函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

1、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性一、單調(diào)性1函數(shù)單調(diào)性的定義：2.證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法: 3.求單調(diào)區(qū)間的方法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法。4.復(fù)合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：同增異減5一些有用的結(jié)論： 奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； 偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； 在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減。題型講解 例1若y=log(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)例2（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（答：增區(qū)間為：減區(qū)間為，）（2

2、）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性（增區(qū)間為；減區(qū)間為）例3設(shè)，是上的偶函數(shù)（1）求的值；（）（2）證明在上為增函數(shù)例4（1）若為奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，又，則的解集為_.例5已知函數(shù)的定義域是的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，（1）求證：是偶函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（）（3）解不等式（，）例6函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍（）二、函數(shù)的奇偶性與周期性1函數(shù)的奇偶性的定義； 2奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1） 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2） 偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，它是f(x+b)=f(a-x)，對(duì)稱軸的特殊情況。（3） 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；3為偶函數(shù)4若奇函數(shù)的定義域包含，則5判斷函數(shù)的奇偶

3、性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響； 6牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性；7判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：，8設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇9函數(shù)的周期性定義：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期10.奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y=

4、fg(x)是偶函數(shù)例1：（1）若函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且 則關(guān)于 對(duì)稱；的周期為 ；在（1，2）是 函數(shù)（增、減）；=，則 （2）設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，=,則= 例2下面四個(gè)結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）A1 B2 C3 D4例3已知函數(shù)對(duì)一切，都有，（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示（-4a）例4判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）；（非奇非偶函數(shù)）（2）；（偶函數(shù)）（3）（奇函數(shù)）例5（1）已知是上的

5、奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的解析式為（2）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，若，且，則 （ ） 例6甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c kmh，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(kmh)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(kmh)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸成本=單位時(shí)間運(yùn)輸成本×全程運(yùn)輸時(shí)間，而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決故所求函數(shù)及其定義域?yàn)榈?/p>

6、由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckmh，所以(2)的解決需要論函數(shù)的增減性來解決由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即則當(dāng)v=c時(shí)，y取最小值說明：此題是1997年全國高考試題由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大例4已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值 證明：；求的解析式；求在上的解析式（）學(xué)生練習(xí) 1判斷函數(shù)f(x)=ax/(x2-1) (a0)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性。2已知函數(shù)f(x)=a(ax-a-x)/(a-2) (a>0,且a1)

7、是R上的增函數(shù)，求a的取值范圍。3設(shè)函數(shù)f(x)= (a>0),求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+¥)上是單調(diào)函數(shù)。4函數(shù)y=的遞減區(qū)間是 5求y=log0.7(x2-3x+2)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性6求y=8+2log0.5x -log0.52x的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.7函數(shù)y=lncos(x/3+p/4)的遞減區(qū)間是 8函數(shù)y=loga(2-ax)在0,1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是 9已知奇函數(shù)f(x)在定義域-2,2上遞減，求滿足f(1-m)+f(1-m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍。10已知a>0,a1,有f(logax)=(1)求f(x)的表達(dá)式，并證明f(

8、x)在(-¥,+¥)上是增函數(shù)；(2)求證：對(duì)于任意大于1的自然數(shù)n,f(n)>n成立。11.寫出函數(shù)f(x)=log0.5|x2-x-12|的單調(diào)區(qū)間12比較下面三個(gè)數(shù)的大小：, , 13設(shè)奇函數(shù)f(x)在0,+¥）上是增函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式f(kx)+f(x-x2-2)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。14已知q>0,且q1,數(shù)列an是首項(xiàng)和公比都為q的等比數(shù)列，設(shè)bn=anlog5an (nÎN),(1)當(dāng)q=5時(shí)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；(2) 在(1)的條件下，求;(3)在數(shù)列bn中，對(duì)于任意自然數(shù)n，當(dāng)m>n

9、時(shí)，都有bm>bn,求q的取值范圍。15甲乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(單位：千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元。(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/小時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？16.函數(shù)f(x)=log0.5|sinx-cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是 單調(diào)遞減區(qū)間是 。參考答案：1 a>0,f(x)遞減；a<0,f(x)遞增2 aÎ(0,1)È(

10、2,+¥)3 a³1時(shí)，f(x)遞減； 0<a<1時(shí)，存在兩點(diǎn)x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故無單調(diào)性。4（(-¥,-3)5在(-¥,1)上遞增；在(2,+¥)上遞減 6在(0,1/2上遞增；在1/2,+¥)上遞減 7 6kp-3p/4,6kp+3p/4 kÎZ8 (1,2) 9 -1£m<110 (1)f(x)=a(ax-a-x)/(a2-1); (2)用數(shù)學(xué)歸納法：f(n)>nf(n)+1>n+1,證明f(n+1)>f(n)+1>n+

11、111.作圖，在(-3,1/2和(4,+¥)上遞減，在(-¥,-3)和1/2,4)上遞增。）12 >> 13 -2-1<k<2-1 14 (1)Sn=;(2)5/4; (3)q>1或q<1/2 15 (1)y=S(a/v+bv) vÎ(0,c; (2)若£c,則當(dāng)v=時(shí)，全程運(yùn)輸成本最?。蝗?gt;c,則y在(0,c上為減函數(shù)，從而當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小。16. kp+3p/4,kp+5p/4) (kÎZ)；(kp+p/4,kp+3p/4 (kÎZ)學(xué)生練習(xí) 1函數(shù)f(x)=x2/(x2+bx

12、+1)是偶函數(shù)，則b= 2函數(shù)F(x)=(1+2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x) ( A )(A)是奇函數(shù) (B)是偶函數(shù) (C)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) (D)非奇非偶函數(shù)3已知函數(shù)f(x)=x2+lg(x+),若f(a)=M,則f(-a)等于 （ A ）(A)2a2-M (B)M-2a2 (C)2M-a2 (D)a2-2M5若對(duì)正常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x,等式成立,則下列說法正確的是 ( )A 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為2mB 函數(shù)是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)C 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為4 mD 函數(shù)是偶函數(shù),但不是周期函數(shù) (利用周期函數(shù)的定義證明答案:

13、C)4已知f(x) 是奇函數(shù)，且當(dāng)xÎ(0,1)時(shí)，f(x)=ln(1/(1+x),那么當(dāng)xÎ(-1,0)時(shí)，f(x)= ln(1-x) 5試將函數(shù)y=2x表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和6判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函數(shù)）;(2)f(x)=x/(ax-1)+x/2 (a>0且a1)(偶函數(shù)）(3)f(x)=（偶函數(shù)）說明奇偶性的對(duì)稱條件和分段函數(shù)奇偶性的判別方法7已知f(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(a2/2,b/2),則f(x)g(x)>0的解集是 8定義在區(qū)間(-¥,+¥)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0,+¥)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a