9.13描述了g的概率密度函數(shù)。當(dāng)陰影區(qū)域面積等于要求可靠度R時(shí)，則g軸上的左端點(diǎn)即為R百分點(diǎn)。R百分點(diǎn)表示在指定可靠度R水平下系統(tǒng)的性能。圖9.13 性能的概率密度函數(shù)當(dāng)采用MPP概念來(lái)評(píng)估的R百分點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵在于用給定的可靠度R確定MPP點(diǎn)的位置，從而基于不確定性的可靠性分析可描述為：給定：1) 可靠性R或可靠度指標(biāo)2) X的分布規(guī)律3) 臨界狀態(tài)函數(shù)Z=g（X）尋求：MPP點(diǎn)圖9.14 g(U)值最小對(duì)應(yīng)MPP點(diǎn)以上問(wèn)題的逆問(wèn)題可描述為：尋求U-空間中半徑為的超球面上的MPP點(diǎn)，使得函數(shù)g（U）的值最小，如圖9.14所示。數(shù)學(xué)上，該逆問(wèn)題可以表述成為一個(gè)極小化問(wèn)題：

37、(9.33) 確定MPP點(diǎn)以后，R百分點(diǎn)可以通過(guò)下式計(jì)算： （9.34）該式中，函數(shù)g在MPP點(diǎn)取值。（3）在球面中確定MPP點(diǎn)的方法1）采用傳統(tǒng)的優(yōu)化過(guò)程如式（9.33）所示，在滿足約束條件下，尋求MPP使目標(biāo)函數(shù)最小的優(yōu)化，可采用傳統(tǒng)的優(yōu)化過(guò)程，基于優(yōu)化算法獲得，如可行方向法（MFD）、序列線形規(guī)劃（SLP）、序列二次規(guī)劃法（SQP）等。但是在某些實(shí)例中，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化過(guò)程尋找MPP并不是十分有效。傳統(tǒng)優(yōu)化搜索過(guò)程中，新一輪的搜索起始點(diǎn)基于上一輪搜索點(diǎn)的擾動(dòng)獲得。而以下所提到的方法中，新一輪對(duì)MPP的搜索總是從U-空間的原點(diǎn)出發(fā)，而搜索方向則基于上一輪或上幾輪的結(jié)果。2）先進(jìn)均值方法（AM

38、V）采用以下迭代公式： （9.35）上式中，如下所示： （9.36）上式中，即為g（U）在處的梯度。對(duì)于凸性臨界狀態(tài)函數(shù)，該方法具有良好的性能，它能夠在經(jīng)過(guò)少數(shù)幾輪搜索之后就找到結(jié)果。但當(dāng)它用于凹性臨界狀態(tài)函數(shù)時(shí)，往往暴露出很多缺陷，如收斂較慢或難以收斂等。3）對(duì)角線方向法（DD）在AMV方法中，只有g(shù)（U）在處的梯度信息被用于尋找下一個(gè)。通過(guò)使用g（U）在處的梯度信息，以及向量自身，從而改進(jìn)了AMV方法。新的搜索方向?yàn)橛膳c構(gòu)成兩邊的平行四邊形的對(duì)角線方向。迭代算法由下式給出： （9.37）相對(duì)于AMV方法，DD方法更具穩(wěn)健性，也適用于凹性函數(shù)。但是DD方法對(duì)于高度非線性問(wèn)題仍存在收斂困難的問(wèn)

39、題。4）變化均值方法（CMV）為了克服AMV方法的缺陷，Choi和Youn（2001）提出了一種變化均值的方法（CMV）。通過(guò)采用前面三個(gè)MPP（，以及）的信息而不是現(xiàn)有MPP的相關(guān)信息（g（U）在的梯度）來(lái)產(chǎn)生新的搜索方向。新的搜索方向由，以及的不同權(quán)值組合產(chǎn)生，如下式所示： （9.38）上式中，定義與AMV方法中一樣。 該方法的優(yōu)點(diǎn)在于，對(duì)于凹性臨界狀態(tài)函數(shù)問(wèn)題，比AMV方法收斂速率高且穩(wěn)定性更好。但是CMV方法對(duì)于凸性函數(shù)來(lái)說(shuō)往往無(wú)效。由于原問(wèn)題（9.33）為一個(gè)極小化問(wèn)題，CMV方法并不使用極小值作為收斂準(zhǔn)則，因此該方法不能保證找到合適的MPP。它可能會(huì)終止于臨界狀態(tài)函數(shù)的極大點(diǎn)或是鞍

40、點(diǎn)。5）混合均值方法（HMV）為了有效、穩(wěn)健地尋求MPP，Choi和Youn（2001）結(jié)合AMV方法與CMV方法，提出了另一種混合均值方法。假如臨界狀態(tài)函數(shù)帶凸性，則使用AMV方法；否則，使用CMV方法。關(guān)于判斷目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)為凸性或凹性的方法如下： （9.39）上式中，定義與AMV方法中一樣，為第k+1步處時(shí)函數(shù)特性判定準(zhǔn)則，則為凸，采用AMV方法；反之為凹，采用CMV方法。6）改進(jìn)的先進(jìn)均值方法（MAMV）MAMV方法是在AMV方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，彌補(bǔ)了AMV方法的不足。包括使用最速下降方向作為搜索方向、最速下降方法搜索無(wú)結(jié)果時(shí)進(jìn)行相反方向的搜索、以及采用在數(shù)值微分計(jì)算時(shí)取用合適的步

41、長(zhǎng)等。l 效率：經(jīng)過(guò)少量的迭代次數(shù)即能找到MPP；l 穩(wěn)健性：對(duì)于非常規(guī)臨界狀態(tài)函數(shù)也能找到MPP。a. MPP條件如式（9.35）所示，MPP是在最初的AMV方法中通過(guò)Kuhn-Tucker條件獲取的，為-球面與U-空間中臨界狀態(tài)界面的切點(diǎn)。該點(diǎn)處向量連接MPP點(diǎn)與原點(diǎn)，且與函數(shù)的梯度重合（圖9.15為二維情況）。與之間的夾角為： （9.40）基于（9.35）的原始AMV方法，在MPP處，夾角應(yīng)該為零。以下為MPP的兩步搜索過(guò)程。第一步為沿最速下降方向搜索MPP，當(dāng)沿該方向的搜索使臨界狀態(tài)函數(shù)增加時(shí)，執(zhí)行第二步，逆向搜索。下面作詳細(xì)討論。圖9.15 二維空間的MPP條件b. 沿最速下降方向搜

42、索MPP如果事先沒(méi)有給定MPP的起始點(diǎn)，則程序從原點(diǎn)出發(fā)，假設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為（k表示搜索MPP的第k次迭代）。首先，最速下降方向被用于獲取新的一點(diǎn)，如下所示： （9.41）由于最速下降方向僅在點(diǎn)附近適用，所以有必要檢驗(yàn)由（9.41）式所獲得的臨界狀態(tài)函數(shù)值。如果，則搜索成功且可以繼續(xù)使用（9.41）式進(jìn)行下一輪迭代。如果，則表明相對(duì)于來(lái)說(shuō)并無(wú)改進(jìn)，需要進(jìn)行逆向的搜索以獲取新的點(diǎn)，它的臨界狀態(tài)函數(shù)值是減小的。c. 逆向搜索圖9.16 二維問(wèn)題逆向搜索過(guò)程如圖9.16所示，逆向搜索是為了搜索位于-球面和由與確定的平面相交部分的臨界狀態(tài)函數(shù)最小值點(diǎn)。顯然，該平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且搜索路徑為-球面中的一段弧。再由（

43、9.40）可得： （9.42）則，為 ： （9.43）整個(gè)搜索公式為： （9.44）圖9.17 三維問(wèn)題的逆向搜索過(guò)程該方法的執(zhí)行過(guò)程見圖9.17，它以三維搜索為例。設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為，新的一點(diǎn)在由與向量決定的平面中搜索。幾何上它是的投影（-球面中的一段弧）與投影（-球面中的另一段?。┑那悬c(diǎn)。顯然在點(diǎn)，臨界狀態(tài)函數(shù)值比點(diǎn)處的小。類似的，可以采用同樣過(guò)程尋找，直到向量與重合。d. MAMV方法的步驟設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為-球面中的，計(jì)算步驟如下：（1）計(jì)算處的斜率。（2）利用（9.40）計(jì)算與之間的夾角；（3）如果，為MPP點(diǎn)，停止計(jì)算，否則，進(jìn)行步（4）。為一小量，例如，或者。（4）計(jì)算臨界狀態(tài)函數(shù)值；（5）如果

44、，計(jì)算下一點(diǎn)：，令k=k+1,轉(zhuǎn)向步驟（1）；否則，使用方程3-25和9.32執(zhí)行反搜索以尋找新的點(diǎn)并令k=k+1。再轉(zhuǎn)向步驟（1）。為了使該搜索過(guò)程更加有效以及更具穩(wěn)健性，可以采用合適的步長(zhǎng)。每一軸上的步長(zhǎng)尺度可選擇為當(dāng)前U點(diǎn)的1%。對(duì)于一個(gè)“表現(xiàn)良好”的臨界狀態(tài)函數(shù)，例如凸性臨界狀態(tài)函數(shù)，最速下降方向法非常有效，并且臨界狀態(tài)函數(shù)值會(huì)持續(xù)下降。因而，此種情況下MAMV方法同傳統(tǒng)AMV方法一樣具有高度有效性。當(dāng)臨界狀態(tài)函數(shù)為凸，非凹或非凸的時(shí)候，MAMV方法中的弧搜索能夠保證臨界狀態(tài)函數(shù)的收斂性能。因此，MAMV方法具有較高的穩(wěn)健性，而且適用于任何種類的臨界狀態(tài)函數(shù)。（4）基于MAMV方法的可

45、靠性分析MAMV方法評(píng)估系統(tǒng)性能R百分點(diǎn)相對(duì)于其他方法更加有效和穩(wěn)健。其可以應(yīng)用在可靠性分析中。可靠性分析描述為：給定：系統(tǒng)輸入X=的分布函數(shù)求： 可靠性（或可靠度）：上式中，g（X）表示優(yōu)化問(wèn)題的約束，可靠性代表滿足約束的概率。為評(píng)估可靠性，首先要對(duì)于給定臨界狀態(tài)g（X）確定MPP，然后使用FORM或者SORM方法來(lái)計(jì)算可靠性。與在-球面中確定MPP的過(guò)程不同，這里，MPP通過(guò)臨界狀態(tài)g（X）=0或者是g（U）來(lái)確定。基于MAMV方法的可靠性分析即是，在一系列-球面中找到MPP點(diǎn)，直至臨界狀態(tài)函數(shù)值趨向于零。具體過(guò)程為：首先，在起始搜索點(diǎn)處評(píng)估-球面半徑，并在該球面上確定MPP點(diǎn)；然后，在下

46、一個(gè)-球面中確定MPP點(diǎn)，注意該球面的半徑經(jīng)過(guò)修改以使臨界狀態(tài)函數(shù)在MPP點(diǎn)的值趨向于零。因?yàn)镸AMV方法在給定起始點(diǎn)的情況下能夠迅速找到MPP點(diǎn)，所以可以使用回歸方法生成MPP軌跡，從而為MPP搜索提供起始搜索點(diǎn)，根據(jù)MPP軌跡，可以預(yù)測(cè)下一個(gè)-球面的半徑以及此時(shí)的起始MPP點(diǎn)。然后再次在新的-球面上使用MAMV方法。重復(fù)這一過(guò)程直至滿足結(jié)束要求或臨界狀態(tài)函數(shù)為零（g（X）=0）。確定MPP點(diǎn)的過(guò)程為：1）估計(jì)起始可靠性指標(biāo)起始可靠度指標(biāo)通過(guò)起始點(diǎn)的均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的商來(lái)估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)差由臨界狀態(tài)函數(shù)在起始點(diǎn)的泰勒展開式近似獲取。 （9.45）該式中，為的方差。下一步即為在-球面中搜索MPP點(diǎn)。從

47、現(xiàn)在開始，對(duì)于所有（k表示迭代次數(shù)），確定MPP的過(guò)程不變，因此最好是討論一般情況下的步驟。當(dāng)我們?cè)诘趉次迭代中找到位于-球面的MPP后，下一步就是預(yù)測(cè)第k+1次迭代中-球面的半徑。2）預(yù)測(cè)半徑通過(guò)臨界狀態(tài)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在前兩點(diǎn)與的值來(lái)建立三階響應(yīng)面模型。響應(yīng)面模型形式如下： （9.46）然后用獲取的模型估計(jì)下一個(gè)-球面的半徑。3）預(yù)測(cè)MPP在球面上的起始點(diǎn)-球面的半徑被確定以后，下一步就是預(yù)測(cè)在該-球面上搜索MPP的起始點(diǎn)?？梢酝ㄟ^(guò)建立一個(gè)二階響應(yīng)面模型來(lái)預(yù)測(cè)起始MPP。4）使用MAMV方法在-球面上搜索MPP5）檢驗(yàn)結(jié)束條件給定小量與，如果滿足： （9.47）和 （9.48）則停止計(jì)算。否則

48、，返回步驟（1）。9.3.3不確定性優(yōu)化方法在以上各種評(píng)估可行性穩(wěn)健程度的方法中，基于概率的方法是一種最嚴(yán)格的方法。基于概率分析方法和上節(jié)中的不確定性分析方法，可以進(jìn)行不確定問(wèn)題的優(yōu)化。（1）基于概率的優(yōu)化方法典型的基于概率的優(yōu)化方法有：1）“雙循環(huán)”方法“雙循環(huán)”方法的計(jì)算流程如圖9.18所示。首先，對(duì)于每一個(gè)概率性約束采用嵌套優(yōu)化循環(huán)確定MPP，然后針對(duì)可靠性需求優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)。由于設(shè)計(jì)過(guò)程中牽涉到雙重循環(huán)，因此該方法的計(jì)算效率較差。圖9.18雙循環(huán)優(yōu)化方法計(jì)算流程圖2）“單級(jí)循環(huán)與單變量方法”（SLSV）該方法采用了一系列的級(jí)優(yōu)化循環(huán)，如圖9.19所示。在每一次優(yōu)化循環(huán)中對(duì)概率性約束進(jìn)行近

49、似，從而逐漸達(dá)到可靠性要求。對(duì)于某些情況，這種方法能夠迅速找到優(yōu)化解。但是，由于一些情況下該方法將導(dǎo)致失敗的設(shè)計(jì)結(jié)果，所以并不具有穩(wěn)健性。它同樣具有一定的應(yīng)用范圍。例如說(shuō)它僅適用于隨機(jī)變量正態(tài)分布或者是設(shè)計(jì)變量是確定性的情況。圖9.19 單循環(huán)單變量方法計(jì)算流程圖以下將引入一種穩(wěn)健有效的方法序列優(yōu)化與可靠性評(píng)估（Sequential Optimization and Reliablity Assessment，SORA）方法。對(duì)于概率設(shè)計(jì)問(wèn)題，SORA采用了基于MAMV方法進(jìn)行概率評(píng)估和概率分析的分解優(yōu)化策略，相對(duì)于其它方法來(lái)說(shuō)可以顯著減少函數(shù)評(píng)估次數(shù)。MAMV方法的穩(wěn)健性同樣增強(qiáng)了SORA方

50、法的穩(wěn)健性。（2）概率優(yōu)化設(shè)計(jì)方法基礎(chǔ)SORA方法借鑒了一些現(xiàn)有概率設(shè)計(jì)方法。為了更好地理解SORA方法的原則并且能加以修正，下面首先介紹兩種基本的概率設(shè)計(jì)方法：1）采用概率描述的雙重循環(huán)方法概率優(yōu)化設(shè)計(jì)的典型模型如下：Minimize： Design Variable DV= （9.49）Subject to：設(shè)計(jì)可行性的描述如圖9.20所示，的概率為g的PDF曲線下對(duì)應(yīng)的的區(qū)域面積，該面積應(yīng)該大于或等于R。圖9.20 可行性示意圖圖9.21 雙循環(huán)概率優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的數(shù)據(jù)流向圖通過(guò)前面分析可知，滿足約束的概率評(píng)估是一個(gè)迭代的過(guò)程，還可能包含優(yōu)化。這樣的結(jié)果就是在概率設(shè)計(jì)中將引入雙重循環(huán)。外循

51、環(huán)為優(yōu)化循環(huán)，用以減小目標(biāo)函數(shù)值且維持概率性約束的可行性；內(nèi)部循環(huán)為迭代評(píng)估所有的概率性約束。這就是為什么解決模型（9.49）的方法被稱為具有概率描述的雙循環(huán)方法。雙循環(huán)方法的數(shù)據(jù)流向如圖9.21所示。為完成優(yōu)化，外部?jī)?yōu)化需要大量的函數(shù)評(píng)估來(lái)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)以及可靠性。為使不確定性約束的函數(shù)評(píng)估區(qū)別于確定性約束函數(shù)，我們稱用于可靠性的函數(shù)評(píng)估為“概率函數(shù)評(píng)估”，而確定性約束函數(shù)稱為“性能函數(shù)估計(jì)”。顯然，采用具有概率評(píng)估的雙重循環(huán)方法時(shí)，整個(gè)優(yōu)化需要大量的概率函數(shù)評(píng)估，因此，計(jì)算總次數(shù)將會(huì)非常龐大。例如，假設(shè)外部?jī)?yōu)化循環(huán)需要100次概率函數(shù)評(píng)估，對(duì)于10個(gè)概率性約束，如果每次概率評(píng)估平均需要50次

52、函數(shù)計(jì)算，那么函數(shù)計(jì)算的總次數(shù)為！如果不考慮任何不確定性，函數(shù)計(jì)算的總次數(shù)將與外部循環(huán)中概率函數(shù)評(píng)估的次數(shù)在同一水平，即為100。這種情況下概率設(shè)計(jì)的函數(shù)計(jì)算次數(shù)為確定性設(shè)計(jì)的500倍。從這個(gè)例子可以看出，不確定性設(shè)計(jì)比確定性設(shè)計(jì)計(jì)算負(fù)擔(dān)重得多。因此，有必要提出一種用于概率設(shè)計(jì)的高效率方法。2）采用R-百分點(diǎn)表述的雙重循環(huán)方法可以采用R-百分點(diǎn)描述的雙重循環(huán)方法來(lái)進(jìn)行可靠度評(píng)估，又被稱為性能度量方法（PMA）。它仍然是一種雙重循環(huán)的方法，但是對(duì)于約束的可靠性評(píng)估只在要求水平R上進(jìn)行。式（9.49）中的問(wèn)題描述可以重新定義為：Minimize： DV= （9.50）Subject to：對(duì)于給定可靠度R，則可靠度指標(biāo)可以通過(guò)下式獲取： （9.51）采用MAMV方法可以求出MPP（），在此基礎(chǔ)上可以計(jì)算的R百分點(diǎn)： （9.52）這樣，式（9.50）可以重新表述為：Minimize： DV= （9.53）Subject to：（3）SORA方法 為改進(jìn)概率優(yōu)化的效率，采用“連續(xù)單循環(huán)”方法推導(dǎo)出SORA方法。這種方法不同于現(xiàn)有單循環(huán)方法，它對(duì)于概率性約束建立了等價(jià)的確定性約束。同樣采用有效的逆MPP搜索算法作為整個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程的一部分。1）SORA方法所采用的策略a. 僅在要求水平（R百分點(diǎn)）上進(jìn)行可靠性評(píng)估由于采用確定性約束函數(shù)進(jìn)行可行性的評(píng)估，該模型建立了一種在概率優(yōu)化與確定性