第七章 微分方程

1、暨南大學(xué)電氣學(xué)院第七章第七章 微分方程微分方程 yxfy求已知, )( 積分問(wèn)題積分問(wèn)題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問(wèn)題微分方程問(wèn)題 推廣 第七章 暨南大學(xué)電氣學(xué)院第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 與一階微分方程解法與一階微分方程解法 一階微分方程的基本概念與解法一階微分方程的基本概念與解法引例引例 幾何問(wèn)題幾何問(wèn)題物理問(wèn)題物理問(wèn)題 第七章 暨南大學(xué)電氣學(xué)院引例引例1. 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,.12 xy因

2、此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 暨南大學(xué)電氣學(xué)院引例引例2. 列車在平直路上以sm20的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度,sm4 . 02a求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為tts202 . 02說(shuō)明說(shuō)明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .暨南大學(xué)電氣學(xué)院常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫

3、做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階階.分類或暨南大學(xué)電氣學(xué)院,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 C

4、xy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .其圖形稱為積分曲線族積分曲線族. .暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例1. 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2這說(shuō)明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),21,CC),(21為常數(shù)CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為tkAxcos,

5、02C故它是方程的通解.并求滿足初始條件 暨南大學(xué)電氣學(xué)院求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 QPQxyox解解: 如圖所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)yyxX,xyyx即02 xyy點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 暨南大學(xué)電氣學(xué)院1、可分離變量微分方程 或或 xxfyygd)(d)(可分離可分離變量方程。變量方程。 )()(dd21yfxfxy形如形如的微分方程的微分方程稱為稱為解法：可分離變量方程的解法解法：可分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(兩邊積分, 得 yy

6、gd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF則有稱為方程的隱式通解.二、一階微分方程的解法二、一階微分方程的解法暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )或說(shuō)明說(shuō)明: 在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例2. 解初值問(wèn)題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由

7、初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu則yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:暨南大學(xué)電氣學(xué)院練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有ueu1積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù) )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (暨南大學(xué)電氣學(xué)

8、院例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過(guò)程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意, 有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對(duì)方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)吣洗髮W(xué)電氣學(xué)院例例5.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對(duì)方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡(jiǎn)

9、, 得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時(shí)暨南大學(xué)電氣學(xué)院2、齊次方程、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuud

10、dsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說(shuō)明說(shuō)明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了. 暨南大學(xué)電氣學(xué)院3、一階

11、線性微分方程、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程齊次方程 ;暨南大學(xué)電氣學(xué)院對(duì)應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy則xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(Cxex

12、QeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(暨南大學(xué)電氣學(xué)院4、伯努利、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

13、:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例4. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez 將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 暨南大學(xué)電氣學(xué)院一、可降階高階微分方程一、可降階高階微分方程 第七章 二、線性微分方

14、程解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第二節(jié)第二節(jié)暨南大學(xué)電氣學(xué)院一、 可降階的高階微分方程 1、 型的微分方程2、 型的微分方程3、 型的微分方程)()(xfyn ),( yxfy ),( yyfy 暨南大學(xué)電氣學(xué)院1、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 一、可降階高階微分方程一、可降階高階微分方程 暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12c

15、osCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC暨南大學(xué)電氣學(xué)院),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy2、暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例2. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有

16、)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為暨南大學(xué)電氣學(xué)院3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例3. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd暨南大學(xué)

17、電氣學(xué)院例例4. 解初值問(wèn)題解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得暨南大學(xué)電氣學(xué)院為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面例例4.)0()(xxy設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo), 且, 0)( xy)(xyy 過(guò)曲線上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,1S區(qū)間 0, x 上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(x

18、yy因?yàn)? 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 設(shè)曲線在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 ., 1)0(y積記為( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx暨南大學(xué)電氣學(xué)院再利用 y (0) = 1 得利用,1221 SS得xttyyy021d)(兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得2)( yyy 定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得利用定解條件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲線方程為xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx暨南大學(xué)電氣學(xué)院二、二、 高

19、階線性微分方程高階線性微分方程 解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu) 2、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 3、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 1、二階線性微分方程、二階線性微分方程 第七章 暨南大學(xué)電氣學(xué)院的方程，叫二階線性微分方程。的方程，叫二階線性微分方程。)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程的方程，叫的方程，叫 n 階線性微分方程。階線性微分方程。).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 1 1、二階線性微分方程的概念

20、、二階線性微分方程的概念形如形如一般地，形如一般地，形如二、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 暨南大學(xué)電氣學(xué)院 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢2、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.暨南大學(xué)電氣學(xué)院說(shuō)明說(shuō)明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1

21、xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問(wèn)題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無(wú)關(guān)概念. 暨南大學(xué)電氣學(xué)院定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān)線性相關(guān);又如，,

22、12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見(jiàn)2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)暨南大學(xué)電氣學(xué)院兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無(wú)妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無(wú)關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyx

23、y(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無(wú)關(guān)暨南大學(xué)電氣學(xué)院定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 則)()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC暨南大學(xué)電氣學(xué)院3、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二

24、階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ暨南大學(xué)電氣學(xué)院)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .推論：推論： 二階非齊次方程

25、的任意兩個(gè)解的差是相應(yīng)齊次方程的解 暨南大學(xué)電氣學(xué)院定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 暨南大學(xué)電氣學(xué)院定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無(wú)關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方

26、程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解暨南大學(xué)電氣學(xué)院常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例4. 已知微分方程

27、)()()(xfyxqyxpy 個(gè)解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常數(shù)因而線性無(wú)關(guān), 故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為有三 暨南大學(xué)電氣學(xué)院第三節(jié)常系數(shù)常系數(shù)齊次線性微分方程齊次線性微分方程 第七章 暨南大學(xué)電氣學(xué)院二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的特征

28、方程特征方程,1. 當(dāng)042qp時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,21r ,r方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時(shí)因?yàn)?所以令的解為 則微分其根稱為特征根特征根.暨南大學(xué)電氣學(xué)院2. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個(gè)特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey

29、)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru暨南大學(xué)電氣學(xué)院3. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根irir21,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx暨南大學(xué)電氣學(xué)院總結(jié)總結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實(shí)根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sinco

30、s(21xCxCeyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .二階常系數(shù)齊次線性微分方程:暨南大學(xué)電氣學(xué)院若特征方程含 k 重復(fù)根,ir若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng))(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxeCe

31、Cy321例例2. 求解初值問(wèn)題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問(wèn)題的解為tets)24(22C暨南大學(xué)電氣學(xué)院第四節(jié) 第七章 常系數(shù)非齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、暨南大學(xué)電氣學(xué)院)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式

32、,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法暨南大學(xué)電氣學(xué)院( )( )xmf xePx 型型則有形如的特解，其中其中 為實(shí)數(shù) ,)(xPm為 m 次多項(xiàng)式 .此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí), k=0,1,2一、一、 *( )kxmyx Qx e( )xmypyqyeP x待定多項(xiàng)式 .( )mQx為 m 次對(duì)非齊次方程暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例1.1332 xyyy求方程的一個(gè)特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0暨南大學(xué)電氣學(xué)院例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxeCeCY3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbx