EMF8 cont 庫侖定律及場強(qiáng)

1、第第8 8講講 電位函數(shù)電位函數(shù)授課內(nèi)容授課內(nèi)容靜電場旋度和環(huán)路定律靜電場旋度和環(huán)路定律電位函數(shù)電位函數(shù)高斯通量定理高斯通量定理8.1 8.1 靜電場旋度和環(huán)路定律靜電場旋度和環(huán)路定律 1). 靜電場旋度（從物理角度）8.1.1 靜電場的旋度 分析當(dāng)電荷q0在電場從P點(diǎn)沿路徑C 移至Q(P0)點(diǎn)時所做的功。0dAFdlq Edl=vvvv0QPAq Edl=vv 定義P、Q兩點(diǎn)間的電壓為：0QPQPUEdlq=A Avv 分析點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場中，P、Q兩點(diǎn)間的電壓：204QQPQRPPqUEdladlRpe=蝌vvvvsi nRdla dRa R da Rdqjqq j=+vvvv可見，可見，

2、U UPQPQ只與只與P P和和Q Q點(diǎn)的位置有關(guān)，而與所取路徑點(diǎn)的位置有關(guān)，而與所取路徑無關(guān)。對于任何電荷分布，該結(jié)論都成立。無關(guān)。對于任何電荷分布，該結(jié)論都成立。)11(44020QPRRRRqRdRqQP 2). 靜電場的無旋性（從數(shù)學(xué)角度） 點(diǎn)電荷電場30( )4qrrE rrrpe-=-vvvvvv30( )4qrrE rrrpe-汛=汛-vvvvvv 矢量恒等式：C FCFCF汛=汛+ 汛vvv33311( )( )rrrrrrrrrrrr-汛=汛-+ 汛-vvvvvvvvvvvv故 ，靜電場是無旋場。( )0E r汛vv331( )3( )0rrrrrrrrrr-汛-= -=-v

3、vvvvvvvvv取旋度0 2). 靜電場的無旋性（從數(shù)學(xué)角度） 分布電荷電場200( )111( )( ) ()44RvvrE ra dVrdVRRrrpepe= -蝌vvv011( )( )( )4vE rrdVRrpe輊= - 犏犏臌vv011( )( )( )4vE rrdVRrpe輊汛= 汛-犏犏臌vv故靜電場是無旋場。( )0E r汛vv0u汛利用 當(dāng)取電場E沿閉合路徑的線積分時，有Pm QPnQEdlEdl=蝌vvvv0Pm QPnQEdlEdl+=蝌vvvv0Pm Q nPEdl=vv0CEdl=vv在靜電場中，沿任一閉合路徑任一閉合路徑繞一周移動單位正電荷，電場力做的功為0，

4、這意味著當(dāng)所有電荷分布一定時，電場能量即為一定值，故靜電場為保守場。右式表明 靜電場是一個無旋場。0E()0lsEd lEd S汛綴蝌vvvv蜒 由斯托克斯定理，得 在靜電場中,電場強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。 電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。 0 0lEEdl汛=vvv二者等價。QPmn8.1.2 靜電場的環(huán)路定律8.2 8.2 電位函數(shù)電位函數(shù)1) ) 電位的引出 根據(jù)靜電場的無旋性，可以定義另一個表征靜電場特性的場量-標(biāo)量電位。 如果取Q點(diǎn)作為電位參考點(diǎn)(電位為0)，則P點(diǎn)電位定義為：QPPE dl 電位的單位與電壓相同，為V(伏)。 物理含義:與將電荷從一點(diǎn)移至另一點(diǎn)所做的功

5、有關(guān)。在靜電場中，將單位電荷從P1點(diǎn)移P2點(diǎn)，克服電場力所做的功為：2211PQPPPQWE dlE dlE dlq 2112QPPQPPEddllE 2)2) 電位參考點(diǎn)的選擇原則 場中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。任意兩點(diǎn)的電壓就是兩點(diǎn)間的電位差。 同一個物理問題，只能選取一個參考點(diǎn)。 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單簡單，且要有意義。在實(shí)際工作中，常常把大地表面大地表面作為電位參考點(diǎn)。而在理論分析中，只要引起電場的全部電荷都在有限有限的空間區(qū)域內(nèi)，都可取無窮遠(yuǎn)處無窮遠(yuǎn)處作為電位參考點(diǎn)。 參考點(diǎn)的選取是任意的，參考點(diǎn)不同，各點(diǎn)的電位都增加(或減少)一個常數(shù)。3) 已知電荷分布，求電位：

6、101( )4Niiiqrrr點(diǎn)電荷群01( )4vdqrrr連續(xù)分布電荷dl,dS,dV:dq 設(shè)參考點(diǎn)在無究遠(yuǎn)處，真空中一個位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q在離它R遠(yuǎn)處的電位為：220001( )444rrrqqdRqradlRRR4) 電位與電場強(qiáng)度關(guān)系：( )( )E rrf= - vv0E汛=v根據(jù)靜電場的無旋性 微分關(guān)系：右式說明，右式說明，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的的方向方向總是沿著總是沿著電位電位減少減少的最快方向，其大小等于電位的的最快方向，其大小等于電位的最大變化率最大變化率。011( )( ) ( )4VE rrdVRrpe= -vv0( )1( )4VrE rdVRrp

7、e輊犏= - 犏犏臌vv是對場點(diǎn)場點(diǎn)的微分算符，積分是對源點(diǎn)源點(diǎn)進(jìn)行， 可提到積分號積分號外外000PPPPPPE dldfff = -=-蝌vv設(shè)P0為電位參考點(diǎn)，即 ，則P點(diǎn)電位為00Pf=0PPPEdlf=vv00PPPPPEdldlff=-炎蝌vvv 電位與電場強(qiáng)度的積分關(guān)系 線積分() ()xyzxyzdleeedxedyedzexyzffff抖炎=+抖vvvvvvvdxdydzdxyzffff抖=+=抖所以式中5) 電力線與等位線（面） E 線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場強(qiáng)度E E的方向一致，若 是電力線的長度元，E E 矢量將與 方向一致，l dl d0Edl故電力線微分方

8、程dzEdyEdxEzyx在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線 E E 的方程。當(dāng)取不同的 C 值時，可得到不同的等位線（面）。 在靜電場中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即C)z ,y,x(等位線(面)方程:例:畫出電偶極子的等位線和電力線 。()rd電偶極子電偶極子：相距很近的兩個等值異號電荷。(其與場點(diǎn)距離遠(yuǎn)大于其正負(fù)電荷距離場點(diǎn)距離遠(yuǎn)大于其正負(fù)電荷距離)電偶極子的電矩電矩： (p p的方向由-q指向q)pq l采用球坐標(biāo)系：2101201 211()44pqqrrrrrrjpepe-=-=2200cos44rpqdparrqjp ep e=v30(2 cossin)4prqEaerqj

9、qqpe= - =+vvrdrrdEEqq=電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：代入上式，得si nrD解得線方程為將 和 代入上式，ErE等位線方程（球坐標(biāo)系）： cosrC20cos4pCr， 表示電偶極矩，方向由負(fù)負(fù)電荷指向正正電荷。p圖1.2.2 電偶極子 當(dāng)R很大，且d 0）()()1 2221 22200022assrdrzazzrrrfee輊=+-犏臌+()1 222012szzzEaazzafrfe輊犏= - = -=-犏+犏臌vv()0 02szEazre=vv可見，只要 z 有限，則 E 是均勻的，且與 z 無關(guān)。a當(dāng) 時，相當(dāng)與無限大帶電荷平面在其一側(cè)（ z 0）附近產(chǎn)生的場：應(yīng)

10、用圓柱坐標(biāo)系中的梯度表達(dá)式，可得到電場強(qiáng)度為8.3.18.3.1高斯通量定理的微分形式高斯通量定理的微分形式8.3 8.3 真空中的高斯定理（靜電場中場與源的關(guān)系）真空中的高斯定理（靜電場中場與源的關(guān)系）作散度運(yùn)算301( )( )4VrrErrdVrrrp e-=-vvvvvvv高斯定理的微分形式0( )( )rE rre炎=vv說明 靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。0E0E0E8.3. 2 8.3. 2 高斯定理的積分形式高斯定理的積分形式 在無限大真空中有一點(diǎn)電荷，以該點(diǎn)電荷的在處為球心球心作一任意半徑為r的球面，則由該球面穿出的E通量通量應(yīng)為：2200044rSSqqqEdSadS

11、dSrrepepe=蝌vvvv蜒 在如果包圍點(diǎn)電荷的是一個任意形狀的閉合面任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出的E能量應(yīng)為：204rSSqEdSadSrpe=蝌vvvv蜒20000si n4qqddppq qjpee=蝌rrdSa dSa dSa dSqqjj=+vvvv2si nrdSrd dq q j= E對任意閉合面的通對任意閉合面的通量只與面內(nèi)包含的電量只與面內(nèi)包含的電荷多少有關(guān)，而與閉荷多少有關(guān)，而與閉合面的形狀無關(guān)。合面的形狀無關(guān)。2201si n4qrd drq q jpe= 高斯定理：在真空電場中，由任意閉合面穿出的E通量，應(yīng)等于該閉合面所包圍的電荷的代數(shù)和與真空電容率的比值 如

12、果在無限大真空的電場中，閉合面S包圍了N個點(diǎn)電荷，根據(jù)疊加原理，可得：0111nnNiiiSSSiiiqEdSEdSEdSe=邋蝌vvvvvv蜒01SVEdSdVre=蝌vv真空中高斯通量定理的積分形式 靜電場中任一閉合面上E的通量不恒等于0，說明靜電場是有通量源的場，通量源為電荷。通過計算立體角的方法8.3.38.3.3 E E 的通量01VVEdVdV011niSiEdSq閉合曲面的電通量閉合面外的電荷對場的影響散度定理散度定理 S 面上的 E E 是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。 E E 的通量等于閉合面 S 包圍的凈電荷。作業(yè)： 2-3, 2-4，2-5, 2-8, 2-12, 2-13, 2-14對場點(diǎn)坐標(biāo)作散度運(yùn)算301( )() ( )4VrrE rrdVrrrpe-炎=炎-vvvvvvv靜電場高斯散度定理的推導(dǎo)301( )( )4VrrE rrdVrrrpe-=-vvvvvvv矢量恒等式：()()C FCFCF炎=炎+炎vvv31CFrrrr=-vvvvv，式中：33311()() ( )( )rrrrrrrrrrrr-炎=炎-+炎-vvvvvvvvvvvv533( )3( )rrrrrrrr-= - -+-vvvvvvvv3333rrrr無電荷區(qū)內(nèi)，電場強(qiáng)度的散度等于零。則( )0E r31()rrrrrr-=- -vvvvvv301(