常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

1、 8.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、級數(shù)的基本性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念1. 芝諾悖論芝諾悖論悖論：在邏輯上可以推導(dǎo)出相互矛盾之結(jié)果悖論：在邏輯上可以推導(dǎo)出相互矛盾之結(jié)果 ，但表面上，但表面上又能自圓其說的命題或理論體系。又能自圓其說的命題或理論體系。公元前五世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾用他關(guān)于無限、連續(xù)公元前五世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾用他關(guān)于無限、連續(xù)等知識，提出四個著名的關(guān)于運動不可分性的哲學(xué)悖論。等知識，提出四個著名的關(guān)于運動不可分性的哲學(xué)悖論。i. 二分法悖論二分法悖論ii. 阿基里斯追不上烏龜悖論阿基里斯追不上烏龜悖論iii. 飛矢不動悖論飛矢不動悖論

2、iv. 運動場悖論運動場悖論二分法悖論二分法悖論一位旅行者前往特定的地點，他必須先走完一半的路程，一位旅行者前往特定的地點，他必須先走完一半的路程，然后走剩下路程的一半，然后再走剩下路程的一半，由于然后走剩下路程的一半，然后再走剩下路程的一半，由于他永遠有剩下路程的一半要走，因而這位旅行者永遠走不他永遠有剩下路程的一半要走，因而這位旅行者永遠走不到目的地。到目的地。TDABC2TE4T1+2482(1,2,3,)nTTTTTn總時間F8T2112TT0.33330.30.030.0030.000321 0.40.01 0.004 1114(1)35711111!2!3!e 231111xxxx

3、x 1211,nnnnnuuuuu記記作作即即一般地，對于給定的數(shù)列一般地，對于給定的數(shù)列12,nuuu12,nuuu稱稱為為常常數(shù)數(shù)項項無無窮窮級級數(shù)數(shù) 簡簡稱稱級級數(shù)數(shù),通項）通項）稱為級數(shù)的一般項（或稱為級數(shù)的一般項（或項項其中第其中第nun.,2121nnnnuuuSSuuun 即即記作記作稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和項和項和級數(shù)的前級數(shù)的前2. 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)0.3330.30.030.0030.00031310nn1114(1)3571114( 1)21nnn11111248162n11234n 1nn112nn1,nnnuSS對對于于給給定定的的級級數(shù)數(shù)如如果果其其部部

4、分分和和數(shù)數(shù)列列有有極極限限1().,nnnSu如如果果部部分分和和數(shù)數(shù)列列沒沒有有極極限限 發(fā)發(fā)散散稱稱級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則3.級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散limnnSS ，即即 1,nnuS則則稱稱級級數(shù)數(shù)并并斂斂且且有有和和數(shù)數(shù)收收121lim.nnnnnuuuuSS記記作作11111112248162nnn111 ( )22lim112nn11nn(1)lim2nn n 常常數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )lim()nnS存存在在 不不存存在在-1-111(),0,0.nnnaqaaqaqaq幾幾例例 無無窮窮級級數(shù)數(shù)稱稱為為又又稱稱為為等等比比級級數(shù)數(shù)其其中中試試討討

5、論論該該級級數(shù)數(shù)何何級級的的斂斂散散性性數(shù)數(shù)-11111nnaqqaqq發(fā)散幾幾何何級級數(shù)數(shù)112.(1)nn n例例判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性111(1)nn n“”利利用用 抵抵項項相相消消 求求和和11lnnnn練習(xí)發(fā)發(fā)散散113.nn例例證證明明調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1310nn1.1.討討論論級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性練習(xí)13發(fā)散二、級數(shù)的基本性質(zhì)二、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)8.1則有則有與與的部分和分別為的部分和分別為與級數(shù)與級數(shù)設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù),11nnnnnnScuu nnncScucucu 21 證明證明1111,.nnnnnnnnccuucucu設(shè)為非零常數(shù) 則級數(shù)與級數(shù)同

6、時收斂或同時發(fā)散 且同時收斂時 有,由數(shù)列極限的性質(zhì)由數(shù)列極限的性質(zhì)于是于是,時時當(dāng)當(dāng) n,同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散與與nnS ,11同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散與與即級數(shù)即級數(shù) nnnnucu,limlimnnnnSc 且在收斂時有且在收斂時有.11 nnnnuccu即有即有.)(,)(,111111 nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且有且有收斂收斂則級數(shù)則級數(shù)都收斂都收斂與級數(shù)與級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)性質(zhì)性質(zhì)8.2則則有有與與為為的的部部分分和和分分別別與與設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù), )(111nnnnnnnnnnTSvuvu )()()(2211nnnvuvuvu 證明證明

7、)()(2121nnvvvuuu nnTS 即有即有 111nnnnnnnvuvu）（,極限存在極限存在時時由于由于nnTSn nnnnnnTS limlimlim ,2 . 81 . 8 和和性性質(zhì)質(zhì)由由性性質(zhì)質(zhì).111 nnnnnnnvbuabvau）（且有且有極限也存在極限也存在知知,nnTS 且且有有也也收收斂斂級級數(shù)數(shù)以以及及任任意意常常數(shù)數(shù)與與對對于于收收斂斂級級數(shù)數(shù),)(,111nnnnnnnbvaubavu 線線性性運運算算性性質(zhì)質(zhì)由例由例1和例和例2可知，可知，且有且有，收斂收斂級數(shù)級數(shù) 11)1(32)1(nnnnn 1111)1(132121)1(32)1(nnnnnnn

8、nnn32112121 ,617 ,11收斂收斂發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnnnvu.1發(fā)散發(fā)散）（必有必有nnnvu .,11時收斂或同時發(fā)散時收斂或同時發(fā)散同同與與則級數(shù)則級數(shù)為任意正整數(shù)為任意正整數(shù)設(shè)設(shè) knnnnuuk,1 knnkuCk 記記對于任意給定的正整數(shù)對于任意給定的正整數(shù)kknnCS 性質(zhì)性質(zhì)8.3證明證明.,11有相同的斂散性有相同的斂散性與與級數(shù)級數(shù)因此因此 knnnnuu于是有于是有項部分和分別為項部分和分別為的前的前項部分和與項部分和與的前的前設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù), )(,11knSknunuknnknnnn 12311nkknnuuuuuuulimlimnn kknnSC.,

9、且收斂于原級數(shù)的和且收斂于原級數(shù)的和級數(shù)級數(shù)的級數(shù)仍然為收斂的級數(shù)仍然為收斂收斂級數(shù)加括號后所成收斂級數(shù)加括號后所成得級數(shù)得級數(shù)將相鄰兩項加括號將相鄰兩項加括號例如例如,)(1212 nnnuu: 2nnSS子列子列的的原級數(shù)部分和數(shù)列原級數(shù)部分和數(shù)列其部分和數(shù)列實際上是其部分和數(shù)列實際上是性質(zhì)性質(zhì)8.4,2也必然收斂也必然收斂其子列其子列nS,1收斂收斂必有部分和數(shù)列必有部分和數(shù)列收斂時收斂時當(dāng)級數(shù)當(dāng)級數(shù)于是于是nnnSu ,242nSSS.S且有相同的極限且有相同的極限 )()()(2124321nnuuuuuu 對于收斂級數(shù)，可以對它的項任意加括號，但要注意不能改變對于收斂級數(shù)，可以對它

10、的項任意加括號，但要注意不能改變相關(guān)項的次序相關(guān)項的次序.注意注意1注意注意2 加括號后的級數(shù)收斂，不能推得原級數(shù)收斂加括號后的級數(shù)收斂，不能推得原級數(shù)收斂 （即性質(zhì)的逆命題（即性質(zhì)的逆命題不一定成立）不一定成立）.的相鄰兩項合并得級數(shù)的相鄰兩項合并得級數(shù)將級數(shù)將級數(shù) 11)1(nn )11()11()11(收斂，且和為零，收斂，且和為零，但原級數(shù)發(fā)散的但原級數(shù)發(fā)散的.1(),lim0.nnnnuu如如果果級級數(shù)數(shù)收收斂斂則則其其級級數(shù)數(shù)收收斂斂一一般般項項趨趨向向于于零零 即即有有的的必必要要條條件件,1收斂收斂由于級數(shù)由于級數(shù) nnuSSSnnnn 1limlim從而有從而有nnu lim

11、性質(zhì)性質(zhì)8.5證明證明)(lim1 nnnSS1limlim nnnnSS. 0 且有且有則有和數(shù)則有和數(shù),S （2）一般項趨于零只是級數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件）一般項趨于零只是級數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件.注意注意（1）如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ;( (逆否命題逆否命題) ) 1)1(433221,1nnn例如例如,01limlim nunnn有有 n131211例如調(diào)和級數(shù)例如調(diào)和級數(shù),1)1(1 nnunn.但級數(shù)是發(fā)散的但級數(shù)是發(fā)散的收收斂斂lim0nnulim0nnu發(fā)發(fā)散散五、小結(jié)1 1. .由由定定義義, ,若若ssn

12、, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2 2. .當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). .常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法1nnu.,要要熟熟練練掌掌握握以以下下為為本本節(jié)節(jié)內(nèi)內(nèi)容容的的小小結(jié)結(jié)nuuu21級數(shù).為通項nu.:nkknuS1部分和.,lim11nnnnnnuSuSS記收斂則稱級數(shù)若.,lim發(fā)散則稱級數(shù)不存在若1nnnnuS:性質(zhì).)(,.21121111SSvuSvSunnnnnnn則若.,.同斂散與則設(shè)1102nnnnukuk.,1111nnnnnnnnukkukSkuSu即則若.同斂散與nnnuu13kn.n