第2章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、 是以是以數(shù)學(xué)規(guī)劃論數(shù)學(xué)規(guī)劃論為理論基礎(chǔ)，以為理論基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)為工具的一為工具的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。大多是多變量有約束的非線性規(guī)大多是多變量有約束的非線性規(guī)劃問題，其劃問題，其是是求解多變量非線性函數(shù)的極值問題求解多變量非線性函數(shù)的極值問題。因此，因此，將介紹與此有關(guān)的一些將介紹與此有關(guān)的一些。主要介紹主要介紹的內(nèi)容如下的內(nèi)容如下： 二次型與正定矩陣二次型與正定矩陣 函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度 函數(shù)的泰勒近似展開式和黑塞矩陣函數(shù)的泰勒近似展開式和黑塞矩陣 無約束優(yōu)化問題的極值條件無約束優(yōu)化問題的極值條件 凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸函數(shù)與凸規(guī)劃 約束優(yōu)化問題的極值條件約

2、束優(yōu)化問題的極值條件2.1 二次型與正定矩陣二次型與正定矩陣在介紹在介紹優(yōu)化方法優(yōu)化方法時(shí)，常常是將時(shí)，常常是將二次型函數(shù)二次型函數(shù)作為對象。其原因除了作為對象。其原因除了二次型函數(shù)二次型函數(shù)在工程優(yōu)化問題中有在工程優(yōu)化問題中有較多的應(yīng)用較多的應(yīng)用且且比較簡單比較簡單之外，還因?yàn)橹?，還因?yàn)槿魏我粋€(gè)任何一個(gè)復(fù)雜的多元函數(shù)復(fù)雜的多元函數(shù)都可采用都可采用泰勒二次展開式泰勒二次展開式做局部逼近做局部逼近，使，使復(fù)復(fù)雜函數(shù)雜函數(shù)簡化為簡化為二次函數(shù)二次函數(shù)。因此，需要討論有關(guān)。因此，需要討論有關(guān)二次型函數(shù)二次型函數(shù)的問題。的問題。 1. 二次型函數(shù)二次型函數(shù)所謂所謂二次型函數(shù)二次型函數(shù)是指含有是指含有

3、 n 個(gè)實(shí)變量個(gè)實(shí)變量 x1，x2，xn的一個(gè)二次的一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)齊次多項(xiàng)式函數(shù)，其，其表達(dá)式表達(dá)式為為2211 112 1 21121 2 1222222112211() nnnnnnnnnnnnnijijijf Xa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x（2-1）式中，式中，aij (i，j = 1, 2, , n)給定的實(shí)常數(shù)，稱為給定的實(shí)常數(shù)，稱為二次型的系數(shù)二次型的系數(shù)。111 11221221 122221 12211121212221212()()() () , nnnnnnnnnnnininnnnnif Xx a xa x

4、a xx a xa xa xx a xa xa xaaaxaaaxx xxaaax ,iiixxXx 111212122212 nnnnnnaaaaaaAaaa()Tf XX AX則則式式(2-2a)可簡記為可簡記為 (2-2a)若令若令(2-2b)，可寫成矩陣形式，可寫成矩陣形式式中，式中，矩陣矩陣A 是由函數(shù)是由函數(shù) f (X) 中中各項(xiàng)所含系數(shù)所組成的各項(xiàng)所含系數(shù)所組成的 nn 階矩陣階矩陣。若式中若式中 aij = aji ( i, j = 1, 2, , n)為為常系數(shù)常系數(shù)，則稱，則稱式式(2-1)和和式式(2-2a)為為二次型函數(shù)二次型函數(shù)或簡稱或簡稱實(shí)二次型實(shí)二次型。A 稱為稱

5、為二次型矩陣二次型矩陣，因?yàn)椋驗(yàn)?aij = aji ，所以，所以 A =AT，稱為，稱為對稱矩陣對稱矩陣，因此因此。 在采用在采用泰勒二次近似展開式泰勒二次近似展開式討論討論函數(shù)的極值函數(shù)的極值時(shí)，常要分析時(shí)，常要分析二次型二次型函數(shù)函數(shù)是否是否正定正定或或負(fù)定負(fù)定。二次型的正定與負(fù)定的定義二次型的正定與負(fù)定的定義簡述如下：簡述如下：2. 正定矩陣正定矩陣如果對于如果對于任意的非零向量任意的非零向量 X = x1, x2, ，xnT，即，即x1，x2，xn不全為零，不全為零，若有若有 XTAX 0，則稱，則稱此二次型此二次型 f (X)=XTAX 是正定二次是正定二次 型型，其對應(yīng)的其對應(yīng)

6、的矩陣矩陣A 稱為稱為正定矩陣正定矩陣；若有若有 XTAX 0，則稱，則稱此二次型此二次型 f (X) = XTAX 為半正定二次型為半正定二次型，并稱，并稱其相應(yīng)的其相應(yīng)的矩陣矩陣A為為半正定矩陣半正定矩陣；若有若有XTAX 0，則點(diǎn)為，則點(diǎn)為極小點(diǎn)極小點(diǎn)；若；若 0 f Xf Xf x xf xx若若 f (x1, x2) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處取得極小值取得極小值，則要求在點(diǎn)附，則要求在點(diǎn)附近的一切近的一切 X 均均滿足條件滿足條件(*)(*)(*)12,TXxx依據(jù)依據(jù)這一條件這一條件，應(yīng)有，應(yīng)有 (*)(*)(*)(*)1()()()() 2Tf Xf XXXH XXX此時(shí)，此時(shí)，X(*)為

7、極小點(diǎn)為極小點(diǎn)。為使。為使上式成立上式成立，根據(jù)，根據(jù)二次型的理論二次型的理論可知，只要可知，只要函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣 （即即黑塞矩陣黑塞矩陣H(X(*)）必須是）必須是正定正定矩陣矩陣。 2(*)()f X由此可得，由此可得，二元函數(shù)二元函數(shù) f (x1,x2) 在在點(diǎn)點(diǎn) X(*) 取得取得極小值極小值的的充分條件充分條件是：是：函數(shù)函數(shù) f (x1,x2) 在點(diǎn)在點(diǎn) X(*) 處的二階導(dǎo)數(shù)矩陣（即黑塞矩陣處的二階導(dǎo)數(shù)矩陣（即黑塞矩陣H(X(*)）為）為正定正定。同理，同理，函數(shù)函數(shù)在在 X(*) 處取得處取得極大值極大值的的充分條件充分條件是：是：函數(shù)函數(shù) f (x1,

8、x2) 在點(diǎn)在點(diǎn) X(*) 處的黑塞矩陣處的黑塞矩陣 H(X(*) 為為負(fù)定負(fù)定。 TnxxxX(*)(*)2(*)1(*),上述結(jié)論上述結(jié)論可推廣至可推廣至多元函數(shù)的極值問題多元函數(shù)的極值問題。即多元函數(shù)即多元函數(shù) f (x1，x2，xn) 在點(diǎn)在點(diǎn) 取得取得極極小值的充分必要條件小值的充分必要條件是：是：函數(shù)函數(shù) f (X) 在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的梯度為零梯度為零，二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣（即（即黑塞矩陣黑塞矩陣H(X(*)）為正定為正定，即，即0)(*)Xf（2-17）（2-18）H(X(*)正定正定TnxxxX(*)(*)2(*)1(*),同理，多元函數(shù)同理，多元函數(shù) f (x1，x2，

9、xn) 在點(diǎn)在點(diǎn)取得取得極大值的極大值的是：是：函數(shù)函數(shù) f (X)在該點(diǎn)在該點(diǎn)的的梯度為零梯度為零，二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣為負(fù)定二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣為負(fù)定。 由于由于一個(gè)函數(shù)的極小點(diǎn)一個(gè)函數(shù)的極小點(diǎn)(局部極值點(diǎn)）局部極值點(diǎn)）并不是唯一的，而并不是唯一的，而優(yōu)化問題優(yōu)化問題總是期望能獲得總是期望能獲得函數(shù)的全域最小點(diǎn)（全域極值點(diǎn)）函數(shù)的全域最小點(diǎn)（全域極值點(diǎn)）。為此，就需知在。為此，就需知在什么情況下什么情況下所獲得的所獲得的極小點(diǎn)極小點(diǎn)就是就是全域最小點(diǎn)全域最小點(diǎn)，這就涉及到，這就涉及到凸集凸集、凸函凸函數(shù)數(shù)與與凸規(guī)劃問題凸規(guī)劃問題。2.5 凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸函數(shù)與凸規(guī)劃1. 凸集凸集設(shè)設(shè) D 為為 n 維

10、歐氏空間維歐氏空間Rn中的中的一個(gè)集合一個(gè)集合。如果在。如果在D內(nèi)內(nèi)任取兩任取兩點(diǎn)點(diǎn)X (1)和和X (2)，其連線上的，其連線上的所有點(diǎn)均在所有點(diǎn)均在D內(nèi)，則稱內(nèi)，則稱這種集合這種集合D為為 n 維歐氏空維歐氏空間間Rn 的的一個(gè)凸集一個(gè)凸集。圖圖2-5(a)、(c)是是二維空間的一個(gè)凸集二維空間的一個(gè)凸集；圖圖2-5 (b)是是非凸集非凸集。圖圖2-5 凸集與非凸集凸集與非凸集 X (1)、X (2)兩點(diǎn)之間的兩點(diǎn)之間的連線連線，可用，可用數(shù)學(xué)式數(shù)學(xué)式表達(dá)為表達(dá)為（2-19）(1)(2)(1)XXXD式中，式中，為由為由01(01)間的間的任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)。即對。即對0，1上一切上一切值得

11、到的值得到的點(diǎn)點(diǎn) X 的全體組成的全體組成X (1)、X (2) 點(diǎn)點(diǎn) 的連線的連線。則則凸集凸集的數(shù)學(xué)定義式的數(shù)學(xué)定義式為為X (1)，X (2) DX =X (1) + (1一一) X (2) D，01且且凸函數(shù)凸函數(shù)的數(shù)學(xué)定義的數(shù)學(xué)定義如下：如下：設(shè)設(shè) f (X)為定義在凸集為定義在凸集D上的一個(gè)函數(shù)，上的一個(gè)函數(shù)，X (1)、X (2) 為為D 上的任意上的任意兩點(diǎn)，若對于任意實(shí)數(shù)兩點(diǎn)，若對于任意實(shí)數(shù)(01)恒有恒有2. 凸函數(shù)凸函數(shù)(1)(2)(1)(2)(1)()(1) ()fXXf Xf X（2-20）則稱則稱 f (X)為為凸集凸集D上的上的凸函數(shù)凸函數(shù)。若若式式(2-20)中

12、的中的 “” 為為 “”，則稱，則稱 f (X)為為嚴(yán)格凸函數(shù)嚴(yán)格凸函數(shù)；若若式式(2-20)中不等號反向，即中不等號反向，即 “” 為為 “” ，則稱，則稱 f (X)為為D上的上的凹凹函數(shù)函數(shù)。 凸函數(shù)凸函數(shù)的的幾何意義幾何意義可用可用一元函數(shù)一元函數(shù)情形說明，如情形說明，如圖圖2-6所示，若所示，若函數(shù)函數(shù) f (X)在區(qū)間在區(qū)間a, b內(nèi)為內(nèi)為凸函數(shù)凸函數(shù)，則，則函數(shù)函數(shù) f (X)曲線上任意兩點(diǎn)所連的直線曲線上任意兩點(diǎn)所連的直線不會落在不會落在曲線弧線曲線弧線以下。以下。圖圖2-6 凸函數(shù)的幾何意義凸函數(shù)的幾何意義：(1)設(shè)設(shè) f (X)為定義在為定義在凸集凸集D上的一個(gè)上的一個(gè)凸函

13、數(shù)凸函數(shù)，則對于，則對于任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)( 0)，則，則函數(shù)函數(shù) f (X)在在凸集凸集上也是上也是凸函數(shù)凸函數(shù)；(2)設(shè)設(shè) f1(X)和和 f2(X)為定義在為定義在凸集凸集D上的上的兩個(gè)凸函數(shù)兩個(gè)凸函數(shù)，則，則 f1(X)和和 f2(X)的的線性組合函數(shù)線性組合函數(shù) f(X) = f1(X) + f2(X)在在D上也是上也是凸函數(shù)凸函數(shù)； (3)若若 f(X)為定義在為定義在凸集凸集D上的上的函數(shù)函數(shù)，且存在連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，則，且存在連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，則 f(X)為為D上的上的凸函數(shù)的充要條件凸函數(shù)的充要條件是：是： f (X)的的黑塞矩陣黑塞矩陣H(X)處處是半正處處是半正定定的。若的。若黑塞

14、矩陣黑塞矩陣H(X)對一切對一切XD都都正定正定，則，則 f(X)是是D上的上的嚴(yán)格凸函嚴(yán)格凸函數(shù)數(shù)。利用以上性質(zhì)利用以上性質(zhì)，就，就可以判別可以判別。如果如果 f(X)是凸集是凸集D上的上的凸函數(shù)凸函數(shù)，并且在，并且在D內(nèi)有內(nèi)有極小點(diǎn)極小點(diǎn)，則，則極小極小點(diǎn)是唯一的點(diǎn)是唯一的。3. 凸規(guī)劃凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題對于約束優(yōu)化問題min f (X) XRns.t. gu (X) 0,u = 1, 2, , m如果如果目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) f(X)和和所有的不等式約束所有的不等式約束gu(X)0（u =1,2, m）均為）均為凸凸函數(shù)函數(shù)，則稱，則稱此約束優(yōu)化問題此約束優(yōu)化問題為為凸規(guī)劃凸規(guī)劃。并需指

15、出的是，如果不等式約。并需指出的是，如果不等式約束的形式為束的形式為gu(X)0，則，則 gu (X)（u =1,2, m）應(yīng)為）應(yīng)為凹函數(shù)凹函數(shù)。為：為：凸規(guī)劃的任何局部極小解一定是凸規(guī)劃的任何局部極小解一定是全域最優(yōu)解全域最優(yōu)解。 因此，對于因此，對于凸規(guī)劃問題凸規(guī)劃問題，只要求出，只要求出一個(gè)局部極小解一個(gè)局部極小解，它就是全域它就是全域最優(yōu)解最優(yōu)解。 所以，所以，優(yōu)化理論與方法優(yōu)化理論與方法常限于討論常限于討論。需要指出的是需要指出的是，實(shí)際工程優(yōu)化問題實(shí)際工程優(yōu)化問題往往往往不是凸規(guī)劃問題不是凸規(guī)劃問題。所以，采用所以，采用常用的優(yōu)化方法常用的優(yōu)化方法，求得的最優(yōu)解求得的最優(yōu)解往往是

16、往往是局部最優(yōu)解局部最優(yōu)解。而且，對于一個(gè)復(fù)雜的工程優(yōu)化問題，往往而且，對于一個(gè)復(fù)雜的工程優(yōu)化問題，往往難以判斷難以判斷其是否為凸規(guī)劃其是否為凸規(guī)劃問題。問題。為此，在采用為此，在采用迭代方法求解迭代方法求解時(shí)，常從時(shí)，常從多個(gè)初始點(diǎn)多個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)行不同出發(fā)，進(jìn)行不同的迭代，以求得多個(gè)局部極小點(diǎn)，然后比較這些局部極小點(diǎn)，最后得的迭代，以求得多個(gè)局部極小點(diǎn)，然后比較這些局部極小點(diǎn)，最后得到一個(gè)到一個(gè)近似全域極小點(diǎn)近似全域極小點(diǎn)，作為該，作為該問題的最優(yōu)解問題的最優(yōu)解。2.6 約束優(yōu)化問題的極值條件約束優(yōu)化問題的極值條件求解求解約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題min(), . . ()0 (1,2,)

17、 ()0 (1,2, )nuvf XXRst gXumh Xvp的實(shí)質(zhì)的實(shí)質(zhì)就是在所有的就是在所有的約束條件約束條件所形成的所形成的可行域內(nèi)可行域內(nèi)，求得，求得目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的，即，即。因而因而約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題比比無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題更為復(fù)雜。更為復(fù)雜。約束優(yōu)化問題的約束優(yōu)化問題的極值點(diǎn)極值點(diǎn)可能出現(xiàn)可能出現(xiàn)兩種情況兩種情況：一種一種是如是如圖圖2-7(a)所示，即所示，即目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)的的極值點(diǎn)極值點(diǎn)X * 處于處于可行域可行域 D之之內(nèi)內(nèi)，故，故目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)X *即為即為該約束優(yōu)化問題的該約束優(yōu)化問題的極值點(diǎn)極值點(diǎn)；另一種另一種如如圖圖2-7(b)

18、所示，即某約束邊界所示，即某約束邊界 g i (X) = 0 將將目標(biāo)函數(shù)的自目標(biāo)函數(shù)的自然極值點(diǎn)然極值點(diǎn)隔到隔到可行域可行域 D之外之外，因此這時(shí)，因此這時(shí)約束優(yōu)化問題的極值點(diǎn)約束優(yōu)化問題的極值點(diǎn)不是不是目目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)函數(shù)的自然極值點(diǎn)自然極值點(diǎn)，而是，而是該約束邊界該約束邊界g i (X) = 0 與與目標(biāo)函數(shù)等值線的目標(biāo)函數(shù)等值線的切點(diǎn)切點(diǎn)X *。 圖圖2-7 約束優(yōu)化問題極值點(diǎn)約束優(yōu)化問題極值點(diǎn)(a)極值點(diǎn)在可行域內(nèi)極值點(diǎn)在可行域內(nèi) (b)極值點(diǎn)在可行域的邊界上極值點(diǎn)在可行域的邊界上 min (). . ()0 (1,2, )vf Xst h Xvp1(, )()()pvvvL Xf X

19、h X由由高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)可知，對于可知，對于等式約束等式約束優(yōu)化問題優(yōu)化問題可建立如下可建立如下拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) (2-21)(2-22)12,Tn *(, )0L X*1()()0 (1,2, ,; )pvvvvf Xh Xvp pn不全為零式中，式中， 為為拉格朗日乘子向量拉格朗日乘子向量。令。令 ，得，得(2-23)式式(2-23)就是就是等式約束問等式約束問題在點(diǎn)題在點(diǎn) X * 取得極值的取得極值的必要條必要條件件。式式(2-23)的的幾何意義幾何意義可以可以解釋解釋為：在等式約束的極值為：在等式約束的極值點(diǎn)上，目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度等點(diǎn)上，目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度等于諸約束函數(shù)梯度的線性

20、組于諸約束函數(shù)梯度的線性組合。合。如如圖圖2-8所示，在兩個(gè)等所示，在兩個(gè)等式約束的交線式約束的交線 E上的上的點(diǎn)點(diǎn)X *，約束函數(shù)的梯度與目標(biāo)函數(shù)約束函數(shù)的梯度與目標(biāo)函數(shù)的梯度共面，因此的梯度共面，因此，故，故X *就是就是極值點(diǎn)極值點(diǎn)。圖圖2-8等式約束問題的極值條件等式約束問題的極值條件 min (). . ()0 (1,2,)uf Xst gXum0(1,2,)n uxum2min (). . ()0 (1,2,)un uf Xst gXxum21(, ,)()()muun uuL XXf XgXx對于對于不等式約束不等式約束優(yōu)化問題優(yōu)化問題引入引入 m個(gè)個(gè)松弛變量松弛變量，可將上面的

21、，可將上面的不等式約束不等式約束優(yōu)化問題優(yōu)化問題變成變成(2-24)(2-25)建立建立這一問題這一問題的的拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)式中，式中， 為為松弛變量組成的松弛變量組成的向量向量。12,Tnnn mXxxx(, , )0L XX12()()0()020 (1,2,)muuuun uuun un uLf XgXXLgXxLxumx 則有則有(2-26)0u0n ux()0ugX ()0ugX 式中，當(dāng)式中，當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 和和 ，這說明點(diǎn)，這說明點(diǎn) X 在約束邊界在約束邊界上，上， 為點(diǎn)為點(diǎn) X 的的起作用約束起作用約束。 注意到注意到約束條件約束條件為為 “” 的形式，可知約束函數(shù)的梯度

22、方向指的形式，可知約束函數(shù)的梯度方向指向可行域外，為滿足向可行域外，為滿足 ， 必須必須大于零大于零；而當(dāng)；而當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 和和 ，這說明，這說明點(diǎn)點(diǎn) X 在在可行域內(nèi)可行域內(nèi)。 0LX， u0u0n ux()0ugX 令令該拉格朗日函數(shù)的該拉格朗日函數(shù)的梯度等于零梯度等于零，即使，即使()0()ikg XiI*()()0 0 ()kiii Iikf Xg XiI設(shè)設(shè) 為點(diǎn)為點(diǎn) X * 的的 n 個(gè)起作用約束個(gè)起作用約束，且，且 X * 是極值是極值點(diǎn)，則由點(diǎn)，則由式式(2-26)及其分析可知，必有及其分析可知，必有（2-27）*()0f X0i式式(2-27)就是就是不等式約束優(yōu)化問題的

23、不等式約束優(yōu)化問題的極值條件極值條件，稱，稱Kuhn-Tucker條件條件，簡稱，簡稱 K-T條件條件。該條件表明該條件表明，若，若設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)點(diǎn) X *是是函數(shù)函數(shù) f (X)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)，要么，要么 （ 如如圖圖2-9所示，此時(shí)所示，此時(shí) ），要么），要么目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度位于諸起作位于諸起作用約束梯度所構(gòu)成的用約束梯度所構(gòu)成的夾角夾角或或錐體之內(nèi)錐體之內(nèi)。 *()f X*()ig X0i也就是說也就是說，目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度，目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度等于諸起作用約束梯等于諸起作用約束梯度度 的的 非負(fù)線性組合（如非負(fù)線性組合（如圖圖2-10所示，此時(shí)所示，此時(shí) ）。）。 圖圖2-9極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù) 圖圖2-10極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù) 的梯度為零的梯度為零 的梯度不為零的梯度不為零應(yīng)該指出應(yīng)該指出，K-T 條件條件是是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件多元函數(shù)取得約束極值的必要條件，既，既可以用來作為可以用來作為約束極值點(diǎn)的判別條件約束極值點(diǎn)的判別條件，又可以用來直接，又可以用來直接求解比較簡求解比較簡單的約束優(yōu)化問題單的約束優(yōu)化問題。但但 K-T條件條件不是不是多元函數(shù)取得約束極值的充分條件多元函數(shù)取得約束極值的充分條件。只有當(dāng)目。只有