高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)典型例題 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、典型例題一例1已知，求證證明：，三式相加，得，即說(shuō)明：這是一個(gè)重要的不等式，要熟練掌握典型例題二例2 已知是互不相等的正數(shù)，求證：證明：，同理可得：三個(gè)同向不等式相加，得 說(shuō)明：此題中互不相等，故應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號(hào)不成立特別地，時(shí)，所得不等式仍不取等號(hào)典型例題三例3 求證分析：此問(wèn)題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式，并能由這一特征，思索如何將進(jìn)行變形，進(jìn)行創(chuàng)造”證明：，兩邊同加得即同理可得：， 三式相加即得典型例題四例4 若正數(shù)、滿足，則的取值范圍是解：，令，得，或（舍去），的取值范圍是說(shuō)明：本題的常見錯(cuò)誤有二一是沒有舍去；二是忘了還原，得出前者和后者的問(wèn)題根源都是對(duì)的理解，前者忽視了后者

2、錯(cuò)誤地將視為因此，解題過(guò)程中若用換元法，一定要對(duì)所設(shè)“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之典型例題五例5 （1）求的最大值（2）求函數(shù)的最小值，并求出取得最小值時(shí)的值（3）若，且，求的最小值解：（1）即的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得此最大值（2）的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得此最小值（3）即即的最小值為2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得此最小值說(shuō)明：解這類最值，要選好常用不等式，特別注意等號(hào)成立的條件典型例題六例6求函數(shù)的最值分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件如：，應(yīng)分別對(duì)兩種情況討論，如果忽視的條件，就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤：，解：當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值當(dāng)時(shí)，又

3、，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)最小值典型例題七例7求函數(shù)的最值分析：但等號(hào)成立時(shí)，這是矛盾的！于是我們運(yùn)用函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增這一性質(zhì)，求函數(shù)的最值解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增故原函數(shù)的最小值為，無(wú)最大值典型例題八例8求函數(shù)的最小值分析：用換元法，設(shè)，原函數(shù)變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果或用函數(shù)方程思想求解解：解法一：設(shè)，故由，得：，故：函數(shù)為增函數(shù)，從而解法二：設(shè)，知，可得關(guān)于的二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：又，故有一個(gè)根大于或等于2，設(shè)函數(shù)，則，即，故說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：要知道，無(wú)實(shí)數(shù)解，即，所以原函數(shù)的最小值不是2錯(cuò)誤原因是忽視了等號(hào)成立的條件當(dāng)、為常數(shù)，且為定值，時(shí)，不能直接求最大（?。┲?，

4、可以利用恒等變形，當(dāng)之差最小時(shí)，再求原函數(shù)的最大（?。┲档湫屠}九例9求的最小值分析：此題出現(xiàn)加的形式和平方，考慮利用重要不等式求最小值解：由，得又得，即 故的最小值是說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：，故的最小值是8錯(cuò)誤的原因是，在兩次用到重要不等式當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，有和，但在的條件下，這兩個(gè)式子不會(huì)同時(shí)取等號(hào)（）排除錯(cuò)誤的辦法是看都取等號(hào)時(shí)，與題設(shè)是否有矛盾典型例題十例10 已知：，求證：分析：根據(jù)題設(shè)，可想到利用重要不等式進(jìn)行證明證明：同理： 說(shuō)明：證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是：(1)想利用三元重要不等式解決問(wèn)題；(2)不會(huì)利用重要不等式的變式；(3)不熟練證明輪換對(duì)稱不等式的常用方法因此，在證明不等

5、式時(shí)，應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu)，合理地選擇重要不等式另外，本題的證明方法在證輪換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性典型例題十一例11設(shè)，且，求的最大值分析：如何將與用不等式的形式聯(lián)系起來(lái)，是本題獲解的關(guān)鍵算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理兩邊同加之后得解：由，則有說(shuō)明：常有以下錯(cuò)解：，故兩式相除且開方得錯(cuò)因是兩不等式相除，如，相除則有不等式是解決從“和”到“積”的形式從“和”到“積”怎么辦呢？有以下變形：或典型例題十二例12已知：，且：，求證：，并且求等號(hào)成立的條件分析：由已知條件，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有，無(wú)法利用，故猜想先將所求證的式子進(jìn)行變形，看能否出現(xiàn)型，再行論證證明：等號(hào)成立，當(dāng)且

6、僅當(dāng)時(shí)由以上得即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立說(shuō)明：本題是基本題型的變形題在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式要注意靈活運(yùn)用均值不等式典型例題十三例13 已知，且，求的最大值分析：由，可得，故，令利用判別式法可求得（即）的最大值，但因?yàn)橛蟹秶南拗?，還必須綜合韋達(dá)定理展開討論僅用判別式是不夠的，因而有一定的麻煩，下面轉(zhuǎn)用基本不等式求解解法一：由，可得， 注意到可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，代入中得，故的最大值為18解法二：，代入中得：解此不等式得下面解法見解法一，下略說(shuō)明：解法一的變形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二

7、則是抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，所以解得更為簡(jiǎn)捷典型例題十四例14 若，且，求證：分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式所得三個(gè)“2”連乘而來(lái)，而證明：，又，即同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立說(shuō)明：本題巧妙利用的條件，同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于的輪換式典型例題十五例15 設(shè)，求證：分析：本題的難點(diǎn)在于不易處理，如能找出與之間的關(guān)系，問(wèn)題可得到解決，注意到：，則容易得到證明證明：，于是同理：，三式相加即得：說(shuō)明：注意觀察所給不等式的結(jié)構(gòu)，此不等式是關(guān)于的輪換式因此只需抓住一個(gè)根號(hào)進(jìn)行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性典型例題十六例16 已知：（其中表示正實(shí)數(shù)）求證

8、：分析：要證明的這一串不等式非常重要，稱為平方根，稱為算術(shù)平均數(shù)，稱為幾何平均數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)證明：，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立，等號(hào)成立條件是“”，等號(hào)成立條件是“”，等號(hào)成立條件是“”說(shuō)明：本題可以作為均值不等式推論，熟記以上結(jié)論有利于處理某些復(fù)雜不等式的證明問(wèn)題本例證明過(guò)程說(shuō)明，不等式性質(zhì)中的比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法典型例題十七例17設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，求證分析：由條件可得到， 同號(hào)為方便，不妨都設(shè)為正將求證式子的左邊展開后可看出有交叉項(xiàng)和無(wú)法利用條件，但使用均值不等式變成乘積后，重新搭配，可利用條件求證證明：同理，由知與同號(hào)，與同號(hào)，同號(hào)不妨都設(shè)為正，即說(shuō)明：本題是根據(jù)題意分析

9、得，同號(hào)，然后利用均值不等式變形得證換一個(gè)角度，由條件的特點(diǎn)我們還會(huì)聯(lián)想到使用二次方程根的判別式，可能會(huì)有另一類證法實(shí)際上，由條件可知，為同號(hào)，不妨設(shè)同為正又，不等式，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立（根據(jù)二次三項(xiàng)式恒為正的充要條件），兩式相加得，它對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立同上可得：典型例題十八例18 如下圖所示，某畜牧基地要圍成相同面積的羊圈4間，一面可利用原有的墻壁，其余各面用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)為36m問(wèn)每間羊圈的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，羊圈面積最大？分析：可先設(shè)出羊圈的長(zhǎng)和寬分別為，即求的最大值注意條件的利用解：設(shè)每間羊圈的長(zhǎng)、寬分別為，則有，即設(shè)上式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”此時(shí)羊圈長(zhǎng)、寬分別為m，3m時(shí)面積最大說(shuō)明：(1)

10、首先應(yīng)設(shè)出變量（此處是長(zhǎng)和寬），將題中條件數(shù)學(xué)化（即建立數(shù)學(xué)模型）才能利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解；(2)注意在條件之下求積的最大值的方法：直接用不等式，即可出現(xiàn)積當(dāng)然，也可用“減少變量”的方法：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”典型例題十九例19 某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，房屋正面的造價(jià)為1200元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為800 元/m2，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：這是一個(gè)求函數(shù)最小值的問(wèn)題，關(guān)鍵的問(wèn)題是設(shè)未知數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系從已知條件看，矩形地面面積為12m2，但長(zhǎng)和寬不知道，故考慮設(shè)寬為m，則長(zhǎng)為

11、m，再設(shè)總造價(jià)為由題意就可以建立函數(shù)關(guān)系了解：設(shè)矩形地面的正面寬為m，則長(zhǎng)為m；設(shè)房屋的總造價(jià)為根據(jù)題意，可得：當(dāng)，即時(shí)，有最小值34600元因此，當(dāng)矩形地面寬為4m時(shí)，房屋的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是34600元說(shuō)明：本題是函數(shù)最小值的應(yīng)用題，這類題在我們的日常生活中經(jīng)常遇到，有求最小值的問(wèn)題，也有求最大值的問(wèn)題，這類題都是利用函數(shù)式搭橋，用均值不等式解決，解決的關(guān)鍵是等號(hào)是否成立，因此，在解這類題時(shí)，要注意驗(yàn)證等號(hào)的成立典型例題二十例20某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)（長(zhǎng)方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每1m長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每1m長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每1m2

12、造價(jià)20元計(jì)算：(1)倉(cāng)庫(kù)底面積的最大允許值是多少？ (2)為使達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？分析：用字母分別表示鐵柵長(zhǎng)和一堵磚墻長(zhǎng)，再由題意翻譯數(shù)量關(guān)系解：設(shè)鐵柵長(zhǎng)為m，一堵磚墻長(zhǎng)為m，則有.由題意得應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理，得即：從而：因此的最大允許值是，取得此最大值的條件是，而，由此求得，即鐵柵的長(zhǎng)應(yīng)是 說(shuō)明：本題也可將代入（*）式，導(dǎo)出關(guān)于的二次方程，利用判別式法求解典型例題二十一例21 甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度的平方成正比，且比例系數(shù)為；固定部分為元 （1）把全程運(yùn)輸成本元表示為速度的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； （2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？分析：這是1997年的全國(guó)高考試題