求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解(第1次課)

1、1第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解內(nèi)容：內(nèi)容：本講針對一元微積分學(xué)補(bǔ)充極限、導(dǎo)數(shù)、本講針對一元微積分學(xué)補(bǔ)充極限、導(dǎo)數(shù)、 積分相關(guān)運(yùn)算；介紹積分相關(guān)運(yùn)算；介紹Funtool符號計(jì)算器符號計(jì)算器目的：目的：學(xué)習(xí)極限學(xué)習(xí)極限 / 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) / 積分相關(guān)函數(shù)的指令實(shí)積分相關(guān)函數(shù)的指令實(shí) 現(xiàn)，為學(xué)習(xí)微分方程數(shù)值解作準(zhǔn)備現(xiàn)，為學(xué)習(xí)微分方程數(shù)值解作準(zhǔn)備要求：要求：能夠解決高等數(shù)學(xué)中的極限能夠解決高等數(shù)學(xué)中的極限/導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)/積分求解積分求解 問題；了解并會使用問題；了解并會使用Funtool符號計(jì)算器符號計(jì)算器掌握極限掌握極限(左、右極限左、右極限) 函數(shù)函數(shù) limit掌握導(dǎo)數(shù)

2、掌握導(dǎo)數(shù)(1階導(dǎo)、高階導(dǎo)、偏導(dǎo)階導(dǎo)、高階導(dǎo)、偏導(dǎo)) 函數(shù)函數(shù) diff掌握積分掌握積分(不定積分、定積分、數(shù)值積分不定積分、定積分、數(shù)值積分) 函數(shù)函數(shù) int trapz quad quadl quad8第三講 極限、導(dǎo)數(shù)、積分(補(bǔ)充)2第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求極限、求導(dǎo)數(shù)與求積分. 極限極限, ,導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,積分是我們在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸積分是我們在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸過的過的最基本也是最重要最基本也是最重要的概念的概念. .一方面它們是很多一方面它們是很多數(shù)學(xué)工具的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具的基礎(chǔ)( (比如微分方程比如微分方程););另一方面它們又另一方面它們又

3、是工程計(jì)算和科學(xué)研究直接面對的問題是工程計(jì)算和科學(xué)研究直接面對的問題. . 微分微分( (導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)) )運(yùn)算比較簡單運(yùn)算比較簡單, ,任何一個(gè)由基本初任何一個(gè)由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則及復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)等函數(shù)經(jīng)過四則及復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù), ,都可以用都可以用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則算出它們的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則算出它們的導(dǎo)數(shù). . 積分運(yùn)算則相對復(fù)雜得多積分運(yùn)算則相對復(fù)雜得多, ,仍有許多函數(shù)仍有許多函數(shù)“積積不出來不出來”,”,由于它們的原函數(shù)無法由基本初等函數(shù)由于它們的原函數(shù)無法由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則及復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成經(jīng)過四則及復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成, ,計(jì)算這類計(jì)算這類定積分問題定積分問題我我們也只能采用們

4、也只能采用數(shù)值方法數(shù)值方法. . 借助借助 MATLAB MATLAB 我們得以快速解決這些問題我們得以快速解決這些問題! !3第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解基本調(diào)用格式：基本調(diào)用格式：limit(f)功能功能:計(jì)算計(jì)算limit(f,x,a)功能功能:計(jì)算計(jì)算limit(f,x,inf)功能功能:計(jì)算計(jì)算limit(f,x,a,right)功能功能:計(jì)算計(jì)算limit(f,x,a,left)功能功能:計(jì)算計(jì)算求極限運(yùn)算的調(diào)用格式lim( )0f xxlim( )f xxalim( )f xxlim( )f xxalim( )f xxa注意：注意：默認(rèn)默認(rèn)x趨于

5、趨于0；在左，右極限在左，右極限不相等，或有不相等，或有一個(gè)不存在時(shí)，一個(gè)不存在時(shí)，默認(rèn)為求右極默認(rèn)為求右極限；限；4第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求極限運(yùn)算的應(yīng)用示例應(yīng)用示例（熟悉應(yīng)用類型應(yīng)用示例（熟悉應(yīng)用類型）：）：例例1 求極限求極限syms x; y=(1+tan(x)/(1+sin(x)(1/x3); limit(y)例例2 求極限求極限syms n; y=(1+1/n)n; limit(y,n,inf) 例例3 求極限求極限syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x); limit(y,x,3,left)311ta nlim

6、()1s in0 xxxxs inlim5ln (s in)3xxxexlim(11)nnn 5第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的調(diào)用格式1 一元函數(shù)求導(dǎo)一元函數(shù)求導(dǎo)基本調(diào)用格式：基本調(diào)用格式：diff(f) 功能功能-求函數(shù)求函數(shù)f的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)diff(f,n) 功能功能-求函數(shù)求函數(shù)f的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用示例：應(yīng)用示例：例例4 求求的一階、二階導(dǎo)數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)syms a b x;y=(a*x+tan(3*x)(1/2)+sin(x)*cos(b*x);d1y=diff(y), disp(*), pretty(d1y), disp(*)

7、d2y=diff(y,2), disp(*) , pretty(d2y), 1 2()(ta n 3)s inc o s ()fxa xxxb x6第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的調(diào)用格式2 多項(xiàng)式擬合求導(dǎo)（多項(xiàng)式擬合求導(dǎo)（表達(dá)式未知或不易求導(dǎo)表達(dá)式未知或不易求導(dǎo)）方法說明：方法說明：先利用先利用polyfit將函數(shù)擬合成多項(xiàng)式函數(shù)，然后利用將函數(shù)擬合成多項(xiàng)式函數(shù)，然后利用多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)命令多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)命令polyder求導(dǎo)或求導(dǎo)或diff求導(dǎo)求導(dǎo)應(yīng)用示例：應(yīng)用示例：例例5 用用5階多項(xiàng)式擬合函數(shù)階多項(xiàng)式擬合函數(shù)并求并求x=2處的二階導(dǎo)函數(shù)值處的二階

8、導(dǎo)函數(shù)值x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.2+exp(x.2); p=polyfit(x,y,5),y2=polyval(p,x); plot(x,y,b,x,y2,r); legend(y,y2,2); %產(chǎn)生數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合成5階多項(xiàng)式函數(shù)，并作圖比較p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2),%利用多項(xiàng)式函數(shù)專用求導(dǎo)函數(shù)polyder求導(dǎo)，并代值y2=poly2sym(p,x), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2),%利用通用求導(dǎo)函數(shù)diff求導(dǎo)，并代值22cos( )ln(3)x

9、xxe7第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的調(diào)用格式3 參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)方法說明：方法說明：對參數(shù)方程對參數(shù)方程x=x(t);y=y(t);先求出先求出dy/dt和和dx/dt然后代入公式然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可即可應(yīng)用示例：應(yīng)用示例：例例6 求參數(shù)方程求參數(shù)方程syms t; x=t*(1-sin(t); y=t*cos(t);ezplot(x,y); grid on;dx=diff(x,t); dy=diff(y,t); dydx=dy/dx; pretty(dydx)%下面在下面在t=4.1處作出參數(shù)方程的切

10、線（導(dǎo)數(shù)）處作出參數(shù)方程的切線（導(dǎo)數(shù)）hold on; t=4.1; x=eval(x); y=eval(y); plot(x,y,ro);k=eval(dydx); line(x,x+1,y,y+k,color,r)(1sin)co sxttytt8第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的調(diào)用格式4 多元函數(shù)求導(dǎo)多元函數(shù)求導(dǎo)方法說明：方法說明：對指定變量求導(dǎo)，求偏導(dǎo)數(shù)對指定變量求導(dǎo)，求偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用示例：應(yīng)用示例：例例7 求求 對對z 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)syms a b x y z;u=a*exp(b*x+y+z2);pretty(diff(u,z)例例8 對對s

11、yms x y;z=x3*y2+sin(x*y);diff(z,x,3)2bxyzuae33 2sin(),zx yxyzx3求9第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用示例例例9 以以 為例驗(yàn)證羅必塔法則：為例驗(yàn)證羅必塔法則：syms a b xf=ax-bx;g=x;l1=limit(f/g,x,0)df=diff(f,x);dg=diff(g,x);l2=limit(df/dg,x,0)if l1=l2disp(羅必塔羅必塔法則得到驗(yàn)證！法則得到驗(yàn)證！)end0limxxxabx10第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求不定

12、積分運(yùn)算的調(diào)用格式1 不定積分不定積分方法說明：方法說明：int(f)對默認(rèn)變量積分；對默認(rèn)變量積分；int(f,v)對指定變量積分對指定變量積分應(yīng)用示例：應(yīng)用示例：例例10 計(jì)算計(jì)算syms x; y=1/(sin(x)2*cos(x)2); pretty(int(y)例例11 計(jì)算計(jì)算syms a x; y=1/(a2-x2); pretty(int(y,x)例例12 計(jì)算二重不定積分計(jì)算二重不定積分syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)221 sincosxxdx221 ()axdxxyxedxdy11第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)

13、值解程數(shù)值解求定積分運(yùn)算的調(diào)用格式2 定積分定積分-解析解法解析解法方法說明：方法說明：int(f,x,a,b) 依據(jù)微積分基本公式計(jì)算依據(jù)微積分基本公式計(jì)算應(yīng)用示例：應(yīng)用示例：例例13 計(jì)算計(jì)算syms a x;f=sqrt(x2+a);pretty(int(f,x,-2,2)例例14 對變上限函數(shù)對變上限函數(shù) 求導(dǎo)求導(dǎo) syms t x;f= sqrt(1-t2);pretty(diff(int(f,t,0,x2)( )bafx dx21222()xadx21220(1)xtdt12第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求定積分運(yùn)算的調(diào)用格式3 定積分定積分-數(shù)值解

14、法數(shù)值解法方法說明：方法說明：當(dāng)定積分當(dāng)定積分-符號解法失效時(shí)，必須用定積分符號解法失效時(shí)，必須用定積分-數(shù)值解數(shù)值解法來近似計(jì)算定積分的值。矩形公式法來近似計(jì)算定積分的值。矩形公式sum，復(fù)合梯復(fù)合梯形公式形公式trapz，復(fù)合辛普森公式復(fù)合辛普森公式quad/quad8的區(qū)別的區(qū)別在于替代等距曲邊梯形的方式不同：在于替代等距曲邊梯形的方式不同：13第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求定積分運(yùn)算的應(yīng)用示例應(yīng)用示例：應(yīng)用示例：sum使用一次用于求向量或矩陣每一列的和，若使使用一次用于求向量或矩陣每一列的和，若使用兩次則先按列求和再按行求和用兩次則先按列求和再按行求和

15、(行列總和行列總和)例例15 矩形法計(jì)算矩形法計(jì)算 在在x=0與與x=10之之間所圍面積間所圍面積dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.2+115;sum(y(1:length(x)-1)*dx( 的近似值的近似值)2115yx 1020(115)xdx14第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求定積分運(yùn)算的調(diào)用格式trapz(x,y)用復(fù)合梯形公式計(jì)算定積分，用復(fù)合梯形公式計(jì)算定積分，x為積分變量分點(diǎn)向?yàn)榉e分變量分點(diǎn)向量，量，y為被積函數(shù)分點(diǎn)函數(shù)值向量為被積函數(shù)分點(diǎn)函數(shù)值向量quad(fun,a,b,tol,trace)用復(fù)合辛普森公式計(jì)算定積分，用復(fù)合辛普

16、森公式計(jì)算定積分，fun為被積函數(shù)表為被積函數(shù)表達(dá)式字符串或達(dá)式字符串或m函數(shù)文件名，函數(shù)文件名，a，b是積分下上限，是積分下上限，tol表示精度表示精度(缺省缺省0.001)，trace=1圖示積分過程圖示積分過程(默默認(rèn)認(rèn)=0不顯示不顯示) %quadl采用采用Lobatto算法，精度和速度要優(yōu)于算法，精度和速度要優(yōu)于quad %quad8采用采用8階階NewtonCotes算法，精度優(yōu)于算法，精度優(yōu)于quad15第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解求定積分運(yùn)算的應(yīng)用示例例例16 用兩種方法求定積分用兩種方法求定積分x=2:.1:5;y=log(x)./(x.2)

17、;tt=trapz(x,y) %復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式 fun=inline( log(x)./(x.2) ,x);ss=quad(fun,2,5) %復(fù)合辛普森公式復(fù)合辛普森公式522ln/xx dx16第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解Funtool符號計(jì)算器-界面17第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解Funtool符號計(jì)算器-功能圖形化符號函數(shù)計(jì)算器的使用：圖形化符號函數(shù)計(jì)算器的使用：f= 為圖形窗口1的控制函數(shù)，其缺省值為x；g= 為圖形窗口2的控制函數(shù)，其缺省值為1；x= 為兩窗口函數(shù)的自變量取值范圍，缺省-2*pi,2*pi

18、a= 為常數(shù)，缺省值為1/2。df/dx 計(jì)算函數(shù)f對x的導(dǎo)法式，并賦給f。int f 計(jì)算函數(shù)f的積分函數(shù)，并賦給f。simple f 計(jì)算函數(shù)f的最簡表達(dá)式，并賦給f。(syms x) simplify(cos(x)2+sin(x)2); simplify(x2+5*x+6)/(x+2); expand(cos(x+y); expand(x-2)*(x-4); syms x y; factor(x3-y3); factor(x3+3*x2+3*x+1); num f 取表達(dá)式f的分子，并賦給f。den f 取表達(dá)式f的分母，并賦給f。1/f 求f的倒數(shù)函數(shù)，并賦給f。finv 求f的反函數(shù)，并賦給f。18第三講第三講 求導(dǎo)積分與微分方求導(dǎo)積分與微分方程數(shù)值解程數(shù)值解Fu