微分幾何練習(xí)題庫及答案

1、微積分幾何復(fù)習(xí)題 本科第一部分：練習(xí)題庫及答案一、填空題（每題后面附有關(guān)鍵詞；難易度；答題時長）第一章1已知，則這兩個向量的夾角的余弦=2已知，求這兩個向量的向量積(-1,-1,-1) 3過點且與向量垂直的平面方程為X-Z=04求兩平面與的交線的對稱式方程為5計算 6設(shè)，求 0 7已知，其中，則8已知，則9已知，求，其中，10已知（為常向量），求11已知，（為常向量），求 12已知，則第二章13曲線在任意點的切向量為14曲線在點的切向量為15曲線在點的切向量為16設(shè)有曲線，當(dāng)時的切線方程為17設(shè)有曲線，當(dāng)時的切線方程為第三章18設(shè)為曲面的參數(shù)表示，如果，則稱參數(shù)曲面是正則的；如果是 一一的 ，

2、則稱參數(shù)曲面是簡單的19如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為 正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng) (坐標(biāo)網(wǎng);易;3分鐘)20平面的第一基本形式為，面積元為21懸鏈面的第一類基本量是, 22曲面上坐標(biāo)曲線，的交角的余弦值是 23正螺面的第一基本形式是24雙曲拋物面的第一基本形式是 25正螺面的平均曲率為 0 （正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分鐘）26方向是漸近方向的充要條件是或27兩個方向和共軛的充要條件是或28函數(shù)是主曲率的充要條件是29方向是主方向的充要條件是30根據(jù)羅德里格定理，如果方向是主方向，則，其中是沿方向的法曲率31旋轉(zhuǎn)極小曲面是平面 或懸鏈面 第四章32高斯方程是，魏因加爾吞方程為，

3、33用表示為 34測地曲率的幾何意義是曲面上的曲線在點的測地曲率的絕對值等于在點的切平面上的正投影曲線的曲率35之間的關(guān)系是36如果曲面上存在直線，則此直線的測地曲率為 0 37測地線的方程為38高斯-波涅公式為39如果是由測地線組成，則高斯-波涅公式為 二、單選題第一章40已知，則這兩個向量的內(nèi)積為（ C ）（內(nèi)積；易；2分鐘）A 2 B C 0 D 141求過點且與向量平行的直線的方程是（ A ）（直線方程；易；2分鐘）A B C D 42已知，則混合積為（ D ）（混合積；較易；2分鐘）A 2 B C 1 D 43.已知，則為（ A ）（導(dǎo)數(shù)；易；2分鐘）(，)(-，)(，)(，-)44

4、已知，為常數(shù)，則為（ C ）（導(dǎo)數(shù)；易；2分鐘） 上述為常向量45.已知，求為（ D ）（微分；較易；2分鐘）第二章46圓柱螺線的切線與軸（ C ）.(螺線、切向量、夾角；較易、2分鐘)平行垂直有固定夾角有固定夾角47設(shè)有平面曲線，為自然參數(shù)，是曲線的基本向量下列敘述錯誤的是（C ）為單位向量48直線的曲率為（ B ）（曲率；易；2分鐘） 49關(guān)于平面曲線的曲率不正確的是（ D ）（伏雷內(nèi)公式；較易；2分鐘） ，為的旋轉(zhuǎn)角 50對于平面曲線，“曲率恒等于”是“曲線是直線”的（ D ） （曲率；易；2分鐘)充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件充要條件51下列論述不正確的是（ D ）（

5、基本向量；易；2分鐘）均為單位向量 52對于空間曲線，“曲率為零”是“曲線是直線”的（ D） （曲率；易；2分鐘)A 充分不必要條件B必要不充分條件C 既不充分也不必要條件 D充要條件53對于空間曲線，“撓率為零”是“曲線是直線”的（ D ）（撓率；易；2分鐘)A 充分不必要條件B必要不充分條件C 既不充分也不必要條件D充要條件54在點的切線與軸關(guān)系為（ D ）垂直平行成的角成的角第三章55橢球面的參數(shù)表示為（C ）（參數(shù)表示；易；2分鐘）A B C D 56以下為單葉雙曲面的參數(shù)表示的是（D ）（參數(shù)表示；易；2分鐘）A B C D 57以下為雙葉雙曲面的參數(shù)表示的是（A ）（參數(shù)表示；易；

6、2分鐘）A B C D 58以下為橢圓拋物面的參數(shù)表示的是（B ）（參數(shù)表示；易；2分鐘）A B C D 59以下為雙曲拋物面的參數(shù)表示的是（C ）（參數(shù)表示；易；2分鐘）A B C D 60曲面在點的切平面方程為（B ）（切平面方程；易；2分鐘）A B C D 61球面的第一基本形式為（D ）（第一基本形式；中；2分鐘）A B C D 62正圓柱面的第一基本形式為（ C）（第一基本形式；中；2分鐘）A B C D 63在第一基本形式為的曲面上，方程為的曲線段的弧長為（B ）（弧長；中；2分鐘）A B C D 64設(shè)為中的2維正則曲面，則的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是（ B） A B C

7、 D 65以下正確的是（ D）（魏因加爾吞變換；較易；2分鐘）A B C D 66以下正確的是（ C）（魏因加爾吞變換；較易；2分鐘）A B C D 67以下正確的是（A）（魏因加爾吞變換；較易；2分鐘）A B C D 68高斯曲率為常數(shù)的的曲面叫（C ）（高斯曲率；易；2分鐘）A 極小曲面 B 球面 C常高斯曲率曲面 D平面第四章B 69（第一基本形式；易；2分鐘）A 1 B 2 C 0 D -1B 70（第一基本形式；易；2分鐘）A B C D A 71（克氏符號；較易；2分鐘）A B C D A 72曲面上直線（如果有的話）的測地曲率等于 A B C D 3B 73當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時

8、，參數(shù)曲線u-曲線的測地曲率為（劉維爾定理、測地曲率；中；4分鐘）A B C D A 74如果測地線同時為漸進(jìn)線，則它必為（測地曲率、法曲率、曲率；中；2分鐘）A 直線 B 平面曲線 C 拋物線 D 圓柱螺線B 75在偽球面上，任何測地三角形的內(nèi)角之和（高斯-波涅定理；中；4分鐘）A 等于 B 小于 C 大于 D 不能確定三、多選題第一章76.若為向量函數(shù)，則下列論述正確的是（ AD ） （導(dǎo)數(shù)；易；4分鐘） 77為常向量，為向量函數(shù)，則下述正確的是（ ABC ）（積分的性質(zhì)；中；4分鐘） 第二章78下列曲線中為正則曲線的有（ACDE）。（曲線的概念；易；4分鐘）， ， ， ，79下列曲線中是

9、正則曲線的有（ABCDE）。（曲線的概念；易；4分鐘）， ， ， 80下列式子正確的是（ABCE）（伏雷內(nèi)公式；中；4分鐘） 第三章81曲面在點的（AD ）（切平面、法線；中；4分鐘）A 切平面方程為B 切平面方程為C 法線方程為D 法線方程為E 法線方程為82正螺面的（AC ）（切平面、法線；中；4分鐘）A 切平面方程為B切平面方程為C 切平面方程為D法線方程為E 法線方程為83下列二次形式中，（ ABD）不能作為曲面的第一基本形式（第一基本形式；易；4分鐘）A B C D E 84一般螺面的第一類基本量是（ BCD）（第一基本量；易；4分鐘）A B C D E 85下列曲面中，（ BCD

10、）是旋轉(zhuǎn)常高斯曲率曲面（常高斯曲率曲面；易；4分鐘）A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圓柱面 E 懸鏈面第四章ABC 86對于曲面上的正交坐標(biāo)網(wǎng)，測地曲率（設(shè)曲線的切方向與的夾角為）A B C D E 87曲面上的曲線是測地線的充分必要條件是ABCD（測地線的概念；中；4分鐘）A 滿足方程的曲線B滿足的曲線C除了曲率為零的點外，曲線的主法線重合于曲面的法線 D滿足的曲線E 滿足的曲線四、敘述題第三章88曲面。解設(shè)是初等區(qū)域，如果存在一個連續(xù)一一映射使得，則稱是一張曲面，而叫的參數(shù)表示89坐標(biāo)曲線。【解】曲面，的像叫曲線，的像叫曲線，曲線和曲線都叫坐標(biāo)曲線90第一基本形式?！窘狻糠Q二次型（其中

11、，）為曲面的第一基本形式而、叫曲面的第一類基本量91內(nèi)蘊量?！窘狻坑汕娴牡谝活惢玖克鶝Q定的量叫曲面的內(nèi)蘊量92第二基本形式?！窘狻糠Q二次型（其中，）為曲面的第二基本形式而，為曲面的第二類基本量93【解】若在點有，則稱點為曲面的橢圓點94法曲率。【解】給定曲面上一點處的一個切向量，則點沿方向的法曲率定義為95主曲率?！窘狻渴狗ㄇ蔬_(dá)到極值的方向叫曲面在該點的主方向，而主方向的法曲率叫該點的主曲率96高斯曲率。【解】曲面的兩個主曲率之積叫曲面的高斯曲率97極小曲面?！窘狻科骄实那娼袠O小曲面五、計算題第二章98求旋輪線的一段的弧長（弧長；中；5分鐘）【解】旋輪線的切向量為，則它的一段的弧長

12、為：99求曲線在原點的切向量、主法向量、副法向量（基本向量；中；10分鐘【解】由題意知 ， ，在原點時有 。又 ，所以有。100圓柱螺線為。（基本向量、曲率、撓率；中；15分鐘）求基本向量，；求曲率和撓率；【解】由題意有，又由公式有由一般參數(shù)的曲率公式及撓率公式 有，。第三章101求正螺面的切平面和法線方程（切平面、法線；中；5分鐘）【解】，切平面方程為法線方程為102求球面上任一點處的切平面與法線方程 【解】 ， ， 球面上任意點的切平面方程為即，法線方程為即103求旋轉(zhuǎn)拋物面的第一基本形式（第一基本形式；中；5分鐘）【解】參數(shù)表示為， ，104求正螺面的第一基本形式（第一基本形式；中；5分

13、鐘）【解】，105計算正螺面的第一、第二基本量（第一基本形式、第二基本形式；中；15分鐘）【解】，106計算拋物面的高斯曲率和平均曲率（高斯曲率、平均曲率；中；15分鐘）【解】設(shè)拋物面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ，107計算正螺面的高斯曲率（高斯曲率；中；15分鐘）【解】直接計算知，第四章108求位于正螺面上的圓柱螺線（=常數(shù)）的測地曲率（測地曲率、劉維爾定理；中；15分）【解】因為正螺面的第一基本形式為，螺旋線是正螺面的v-曲線，由得由正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測地曲率得六、證明題第二章109證明曲線的切向量與曲線的位置向量成定角（切向量、夾角；較易；5分鐘）【證】對曲線上任意一點，曲線的位置向

14、量為，該點切線的切向量為：，則有：，故夾角為。由所取點的任意性可知，該曲線與曲線的切向量成定角110證明：若和對一切線性相關(guān)，則曲線是直線（曲率；中；10分鐘）【證明】若和對一切線性相關(guān)，則存在恒不同時為0的使。則 。又，故 。于是該曲線是直線111證明圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交（主法線、夾角；中；10分鐘）【證明】由題意有 。由知。另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線與軸垂直112證明曲線的所有法平面皆通過坐標(biāo)原點（法平面；較易；5分鐘）【證明】由題意可得，則任意點的法平面為將點（0,0,0）代入上述方程有左邊右邊，故結(jié)論成立113證明曲線為平面曲線，并建立曲線所在平面的方程。（撓率

15、；中；10分鐘）【證明】設(shè)，整理比較兩邊同次項可得，則有，即曲線為直線，且有第三章114求證正螺面上的坐標(biāo)曲線（即曲線族曲線族）互相垂直（坐標(biāo)曲線、夾角；5分鐘）【證明】設(shè)正螺面的參數(shù)表示是，則 ，故正螺面上的坐標(biāo)曲線互相垂直115證明馬鞍面上所有點都是雙曲點（點的分類、第二基本量；中；15分鐘）【證明】參數(shù)表示為，則，故馬鞍面上所有點都是雙曲點116如果曲面上某點的第一與第二基本形式成比例，即與方向無關(guān)，則稱該點是曲面的臍點；如果曲面上所有點都是臍點，則稱曲面是全臍的試證球面是全臍的（臍點；難；15分鐘）【證明】設(shè)球面的參數(shù)表示為，則，故球面是全臍的117證明平面是全臍的（臍點；易；5分鐘）

16、【證明】設(shè)平面的參數(shù)表示為，則，故平面是全臍的118設(shè)有曲面，試證曲面的第二基本形式與函數(shù)的二階微分成比例（第二基本形式；較難；10分鐘）【證明】設(shè)曲面的參數(shù)表示為，則，119證明曲面的所有點為拋物點（點的分類、第二基本量；中；15分鐘）【證明】記曲面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ， ， 曲面的所有點為拋物點120求證正螺面是極小曲面（平均曲率；中；15分鐘）【證明】，故正螺面是極小曲面121證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點（點的分類、平均曲率；中；5分鐘）【證明】， ， 當(dāng)時， 極小曲面的點都是平點；當(dāng)時，極小曲面的點都是雙曲點第四章122證明若曲面上有兩族測地線交于定角，則曲面的高斯曲率為零（高斯曲率；難；10分鐘）【證明】在每族測地線中任取兩條，圍成曲面上的曲邊四邊形根據(jù)已知條件，曲邊