第5章克里格法

1、一一克里金法概述克里金法概述二二線性克里金法線性克里金法1.1. 簡單克里金簡單克里金2.2. 普通克里金普通克里金3.3. 泛克里金法泛克里金法三三非線性克里金法非線性克里金法1.1. 對數(shù)正態(tài)克里金法對數(shù)正態(tài)克里金法2.2. 指示克里金法指示克里金法3.3. 析取克里金法析取克里金法四四協(xié)同克里金法協(xié)同克里金法1 1、克里金法概念及種類、克里金法概念及種類概念：概念：又稱為又稱為空間局部估計空間局部估計或或空間局部插值法空間局部插值法,克里金法是建立在變異函數(shù)理論克里金法是建立在變異函數(shù)理論及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進(jìn)行線性無偏最優(yōu)估及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)

2、域化變量的取值進(jìn)行線性無偏最優(yōu)估計的一種方法。計的一種方法。 主要類型：主要類型： 簡單克里金法簡單克里金法 普通克里金法普通克里金法 Ordinary Kriging 泛克里金法泛克里金法 Universal Kriging 對數(shù)正態(tài)克里金法對數(shù)正態(tài)克里金法 Logistic Normal Kriging 指示克里金法指示克里金法 Indicator Kriging 概率克里金概率克里金 Probability Kriging 析取克里金法析取克里金法 Disjuctive Kriging 協(xié)同克里金法協(xié)同克里金法 Co-KrigingniiivxZxZ1*)()( 設(shè)設(shè)x為研究區(qū)域內(nèi)任一點

3、為研究區(qū)域內(nèi)任一點0)()(*xZxZEvv待估點的估計待估點的估計值值克里金估計量克里金估計量權(quán)重系數(shù)權(quán)重系數(shù)待估點待估點影響范圍內(nèi)影響范圍內(nèi)的的有效樣本值有效樣本值（1）無偏估計）無偏估計（2）最優(yōu)估計）最優(yōu)估計的求解imin)()()()(2*xZxZExZxZVarvvvv顯然，估計的好壞顯然，估計的好壞取決于權(quán)重系數(shù)取決于權(quán)重系數(shù)i（1）數(shù)據(jù)檢查（2）模型擬合（3）模型診斷（4）模型比較 當(dāng)區(qū)域化變量Z(x)的EZ(x)=m已知，則稱為簡單克里金法 若Z(x)的EZ(x)未知，則稱為普通克里金法設(shè)區(qū)域化變量設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為常數(shù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)

4、期望為常數(shù)m，協(xié)方差函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)C(h)和和變異函數(shù)變異函數(shù) ( (h h) )存在且平穩(wěn)。存在且平穩(wěn)。 現(xiàn)現(xiàn)要估計中心點在要估計中心點在x0 的待估塊段的待估塊段V 的均值的均值ZV(x)， ZV(x)表達(dá)式表達(dá)式為為 由于由于 EZ(x)=m已知已知令令 Y(x)=Z(x)-m則則 EY(x)=EZ(x)-m= EZ(x)-m=0待估塊段新待估值待估塊段新待估值dxxZvxZvv)(1)(設(shè)在待估塊段V附近有n個樣點xi(i=1,2,n),其觀測值為Z(xi) (i=1,2,n)，則觀測值新變量為：Y(xi)=Z(xi)-mY(V)的估計值Yv*是Y(xi) (i=1,2,n)的線性組

5、合，則目標(biāo)：找出一組權(quán)重系數(shù)目標(biāo)：找出一組權(quán)重系數(shù) ，使得，使得Yv*成為成為Y(V) 的線性、無偏、最優(yōu)估計量的線性、無偏、最優(yōu)估計量), 2 , 1(nii則估計Z(V)的問題轉(zhuǎn)化為估計Y(V)的問題在滿足以下兩個條件時，Yv*是Y(V)的線性、無偏、最優(yōu)估計量。（1）無偏性）無偏性 由于由于 所以所以 則則 Yv* 不需要任何條件即是不需要任何條件即是Y(V)的無偏估計量。（2）最優(yōu)性）最優(yōu)性 在滿足無偏條件下，可推導(dǎo)估計方差公式為：在滿足無偏條件下，可推導(dǎo)估計方差公式為：為使估計方差最小，需對上式求為使估計方差最小，需對上式求i的偏導(dǎo)數(shù)并令其為0整理得整理得簡單簡單克里金克里金方程組：

6、方程組：用矩陣表示為：用矩陣表示為：將將簡單簡單克里金克里金方程組方程組表達(dá)式帶入估計方差表達(dá)式表達(dá)式帶入估計方差表達(dá)式得得簡單簡單克里金克里金估計估計方差表達(dá)式：方差表達(dá)式：從簡單從簡單克里金克里金方程組的方程組的n個方程中便可求得個方程中便可求得n個權(quán)重系數(shù)個權(quán)重系數(shù)i，則，則YV(x)的簡單的簡單克里金克里金估計量為：估計量為：簡單簡單克里金克里金法的估計精度在很大程度上依賴于法的估計精度在很大程度上依賴于m值的準(zhǔn)確度，但是通常情值的準(zhǔn)確度，但是通常情況下很難正確估計況下很難正確估計m值，從而導(dǎo)致簡單值，從而導(dǎo)致簡單克里金克里金估計精度降低。估計精度降低。 簡單克里金法計算示例：簡單克里

7、金法計算示例：設(shè)某一區(qū)域氣溫數(shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，所有采設(shè)某一區(qū)域氣溫數(shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，所有采樣數(shù)據(jù)的均值為樣數(shù)據(jù)的均值為16.08度，并將均值作為此區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望值，將所有度，并將均值作為此區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望值，將所有采樣數(shù)據(jù)剔除數(shù)學(xué)期望值后擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。采樣數(shù)據(jù)剔除數(shù)學(xué)期望值后擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示?，F(xiàn)用簡單克里金方法根據(jù)五個已知點的氣溫數(shù)據(jù)來估算0點處的氣溫值設(shè)區(qū)域化變量設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，為未知常數(shù)，協(xié)方，為未知常數(shù)，

8、協(xié)方差函數(shù)差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)和變異函數(shù)(h)存在且平穩(wěn)?，F(xiàn)要估計中心點在存在且平穩(wěn)。現(xiàn)要估計中心點在x0的待估塊段的待估塊段V的的均值，即均值，即設(shè)待估塊段設(shè)待估塊段V附近有附近有n個樣點個樣點xi(i =1,2,n),其觀測值為其觀測值為Z(xi) (i =1,2,n)，待，待估塊段估塊段V的真值是估計鄰域內(nèi)的真值是估計鄰域內(nèi)n個信息值的線性組合，即個信息值的線性組合，即現(xiàn)要求出權(quán)重系數(shù)現(xiàn)要求出權(quán)重系數(shù)i(i =1,2,n)，使，使Z*V(x)為為ZV(x)的無偏估計量，且估計方的無偏估計量，且估計方差最小。差最小。（1）無偏性條件）無偏性條件 由于由于若要滿足無偏性條件，需若要滿足無

9、偏性條件，需 ，則無偏性條件為：，則無偏性條件為： 即在權(quán)系數(shù)之和為即在權(quán)系數(shù)之和為1的條件下估計量是無偏的。的條件下估計量是無偏的。（2）最優(yōu)性條件）最優(yōu)性條件 即估計方差最小條件，在滿足無偏性條件下，有如下估計方差公式即估計方差最小條件，在滿足無偏性條件下，有如下估計方差公式 要求出在滿足無偏性條件要求出在滿足無偏性條件 下使得估計方差最小的權(quán)系數(shù)下使得估計方差最小的權(quán)系數(shù)i(i =1,2,n)， 這這是個求條件極值問題。是個求條件極值問題。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。求出函數(shù)F對n個權(quán)系數(shù)i的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，和無偏性條件聯(lián)立建立方程組。整理得普通克里金方程組將解出的將

10、解出的i(i =1,2,n)帶入估計量帶入估計量公式得到普通公式得到普通克里金克里金估計量：估計量：從普通從普通克里金克里金方程組可得：方程組可得：將此式帶入估計方差公式得將此式帶入估計方差公式得普通克里金估計方差，記為 ：普通克里金方程組和普通克里金估計方差也可用變異函數(shù)(h)表示。在在Z(x)滿足二階平穩(wěn)條件時，可采滿足二階平穩(wěn)條件時，可采用協(xié)方差或變異函數(shù)表達(dá)的普通用協(xié)方差或變異函數(shù)表達(dá)的普通克克里金里金方程組及方程組及克里金克里金估計方差計算估計方差計算式進(jìn)行求解計算；但在本證假設(shè)條式進(jìn)行求解計算；但在本證假設(shè)條件下，則只可采用變異函數(shù)的表達(dá)件下，則只可采用變異函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行求解計算

11、。式進(jìn)行求解計算。為了書寫簡便和便于計算，普通為了書寫簡便和便于計算，普通克克里金里金方程組和普通方程組和普通克里金克里金估計方差估計方差均可用矩陣形式表示。均可用矩陣形式表示。協(xié)方差函數(shù)表達(dá)的普通克里金方程組展開得引入矩陣或普通克里金方程組用矩陣形式表達(dá)為： 或權(quán)重系數(shù) 或普通克里金估計方差用矩陣表達(dá)為： 或普通克里金計算示例：普通克里金計算示例：設(shè)某一區(qū)域氣溫數(shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。數(shù)據(jù)如下，點的空間分布如圖所示?，F(xiàn)用普通克里金方法根據(jù)已知五個點的氣溫數(shù)據(jù)估算0點處的氣溫值。普通克里金法要求區(qū)域化變量Z(x)是二階平穩(wěn)或本征的

12、，至少是準(zhǔn)二階平穩(wěn)或準(zhǔn)本征的。在此條件下，至少在估計鄰域內(nèi)有EZ(x)=m（常數(shù)）。然而實際中，許多區(qū)域化變量Z(x)在估計鄰域內(nèi)是非平穩(wěn)的，即EZ(x)=m(x)，m(x)稱為漂移，這時就不能用普通克里金方法進(jìn)行估計了，而是要采用泛克里金法進(jìn)行估計。所謂泛克里金法，就是在漂移的形式EZ(x)=m(x)，和非平穩(wěn)隨機函數(shù)Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(h)或變異函數(shù)(h)為已知的條件下，一種考慮到有漂移的無偏線性估計量的地統(tǒng)計學(xué)方法，這種方法屬于線性非平穩(wěn)地統(tǒng)計學(xué)范疇。漂移漂移：非非平穩(wěn)區(qū)域化變量平穩(wěn)區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望，在任一點期望，在任一點x上的漂移就是該點上的漂移就是該點上區(qū)域化變

13、量上區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望。漂移經(jīng)常用鄰域模型來研究?？杀磉_(dá)為：在給定的以點x為中心的鄰域內(nèi)的任一點，其漂移m(x)可用如下函數(shù)表示。式中，fl(x)為一已知函數(shù)；al為未知系數(shù)m(x)通常采用多項式形式，在二維條件下，漂移可看成坐標(biāo)x,y的函數(shù)。漲落：漲落：對于有漂移的區(qū)域化變量對于有漂移的區(qū)域化變量Z(x)，假設(shè)可分解為漂移和漲落兩，假設(shè)可分解為漂移和漲落兩部分，部分，式中，m(x) = EZ(x)為點x處的漂移，R(x)稱為漲落。1）基本假設(shè)假設(shè)Z(x)的增量Z(x)Z(y)具有非平穩(wěn)的數(shù)學(xué)期望m(x)m(y)和非平穩(wěn)的方差函數(shù)，即假設(shè)下式存在：2）協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)當(dāng)

14、Z(x)=m(x)+R(x)時，Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(x,y)為：Z(x)的變異函數(shù)(x,y)為：設(shè)Z(x)為一非平穩(wěn)區(qū)域化變量，其數(shù)學(xué)期望為m(x)，協(xié)方差函數(shù)為C(x,y)且已知，則設(shè)Z(x)的漂移m(x)可表示為如下k+1個單項式fl(x)(l=0,1,2,k)的線性組合。已知n個樣品點xi(i =1,2,n)，其觀測值為Z(xi) (i =1,2,n)，現(xiàn)要用這些樣品點估計鄰域內(nèi)任一點x的值Z(x)，Z(x)的泛克里金估計量為：為使Z*(x)為Z(x)的無偏最優(yōu)估計量，需在以下兩個條件下求解權(quán)重系數(shù)i(i =1,2,n)。1）無偏性條件）無偏性條件若要滿足無偏性條件，需則即對任一組系

15、數(shù)a0，a1,ak等式均成立，需成立。這k+1個子式稱為無偏性條件。2）最優(yōu)性條件）最優(yōu)性條件在滿足無偏性條件下，用Z*(x)估計Z(x)的泛克里金估計方差為：將無偏性條件帶入得要求出在滿足無偏性的條件下使得估計方差最小的權(quán)系數(shù)i(i =1,2,n)，需根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。求出函數(shù)F對n個權(quán)系數(shù)i的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，和無偏性條件聯(lián)立建立如下方程組。整理得估計Z (x)的泛克里金方程組：泛克里金方程組可用矩陣表示為：其中從泛克里金方程組可得以下兩等式：將等式帶入估計方差公式可得泛克里金方差，記為：用變異函數(shù)(h)表示如下： 設(shè)某一區(qū)域氣溫是非平穩(wěn)的區(qū)域化變量，在南北方向

16、（空間坐標(biāo)的設(shè)某一區(qū)域氣溫是非平穩(wěn)的區(qū)域化變量，在南北方向（空間坐標(biāo)的y方向）上方向）上存在線性漂移，即存在線性漂移，即 。若已知其漲落滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，并且擬合的協(xié)方差函。若已知其漲落滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，并且擬合的協(xié)方差函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。數(shù)模型為球狀模型，如下所示?，F(xiàn)用表現(xiàn)用表5 1所示數(shù)據(jù)，利用泛所示數(shù)據(jù)，利用泛克里金克里金法根據(jù)已知五個點的氣溫數(shù)據(jù)來估算法根據(jù)已知五個點的氣溫數(shù)據(jù)來估算0點點處的氣溫值。處的氣溫值。1、對數(shù)正態(tài)對數(shù)正態(tài)克里金克里金法法如果區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后是正態(tài)分布或近正態(tài)分布，如果區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后是正態(tài)分布或近正態(tài)分布，則則對區(qū)域化變量進(jìn)對區(qū)域化變量

17、進(jìn)行精確估計的地統(tǒng)計學(xué)方法稱為對數(shù)正態(tài)克立格法。行精確估計的地統(tǒng)計學(xué)方法稱為對數(shù)正態(tài)克立格法。設(shè)區(qū)域化變量設(shè)區(qū)域化變量Z(x)服從對數(shù)正態(tài)分布，在待估點周圍有服從對數(shù)正態(tài)分布，在待估點周圍有n個樣點個樣點xi(i =1,2,n),其觀測值為其觀測值為Z(xi) (i =1,2,n)，區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后新變量為：，區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后新變量為：Y(x)= lnZ(x)，Y(x)為正態(tài)分布。假定為正態(tài)分布。假定Y(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，數(shù)學(xué)期望為滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方，協(xié)方差函數(shù)差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)和變異函數(shù)(h)存在且平穩(wěn)。存在且平穩(wěn)。基于對數(shù)變換后的采樣點數(shù)據(jù)基于對數(shù)變

18、換后的采樣點數(shù)據(jù)Y(xi) (i =1,2,n)，計算實驗變異函數(shù)并進(jìn)行變，計算實驗變異函數(shù)并進(jìn)行變異函數(shù)模型的擬合和選擇，然后利用簡單克立格或普通克立格估計待估點異函數(shù)模型的擬合和選擇，然后利用簡單克立格或普通克立格估計待估點x處處的值的值Y*(x)。由于估計值由于估計值Y(x)是對數(shù)變換后的數(shù)值，因此是對數(shù)變換后的數(shù)值，因此對估計所得對估計所得Y*(x)需進(jìn)行反變換。需進(jìn)行反變換。實際研究中常常會需要獲取研究區(qū)內(nèi)研究對象大于某一給定閾值的概率分布，實際研究中常常會需要獲取研究區(qū)內(nèi)研究對象大于某一給定閾值的概率分布，即要獲知研究區(qū)內(nèi)任一點即要獲知研究區(qū)內(nèi)任一點x處隨機變量處隨機變量Z(x)的

19、概率分布。的概率分布。還會碰到采樣數(shù)據(jù)中存在特異值的問題。還會碰到采樣數(shù)據(jù)中存在特異值的問題。（特異值是指那些比全部數(shù)值的均值特異值是指那些比全部數(shù)值的均值或中位數(shù)高的多的數(shù)值，其既非分析誤差所致，也非采樣方法等人為誤差引起或中位數(shù)高的多的數(shù)值，其既非分析誤差所致，也非采樣方法等人為誤差引起，而是實際存在于所研究的總體之中，而是實際存在于所研究的總體之中）。指示克立格法就是為解決上述問題而發(fā)展起來的一種非參數(shù)地統(tǒng)計學(xué)方法。指示克立格法就是為解決上述問題而發(fā)展起來的一種非參數(shù)地統(tǒng)計學(xué)方法。指示克立格法不必去掉重要而實際存在的高值數(shù)據(jù)的條件下處理各種不同現(xiàn)象指示克立格法不必去掉重要而實際存在的高值

20、數(shù)據(jù)的條件下處理各種不同現(xiàn)象，并能夠給出某點，并能夠給出某點x處隨機變量處隨機變量Z(x)的概率分布。的概率分布。設(shè)一區(qū)域化變量Z(x)，對于任意給定的閾值z，引入指示函數(shù)I(x, z)，表達(dá)式如下：指示克立格法步驟如下：（1）確定一閾值，根據(jù)指示函數(shù)將原數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為0或1；（2）利用轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)計算指示變異函數(shù)，并進(jìn)行擬合；（3）建立指示克立格方程組，計算待估點值。若把指示函數(shù)看做一普通區(qū)域化變量，也可直接由簡單或普通克立格方法來計算待估點的值。若選擇多個閾值則需重復(fù)以上步驟。析取克立格析取克立格法法：假設(shè)假設(shè)已知任意區(qū)域化變量（已知任意區(qū)域化變量（Z , Z ）及（）及（Z0, Z ）二維概）

21、二維概率分布條件下，對待估點的值或待估點值超過給定閾值的概率進(jìn)行估率分布條件下，對待估點的值或待估點值超過給定閾值的概率進(jìn)行估計的一種非線性地統(tǒng)計方法計的一種非線性地統(tǒng)計方法。估值估值步驟步驟：設(shè)設(shè)區(qū)域化變量區(qū)域化變量Z(x)在待估點在待估點x0周圍有周圍有n個樣點個樣點xi(i =1,2,n),其其觀測觀測 值值為為Z(xi) (i =1,2,n)， 將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù) 對每個新變量對每個新變量Y(xi)(i=1,2,n) 計算埃爾米特多項式的值計算埃爾米特多項式的值。 計算埃爾米特多項式系數(shù)，用埃爾米特多項式來擬合正態(tài)變形函數(shù)計算埃爾米特多項式系數(shù)，用

22、埃爾米特多項式來擬合正態(tài)變形函數(shù)。 計算待估點析取克立格值計算待估點析取克立格值1、協(xié)同區(qū)域化變量理論協(xié)同區(qū)域化變量理論協(xié)同克立格法協(xié)同克立格法：是多元地統(tǒng)計學(xué)研是多元地統(tǒng)計學(xué)研究的基本方法，建立在協(xié)同區(qū)域化究的基本方法，建立在協(xié)同區(qū)域化變量理論基礎(chǔ)之上，利用多個區(qū)域變量理論基礎(chǔ)之上，利用多個區(qū)域化變量之間的互相關(guān)性，通過建立化變量之間的互相關(guān)性，通過建立交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)模交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)模型型，用易于觀測和控制的變量對不用易于觀測和控制的變量對不易觀測的變量進(jìn)行局部估計。易觀測的變量進(jìn)行局部估計。協(xié)同區(qū)域化：協(xié)同區(qū)域化：在統(tǒng)計意義及空間在統(tǒng)計意義及空間位置上均具有某種

23、程度相關(guān)性，并位置上均具有某種程度相關(guān)性，并且定義于同一空間域中的區(qū)域化變且定義于同一空間域中的區(qū)域化變量。量。協(xié)同區(qū)域化變量可用一組K個相關(guān)的區(qū)域化變量 表示。觀測前它是K維區(qū)域化變量的向量，即一個隨機場，觀測后，協(xié)同區(qū)域化變量是一個空間點函數(shù)，可以把 看成是上述K維向量的一個實現(xiàn)。滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足：滿足：（1）每一個協(xié)同區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望存在且平穩(wěn)：（2）交叉協(xié)方差函數(shù)存在，且平穩(wěn)：滿足內(nèi)蘊假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足內(nèi)蘊假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足：滿足：（1）每一個協(xié)同區(qū)域化變量增量的數(shù)學(xué)期望為0：（2）對于協(xié)同區(qū)域化變量，交叉變異

24、函數(shù)存在且平穩(wěn)。即（1）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)性質(zhì)交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)性質(zhì)1)當(dāng)當(dāng)k=k 時時，交叉協(xié)方差函數(shù)轉(zhuǎn)化為協(xié)方差函數(shù)，交叉變異函數(shù)轉(zhuǎn)化為變異函，交叉協(xié)方差函數(shù)轉(zhuǎn)化為協(xié)方差函數(shù)，交叉變異函數(shù)轉(zhuǎn)化為變異函數(shù)。數(shù)。即即2)交叉交叉變異函數(shù)變異函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) 交叉變異函數(shù)關(guān)于交叉變異函數(shù)關(guān)于k和和k 對稱，對稱，即即 交叉變異函數(shù)關(guān)于交叉變異函數(shù)關(guān)于h和和-h對稱，即對稱，即 在普通克立格法中變異函數(shù)總是大于等于在普通克立格法中變異函數(shù)總是大于等于0，但交叉變異函數(shù)可以有負(fù)值。，但交叉變異函數(shù)可以有負(fù)值。3)交叉交叉協(xié)方差協(xié)方差函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)交叉協(xié)方差函數(shù)交叉協(xié)方差函數(shù)關(guān)于關(guān)于

25、h和和-h不對稱不對稱，即即 ，但，但 當(dāng)當(dāng)h0 時時， k和和k 順序順序不能隨意顛倒，不能隨意顛倒，即即當(dāng)當(dāng)h=0 時時，交叉，交叉協(xié)方差轉(zhuǎn)化為直接協(xié)方差協(xié)方差轉(zhuǎn)化為直接協(xié)方差。4）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)具有以下關(guān)系：5）同一點兩個變量點對點協(xié)同區(qū)域化變量的相關(guān)系數(shù)為：（2）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計算公式交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計算公式設(shè)在點x和x+h處，分別測得兩個區(qū)域化變量的觀測值 Zk(x)、Zk(x) 、 Zk(x+h)、Zk(x+h) ，則交叉協(xié)方差函數(shù)計算公式為:交叉變異函數(shù)計算公式為：（3）交叉交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計算協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計算示例示

26、例采用表5 1、圖5 1所示的氣溫和海拔高度數(shù)據(jù)，以h=0,h1,4為例，交叉協(xié)方差和交叉變異計算過程如下：（1）協(xié)同克立協(xié)同克立金金估計量估計量1)無偏性條件2)最優(yōu)性條件對對F求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得協(xié)同克立格線性方程組：求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得協(xié)同克立格線性方程組：根據(jù)協(xié)同克立格方程組，協(xié)同克立格方差為：根據(jù)協(xié)同克立格方程組，協(xié)同克立格方差為：若有多個變量，則求解若有多個變量，則求解 的協(xié)同克立格方程組為：的協(xié)同克立格方程組為：協(xié)同克立格方差為：協(xié)同克立格方差為：要使協(xié)同克立格方程組具有唯一解的條件是：要使協(xié)同克立格方程組具有唯一解的條件是：設(shè)某一區(qū)域有兩個協(xié)同區(qū)域化變量：氣溫設(shè)某一區(qū)域有兩

27、個協(xié)同區(qū)域化變量：氣溫u、海拔高程、海拔高程v，均滿足二階平穩(wěn)假，均滿足二階平穩(wěn)假設(shè)和內(nèi)蘊假設(shè)，其中氣溫是所要估計的主變量?，F(xiàn)在估計鄰域內(nèi)共有設(shè)和內(nèi)蘊假設(shè)，其中氣溫是所要估計的主變量?，F(xiàn)在估計鄰域內(nèi)共有5個信個信息樣品，如圖息樣品，如圖5 1所示。假定所示。假定1、2、3號點上有氣溫值，而號點上有氣溫值，而5個點上均有次要個點上均有次要變量海拔高程值，數(shù)據(jù)如表變量海拔高程值，數(shù)據(jù)如表5 6所示。現(xiàn)擬利用協(xié)同克立格法估計所示?，F(xiàn)擬利用協(xié)同克立格法估計0號點的號點的氣溫值。氣溫值。估值過程中，氣溫協(xié)方差估值過程中，氣溫協(xié)方差C(ui,uj)根據(jù)簡單克立根據(jù)簡單克立金金法計算示例的球狀模型法計算示例的球狀模型計算，海拔高程協(xié)方差計算，海拔高程協(xié)方差C(vi,vj)根據(jù)式根據(jù)