線性代數(shù)：5-3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

1、第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第五章特征值問題與二次型第五章特征值問題與二次型實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化方法實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化方法 1、特征值全為實(shí)數(shù)、特征值全為實(shí)數(shù). .從而對(duì)應(yīng)的特征向量全為從而對(duì)應(yīng)的特征向量全為實(shí)向量實(shí)向量. .說明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說說明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣 3、屬于不同特征值的特征向量必正交、屬于不同特征值的特征向量必正交.n階方陣階方陣A的的r 重特征值，則必有重特征值，則必有 . r AIn r 一、實(shí)對(duì)稱矩陣一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量之特性：實(shí)對(duì)稱矩陣的

2、特征值與特征向量之特性：2、對(duì)每個(gè)特征值、對(duì)每個(gè)特征值 ，都有，都有 ，即若，即若是是m 證明證明,21222111 AppApp TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 12.pp即即 與與 正正交交. 021 ppT,TAA 因?yàn)橐驗(yàn)锳對(duì)稱，即對(duì)稱，即 由性質(zhì)由性質(zhì)1，2，3可得：實(shí)對(duì)稱矩陣必正交相似可得：實(shí)對(duì)稱矩陣必正交相似1TAQQQQ 問題：如何尋找正交陣問題：如何尋找正交陣QQ，使使TAQQ 稱稱A可可于對(duì)角陣，即存在正交陣于對(duì)角陣，即存在正交陣Q，使，使 將矩陣將矩陣 正交對(duì)

3、角化正交對(duì)角化. .102012220A 1122331/32/32/31112/32/31/33332/31/32/3quququ ，二、實(shí)對(duì)稱矩陣二、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化方法的正交對(duì)角化方法31239303AI 特特征征值值= ，= ，TTT123(1,2,2)(2, 2,1)(2,1, 2)uuu ，對(duì)應(yīng)的特征向量：對(duì)應(yīng)的特征向量：兩兩正交，規(guī)范化得兩兩正交，規(guī)范化得,123uuu T123QqqqAQQ ，令令2 將矩陣將矩陣 正交對(duì)角化正交對(duì)角化. . 0111101111011110A 312341313AI 特特征征值值，T4(1, 1, 1,1)u TTT123(1,1,0,

4、0)(1,0,1,0)( 1,0,0,1)uuu ，利用利用 schmidt正交化方法，將正交化方法，將 正交化：正交化：123,u u u對(duì)單重特征值對(duì)單重特征值 4330AI x ，由由得得特特征征向向量量對(duì)對(duì)3重特征值重特征值 ，取，取(AI) x = 0 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系1231 T11T2122111T3132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1,1,3 3 3uuuuuu ，則是則是A的的4個(gè)兩兩正交的特征向量個(gè)兩兩正交的特征向量1234,u 312412341234,uqqqqu ，規(guī)范化：規(guī)范化：取取 123412161 2 31 212161 2

5、 31 2,0261 2 31 2003 2 31 2Qq q q q 1113 TAQ Q 則則根據(jù)上述討論，將對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的具體根據(jù)上述討論，將對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的具體步驟步驟為：為：4.將將3中所有特征向量組合后即得正交陣中所有特征向量組合后即得正交陣Q.1.求出求出A的所有不相等的特征值的所有不相等的特征值,;12r ,2.求出求出 的基礎(chǔ)解系，的基礎(chǔ)解系， 01,2,iAIxir 即得屬于即得屬于i 的線性無關(guān)的特征向量；的線性無關(guān)的特征向量；3.若若i 為單重特征值，將對(duì)應(yīng)的特征向量規(guī)為單重特征值，將對(duì)應(yīng)的特征向量規(guī)范化；范化；若若i 為多重特征值，將為多重特征值，將2中的基

6、礎(chǔ)解系正交中的基礎(chǔ)解系正交化，再規(guī)范化；化，再規(guī)范化；TAQ Q 則則3A14, 2,32, TT23(1,0,1) ,(0,1,2)uu且對(duì)應(yīng)于且對(duì)應(yīng)于1的特征向量為，求的特征向量為，求 A T11,2, 1 2,32必有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，且它們都與正交必有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，且它們都與正交1 即滿足即滿足T10(1,2, 1)0,xx 取其一個(gè)基礎(chǔ)解系：取其一個(gè)基礎(chǔ)解系： 123110,201112Pu u 11 61 31 65 61 31 61 31 31 3P 11412122222121APPPP 取取 TT23(1,0,1) ,(0,1,2)uuTT322233222,(1,0,1) ,( 1,1,1),uuu 31212312316131226013161213qqq ，對(duì)對(duì) 正交化：正交化： ,23u u再對(duì)單位化得：再對(duì)單位化得：,123 令，則令，則Q為為正交陣正交陣. 有有 123,Qq q q T11,2, 1, TT412122222121AQ QQQ T11232T362,00TqAIqqqqq T1T12T36,0,0qqqq T116q q 1662616,26, 1616 121242121 1211212422222121121AI A 123,Qq