模態(tài)分析_振動與噪聲控制研究所

1、第四章第四章 模態(tài)分析模態(tài)分析振動與噪聲控制研究所李曉雷第四章第四章 模態(tài)分析模態(tài)分析4.1 引言4.2 實模態(tài)分析4.3 復(fù)模態(tài)分析4.4 試驗?zāi)B(tài)分析緒論緒論機械振動的研究對象、意義數(shù)學準備和運動學緒論緒論機械振動的研究對象、意義振動，是指物理量在它的平均值附近不斷地經(jīng)過極大值和極小值而往復(fù)變化的過程。機械振動指機械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運動。機械振動研究的對象是機械或結(jié)構(gòu)，即具備質(zhì)量和彈性的物體。在理論分析時，需要把機械或結(jié)構(gòu)按照力學原理，通過數(shù)學建模，抽象為力學系統(tǒng)（又稱為數(shù)學模型）?？梢援a(chǎn)生機械振動的力學系統(tǒng)稱為振動系統(tǒng)。振動系統(tǒng)三要素及其關(guān)系振動系統(tǒng)的三要素：激勵、系

2、統(tǒng)和響應(yīng)外界對振動系統(tǒng)的激勵或作用，稱為振動系統(tǒng)的激勵或輸入。系統(tǒng)對外界影響的反映，稱為振動系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出。二者由系統(tǒng)的振動特性相聯(lián)系。 三種基本振動問題響應(yīng)分析：在擾動條件和系統(tǒng)特性已知的情形下，求系統(tǒng)的響應(yīng) 系統(tǒng)識別：分析已知的激勵與響應(yīng)，確定振動系統(tǒng)的性質(zhì)環(huán)境預(yù)測：已知振動系統(tǒng)和在未知激勵下的響應(yīng)，研究該未知激勵的性質(zhì)響應(yīng)分析車輛在給定的路面上行走，求車身的加速度響應(yīng) 工程提法：系統(tǒng)設(shè)計在一定的激勵條件下，如何來設(shè)計系統(tǒng)的特性，使得系統(tǒng)的響應(yīng)滿足指定的條件。系統(tǒng)識別方法：以某種已知的激振力作用在被測振動系統(tǒng)上，使其產(chǎn)生響應(yīng)，根據(jù)已知的激勵和測量得到的響應(yīng)量值，進而根據(jù)一定的分析方法（模

3、態(tài)分析），確定系統(tǒng)的振動參數(shù)，如：質(zhì)量矩陣，剛度和阻尼矩陣以及系統(tǒng)的振型和固有頻率向量。模態(tài)試驗 環(huán)境預(yù)測例：振源判斷、載荷識別、基于振動信號的工況監(jiān)視與故障診斷。例：用五輪儀來測量路面的不平度 對于五輪儀，其系統(tǒng)特性已知，通過測量五輪儀的輸出，可以反推出路面的不平度特性。機械振動的作用 消極方面：影響儀器設(shè)備功能，降低機械設(shè)備的工作精度，加劇構(gòu)件磨損，甚至引起結(jié)構(gòu)疲勞破壞。積極方面：利用振動性能的設(shè)備機械振動的破壞作用 顫振：大氣紊流和其他振源都會使飛機等飛行器產(chǎn)生振動（舒適性，機載儀表）自激振動：輸電線的舞動1940年美國塔可馬(Tacoma Narrows)吊橋在中速風載作用下，因橋身發(fā)

4、生扭轉(zhuǎn)振動和上下振動造成坍塌事故1972年日本海南的一臺66104kW汽輪發(fā)電機組，在試車過程中發(fā)生異常振動而全機毀壞；步兵在操練時，不能正步通過橋梁，以防發(fā)生共振現(xiàn)象造成橋梁坍塌機械振動的積極作用 共振放大利用顆粒的振動進行清洗，拋光，零件去毛刺；利用振動減小零部件之間的摩擦阻力和間隙閥 體閥 芯電 磁 鐵學習機械振動的意義1.進行結(jié)構(gòu)動強度設(shè)計的需要 2.消除有害的振動 3.利用振動有利的一面 4.是學好相關(guān)知識的基礎(chǔ) 離散系統(tǒng)的基本元件機械振動系統(tǒng)： 慣性元件，彈性元件，阻尼元件，外界激勵。通常用物理量： 質(zhì)量M，剛度K，阻尼C，和外界激勵F表示。x1kx2x1cx2振動分類按系統(tǒng)分：線

5、性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng) 確定性系統(tǒng)和隨機系統(tǒng)按激勵分：自由振動 受迫振動自激振動 參數(shù)共振振動分類按響應(yīng)分：簡諧振動 周期振動 非周期振動隨機振動 按自由度分：單自由度振動多自由度振動連續(xù)體振動運動學一、簡諧運動一、簡諧運動按時間的正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))所作的振動sinxAt振幅相位初相位圓頻率運動學簡諧振動的速度和加速度sinxAt位移速度加速度cosxAt2sinxAt 大小和位移成正比方向和位移相反，始終指向平衡位置運動學拍1212sinsin,atbt不同頻率振動的疊加頻率接近于相等時拍的頻率：每秒中振幅從最小值經(jīng)過最大值到最小值的次數(shù)拍的圓頻率：1212運動學簡諧振動

6、的復(fù)數(shù)表示復(fù)平面上的一點z代表一個矢量使該矢量以等角速度在復(fù)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量） tPA實軸虛軸cossini tzAtitAesinImImi tyAtzAecossiniexi運動學速度、加速度的復(fù)數(shù)表示位移i txAe速度i ti tdxAei Aedt加速度2i ti tdxdxi AeAedtdt 1ie /2iei/2itA e2itAe對復(fù)數(shù)Aeit每求導(dǎo)一次，相當于在它的前面乘上一個i，而每乘上一個i，相當于把這個復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)/2運動學諧波分析把一個周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，亦即展開成一系列簡諧函數(shù)之和一般的周期振動可以通過諧波分析分解成簡諧振動運動學諧波分析傅

7、立葉級數(shù) 0112111210111coscos2.2sinsin2.cossin2nnnaF tatatbtbtaantbnt1:基頻 002TaF t dtT 102cosTnaF tntdtT 102sinTnbF tntdtT諧波分析兩個頻率相同的簡諧振動可以合成一個簡諧振動111cossinsinnnnnantbntAnt22nnnAabtannnnab把諧波分析 的結(jié)果形象化：An，n和之間的 關(guān)系用圖形來表示，稱為頻譜單自由度系統(tǒng)自由振動 簡諧振動非周期強迫振動 自由振動振動系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的運動狀態(tài)。自由振動時系統(tǒng)不受外界激勵的影響，其運動時的能量來自于初始時刻

8、彈性元件和慣性元件中存儲的能量。振動規(guī)律完全取決于初始時刻存儲的能量和系統(tǒng)本身的性質(zhì)。 運動微分方程運動微分方程 振動系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的運動狀態(tài)。自由振動時系統(tǒng)不受外界激勵的影響，其運動時的能量來自于初始時刻彈性元件和慣性元件中存儲的能量。振動規(guī)律完全取決于初始時刻存儲的能量和系統(tǒng)本身的性質(zhì)。O隔離體受力分析kx( )x tmk運動微分方程運動微分方程 運動微分方程000(0), (0)mxkxxxxx2n000(0), (0)xxxxxxnkm運動微分方程運動微分方程 解12cossincos()nnnxAtAtAt10Ax02n xA22002n xAx00narctan

9、xx 運動微分方程運動微分方程 單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動 n22mTknn1122kfTm能量關(guān)系能量關(guān)系 意義：慣性力的功率Fm與彈性力的功率Fs之和為零 dd0ddxxmxkxtt22d110d22mxkxt221122TEmxUkxTEUE能量關(guān)系能量關(guān)系 TEUE222nn1sin ()2TEmAt22n1cos ()2UkAt222002n11()22TxEUkAx能量關(guān)系能量關(guān)系 Rayleigh商 22max1122TmAmx 動能系數(shù) 2maxnUkmT阻尼自由振動阻尼自由振動 方程 000(0),(0)0mxcxkxxxxkxcxckxmmO20020(0),(0

10、)0nnxxxxxx n22ccmmk阻尼自由振動阻尼自由振動 解 estxA特征方程20mscsk2220nnss臨界阻尼 22encmkm22enccccmmk阻尼自由振動阻尼自由振動 特征方程解 21,21nns -2-101-101ReIm 阻尼自由振動阻尼自由振動 方程的通解 1212( )s ts tx tAeA e三種情況 1，相異實根。阻尼大于臨界阻尼。強阻尼=1，重根。阻尼等于臨界阻尼 1=121,2(1)ns 221112( )()nnntttx teAeA e1,2ns 12( )()ntx tAA t e阻尼自由振動阻尼自由振動 121,2(i 1)ns 阻尼固有頻率

11、2n1d 12( )(cossin)ntddx tectct( )cos()ntdx tXet1020,()/ndcx cxx阻尼自由振動阻尼自由振動 對數(shù)衰減率121121cos()cos(nntdtdXetxxXet12()nn dttTee21n dTxx e1222ln1ndxTx簡諧強迫振動簡諧強迫振動 222cosnnnxxxAtkxcxckxmmxO0cosFt 方程解22 2nncoscos()1 () 2ntdXtxBet簡諧強迫振動簡諧強迫振動 系數(shù)220001000tanndndxxBxxxx222nn1n2n1 ()22tan1 ()AX簡諧強迫振動簡諧強迫振動 放大系

12、數(shù)222nn11 ()2XA01234X/A 0.51/ n10.70.40.30.21 . 0000123210.70.50.20.10簡諧強迫振動簡諧強迫振動 相頻特性1n2n2tan1 ()簡諧強迫振動簡諧強迫振動 全解簡諧強迫振動簡諧強迫振動 全解振動計01234675012ABCy0/a0/n位移測量計擾動頻率大于儀器的固有頻率（B點），記錄的振幅逐漸接近于擾動頻率的振幅儀器的固有頻率應(yīng)該比要記錄測量的頻率低2倍當振動包含高階頻率時，不影響位移振動計的測量簡諧強迫振動簡諧強迫振動 振動加速度計01234675012ABCy0/a0/n2020/1/nnya 2002nay振動加速度計

13、的固有頻率應(yīng)該是所記錄測量的最高頻率的2倍以上簡諧強迫振動簡諧強迫振動 振動加速度計振幅r0/a/n00.250.500.751.001.251.501.752.0000.51.01.52.0c/cc=0拋物線c/cc=0.5c/cc=0.7為了避免高階諧振共振影響振動加速度計工作，必須在振動加速度計中加入阻尼0.5和0.7臨界阻尼比無阻尼曲線更接近理想加速度計曲線簡諧強迫振動簡諧強迫振動 振動加速度計-相位12300306090180/nc/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120150當阻尼在0.5-0.7臨界阻尼之間時，相位差特性曲線很接近低于共

14、振區(qū)域的對角線：相位差近似正比于頻率，記錄的波的合成與實際波相同。2n 簡諧強迫振動簡諧強迫振動 振動的隔離原理0sinPt0sinPtk通過彈簧傳給下層結(jié)構(gòu)的力？012345-12-3-41x0/xstABC/n00000/stxxkxxPkP彈簧力傳遞力可傳性外力外力可傳性簡諧強迫振動簡諧強迫振動 振動的隔離原理: 阻尼/n隔振系數(shù)10201230.250.50.5c/cc=0l/n1.41區(qū)域中，阻尼使隔振系數(shù)減小(但仍然比1大)l阻尼的存在使隔振系數(shù)更壞？2l阻尼的存在可以有效防止共振l阻尼的不利效應(yīng)可以很容易通過使彈簧變得更軟來彌補非周期強迫振動非周期強迫振動 脈沖力脈沖力t = 時

15、的單位脈沖力時的單位脈沖力重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：F F( (t t) )在在t t = = 連續(xù)，則有連續(xù)，則有 ()0()d1tttt( ) ()d( )F tttF非周期強迫振動非周期強迫振動 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 條件：條件：t t=0=0以前系統(tǒng)靜止，以前系統(tǒng)靜止，t t=0=0時刻受到一個單位脈沖力作用時刻受到一個單位脈沖力作用 解為單位脈沖響應(yīng)解為單位脈沖響應(yīng) ( )(0 )0, (0 )0mxcxkxtxx1( )sin0nitddh tettmh(t) = 0 t0 012345678910-8-6-4-202468x 10-3非周期強迫振動非周期強迫振動 卷積極

16、分卷積極分把任意激勵把任意激勵F F( (t t) )看成一系列脈沖函數(shù)的疊加看成一系列脈沖函數(shù)的疊加 0( )() ( )dtx th tF定解問題定解問題00( )(0), (0)mxcxkxF txx xx解解0000( )e(cossin)() ()dntndddtxxx txtth tF多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動方程 固有振動動力響應(yīng)分析 多自由度系統(tǒng)振動方程多自由度系統(tǒng)振動方程 例例1 1121221212212221232212322()()( )()()( )m xcc xc xkkxk xf tm xc xcc xk xkk xf t多自由度系統(tǒng)振動方程多自由度系統(tǒng)振動方程

17、 x =x1，x2TT12 ,x xxT12 ,x x x1002mmM122223ccccccC122223kkkkkkKf(t) =f1(t)，f2(t)T( ) tMxCxKxf多自由度系統(tǒng)振動方程多自由度系統(tǒng)振動方程 質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣的性質(zhì)質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣的性質(zhì)對稱性對稱性正定性正定性耦合耦合慣性耦合慣性耦合阻尼耦合阻尼耦合彈性耦合彈性耦合耦合的消除耦合的消除000TTx Mxx Mxx000TTx Cxx Cxx000TTx Kxx Kxx固有振動固有振動 2 反向運動反向運動例：對稱系統(tǒng)，例：對稱系統(tǒng)， 特殊初始條件下的振動特殊初始條件下的振動1 同向運動同

18、向運動x1(0)= x2(0)= x0， 120(0)(0)xxxx1(0)= x2(0)= x0120(0)(0)xxx1km122kkm固有振動固有振動 固有振動固有振動 3 任意初始條件任意初始條件 分解為兩個初始條件分解為兩個初始條件110220110220(0),(0),(0),(0)xxxxxxxx102010201212(0)(0),(0)(0)22xxxxxxxx102010201212(0)(0),(0)(0)22xxxxxxxx 00.20.40.60.811.21.41.61.82-4-3-2-101234x 10-3固有振動固有振動 數(shù)學提法數(shù)學提法 方程方程0MxKx

19、特征值問題特征值問題頻率方程頻率方程K = 2Mu|kij2mij|=0解為解為固有頻率固有頻率 12，n振型振型 1 ， 2 ， ， n固有頻率矩陣固有頻率矩陣 =diag(1，2，n)振型矩陣振型矩陣 = 1， 2， nK = K 1 ，K 2 ，K n= 12 1 ，22 2 ，n2 n固有振動固有振動 振型的正交性振型的正交性 當當 r s時，如果時，如果rs，則有，則有00TsrTsrKM可證：振型之間線性無關(guān)可證：振型之間線性無關(guān)可定義以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)的內(nèi)積可定義以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)的內(nèi)積即：振型之間彼此以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)正交即：振型之間彼此以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為

20、權(quán)正交K=xTKy, M=xTMy 當當y=x時時K=xTKx, M=xTMx 固有振動固有振動 振型正交性的物理意義振型正交性的物理意義 如果如果 x= ar r + as s 則則 xTKx= ar2 rTK r + as2 sTK srrssxbb22111222TTTrrrsssx MxbMbM固有振動固有振動 振型歸一化振型歸一化 1 令令1TrrM2TrrrK2 令令 r的某一分量為的某一分量為 1。比如取。比如取 r 的分量中絕對值最的分量中絕對值最大的分量為大的分量為 1， 2TrrrrrKMKTrrrMM固有振動固有振動 振型坐標的解耦性振型坐標的解耦性 阻尼矩陣的處理阻尼矩

21、陣的處理 T12T12diag(,)diag(,)dndnK KKM MMKKMMTdCC Rayleigh阻尼阻尼 C = M +K 11MCKKCM11KM CCMK11CKMMK C Fawzy證明證明C可對角化應(yīng)滿足下述條件之一可對角化應(yīng)滿足下述條件之一 固有振動固有振動 方程方程2()0MCK 特征方程特征方程0MxCxKx令令 q= e t20MCKn對共軛復(fù)根對共軛復(fù)根i1,2,irrdrrrdr= + rn= 2|1,2,2rrdr +rn動力響應(yīng)分析動力響應(yīng)分析 物理坐標下的方程物理坐標下的方程 ( ) tMxCxKxfx= y，且兩邊左乘，且兩邊左乘 T ，得到振型坐標下的

22、方程，得到振型坐標下的方程( )dddtM yC yK yq11111112222222( )( )( )nnnnnnnM yC yK yq tM yC yK yq tM yC yK yq t寫出分量形式寫出分量形式 動力響應(yīng)分析動力響應(yīng)分析 初始條件的處理初始條件的處理 00(0)(0)xxyy兩邊左乘兩邊左乘 TM同樣同樣 00(0)(0)xxyy0120(0)(0)diag(,)nm mmMxMxMyy0012111diag(,)nmmmyMx0012111diag(,)nmmmyMx動力響應(yīng)分析動力響應(yīng)分析 展開定理展開定理 1122nnyyyxy 彈性力彈性力 位移位移 1122()

23、snnyyy fKxKy =KKK 222111222()nnnyyy=MMM復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 方程方程 ( )MxCxKxf t引入輔助方程引入輔助方程0MxMx令令( )xq tx ( )( )0f tp t0CMAM00KBM( )AqBqp t狀態(tài)空間方程狀態(tài)空間方程復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 令令 q= e t()0AB0AB特征方程特征方程 n對共軛復(fù)根對共軛復(fù)根i1,2,irrdrrrdr= + rn=2|1,2,2rrdr +rn復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 由由()0rrAB得到得到n對對2n維共軛向量維共軛向量(特征向量特征向量) rr并有并有 1,2,rrrrrrrrrn 稱稱 r

24、為第為第r階模態(tài)向量階模態(tài)向量 復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 令令12,n 則則 這里這里 稱：稱： 為復(fù)模態(tài)矩陣為復(fù)模態(tài)矩陣 1212,nn 1212diag(,)diag(,)nn 為特征向量矩陣為特征向量矩陣 為頻率矩陣為頻率矩陣 復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 復(fù)特征向量的正交性復(fù)特征向量的正交性T0rsrrsars H0rsrrsars r，s=1，2，, ,nT0rsrrsbrs H0rsrrsbrs rrrrrrbbaa 復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 上面公式展開得上面公式展開得T0()rsrsrrsarsMCr，s=1，2，, ,nT0()rsksrrsbrs KH0()rsrsrrsarsMCH0()

25、rsksrrsbrs K復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 1212diag,nna aa a aaA分塊有分塊有12(2)diag,na aaCH12(2)diag,na aaCH(2Re)0C復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 分塊有分塊有1212diag ,nnb bb b bb 212()diag ,nb bbK H()0K H212()diag ,nb bbK 復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 復(fù)模態(tài)質(zhì)量復(fù)模態(tài)質(zhì)量Hrrrm 復(fù)模態(tài)參數(shù)復(fù)模態(tài)參數(shù)Hrkrr 復(fù)模態(tài)剛度復(fù)模態(tài)剛度HrcrrCr=1，2，, ,n復(fù)模態(tài)阻尼復(fù)模態(tài)阻尼并有并有2Re0rrrmc0rrrrkm r=1，2，, ,n復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 復(fù)模態(tài)阻尼衰

26、減系數(shù)復(fù)模態(tài)阻尼衰減系數(shù)Rerrrrrc2m|rrrrrkm復(fù)模態(tài)固有頻率復(fù)模態(tài)固有頻率2rrrrrrc=m kr=1，2，, ,n復(fù)模態(tài)阻尼比復(fù)模態(tài)阻尼比并有并有復(fù)模態(tài)阻尼固有頻率復(fù)模態(tài)阻尼固有頻率2221rdrrrr22ii1ii1rrdrrrrrrrdrrrrr= + = 復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析( )AqBqp t 物理坐標下的方程物理坐標下的方程 q= y，且兩邊左乘，且兩邊左乘 T ，得到復(fù)特征向量坐標下的方程，得到復(fù)特征向量坐標下的方程12121212diag(,)diag( , )( )nnnna aa a aab bb b btyywTTT(0)(0),(0)qxx初始條件初始條

27、件 120(0)(0)=diag(,)(0)na aazyAqz復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析0AqBq 物理坐標下的自由振動解物理坐標下的自由振動解 特征向量坐標下的解為特征向量坐標下的解為 12120diag(e ,e,e,e ,e,e)nnttttttyy 由由q= y中取出前中取出前n項，得項，得1212diag(e ,e,e) (0)diag(e ,e,e) (0)nnttttttxzz1(0)e(0)errnttrrrrrzz復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 如果系統(tǒng)以某階阻尼固有頻率振動時如果系統(tǒng)以某階阻尼固有頻率振動時 ，有，有 其中第其中第s個坐標的運動為個坐標的運動為 設(shè)設(shè)(0)e(0)errt

28、trrrrrzzx(0)e(0)errttsrsrrsrrxzziie(0) |(0)|esrrsrsrrr=|zz則則2|(0) ecos(+)rtsrsrrdrsrrxz|t+復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 一般粘性阻尼系統(tǒng)以一般粘性阻尼系統(tǒng)以r階主振動做自由振動時，階主振動做自由振動時，每個物理坐標的初相位每個物理坐標的初相位( sr r)不僅與該階主振動有不僅與該階主振動有關(guān)，還與物理坐標關(guān)，還與物理坐標s 有關(guān)，即各物理坐標初相位不有關(guān)，即各物理坐標初相位不同。因而，每個物理坐標振動時并不同時達到平衡同。因而，每個物理坐標振動時并不同時達到平衡位置和最大位置，即主振型節(jié)點（線）是變化的，位置和

29、最大位置，即主振型節(jié)點（線）是變化的，即不具備模態(tài)保持性，主振型不再是駐波形式，而即不具備模態(tài)保持性，主振型不再是駐波形式，而是行波形式。這是復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的特點是行波形式。這是復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的特點復(fù)模態(tài)分析復(fù)模態(tài)分析 簡支梁二階振型半個周期內(nèi)的變化簡支梁二階振型半個周期內(nèi)的變化（a）實模態(tài)系統(tǒng)；（）實模態(tài)系統(tǒng)；（b）復(fù)模態(tài)系統(tǒng)）復(fù)模態(tài)系統(tǒng)連續(xù)體振動桿的縱向振動桿的縱向振動軸的扭轉(zhuǎn)振動軸的扭轉(zhuǎn)振動梁的彎曲振動梁的彎曲振動桿的縱向振動桿的縱向振動 假定：假定：細長等截面桿細長等截面桿, 振動時橫截面仍保持為平面，橫截振動時橫截面仍保持為平面，橫截面上的質(zhì)點只作沿桿件縱向的振動，橫向變形忽略不計。面上的質(zhì)

30、點只作沿桿件縱向的振動，橫向變形忽略不計。則同一橫截面上各點在則同一橫截面上各點在x方向作相等的位移。方向作相等的位移。參數(shù)：桿長參數(shù)：桿長l，截面積，截面積S，材料密度，材料密度 ，彈性模量，彈性模量E桿的縱向振動桿的縱向振動 桿的縱向振動桿的縱向振動22222xuatu 微元分析：微元分析：mAEa 2桿的縱向振動桿的縱向振動 桿的縱向振動桿的縱向振動 桿的縱向振動桿的縱向振動 解解：設(shè)：設(shè) u(x,t)=X(x)T(x) )()()()(2xXtTatTxX 即即 )()()()(2xXxXatTtT 0)()(2tTtT 0)()(22 xXaxX桿的縱向振動桿的縱向振動)()(tiA

31、etT 解解為為xaCxaCxXcossin)(21時間域，初值問題時間域，初值問題空間域，邊值問題空間域，邊值問題固支邊條件固支邊條件x=0時時，u(0,t)=X(0)T(x)=0，即X(0)=0 x=l時時，u(l,t)=X(0)T(l)=0，即X(l)=0 自由邊條件自由邊條件x=0時時, , ，即，即 0)()0(), 0(tTdxdXxtu0)0(dxdXx=l時時, , ，即，即 0)()(),(tTdxldXxtlu0)(dxldX桿的縱向振動桿的縱向振動0sinla 例：例：如果兩端固支，有如果兩端固支，有xlxsin1lxlx2sin2x兩端固支桿縱向振動特征方程（頻率方程）

32、兩端固支桿縱向振動特征方程（頻率方程） 這就是兩端固支桿縱向振動的各階頻率，相應(yīng)的各階這就是兩端固支桿縱向振動的各階頻率，相應(yīng)的各階固有振型是：固有振型是： nla（n=1,2,） mEAlnalnn（n=1,2,） C2=0 0sin1laC顯然，顯然，C10，故有：，故有： xlnxaxXnnsinsin)(軸的扭轉(zhuǎn)振動軸的扭轉(zhuǎn)振動 方程方程dxMk22)(tdxxIdxxMkMk 彈性軸軸向坐標彈性軸軸向坐標x，扭轉(zhuǎn)變，扭轉(zhuǎn)變形形(x,t)，單位長度對，單位長度對x軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量I(x)，截面抗扭剛度，截面抗扭剛度為為GJ(x)。 0)()(22txIxxGJx 當轉(zhuǎn)動慣量當轉(zhuǎn)

33、動慣量I(x)，截面抗扭剛度，截面抗扭剛度GJ(x)與與x無關(guān)時無關(guān)時02222tIxGJ2222222xxIGJt梁的彎曲振動梁的彎曲振動02244tymxyEI 方程方程用分離變量法求解，令用分離變量法求解，令 )()(),(tTxYtxy02244tYmYxYEIT令令 ，則上式為：，則上式為： TdtTdYdxYdamEIIV 22442,TTYYaIV 222TTYYaIV 梁的彎曲振動梁的彎曲振動)(tiAeT 方程方程02TT 022)4(YaYxaCxaCxachCxashCxYcossin)(4321邊界條件邊界條件簡支簡支00022dxYdYx，處，0022dxYdYlx，

34、處，梁的彎曲振動梁的彎曲振動 固支固支自由自由000dxdYYx，處，0003322dxYddxYdx，處，00dxdYYlx，處，003322dxYddxYdlx，處，梁的彎曲振動梁的彎曲振動 固支固支自由自由000dxdYYx，處，0003322dxYddxYdx，處，00dxdYYlx，處，003322dxYddxYdlx，處，隨機振動隨機過程 相關(guān)函數(shù)功率譜函數(shù)激勵響應(yīng)關(guān)系 隨機過程隨機過程 樣本函數(shù)樣本函數(shù) xr(t) t ( ， ) 隨機函數(shù)隨機函數(shù) txtXk狀態(tài)狀態(tài) 1tX數(shù)字特征數(shù)字特征 均值均值 x=EX(t) 均方值均方值 x=EX2(t) 方差方差 E(X (t) x )2 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程 統(tǒng)計性質(zhì)、趨勢與時間無關(guān)統(tǒng)計性質(zhì)、趨勢與時間無關(guān) 1212,xRt tE X tX t互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 1212,xyRt tE X t Y t均值、均方值和方差為常數(shù)均值、均方值和方差為常數(shù) 相關(guān)函數(shù)是時差的函數(shù)相關(guān)函數(shù)是時差的函數(shù) xRE X t X t xyRE X t Y t各態(tài)遍歷過程各態(tài)遍歷過程 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 1 1 偶