第5章第1、2節(jié)

1、 多自由度系統(tǒng)是指有限個(gè)自由度的系統(tǒng)。 任何復(fù)雜的工程實(shí)際振動(dòng)問題都可以簡化或離散化為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題。 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程一般是一組相互耦合的常微分方程組。在系統(tǒng)微幅振動(dòng)的情況下，這組微分方程式是線性常系數(shù)的。 線性多自由度系統(tǒng)存在與自由度數(shù)相等的多個(gè)固有頻率。 每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的一種特定的振動(dòng)形態(tài)，稱為固有振型（或模態(tài)）。 系統(tǒng)以任一固有頻率進(jìn)行的振動(dòng)為主振動(dòng)。 第五章第五章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 利用模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換后的新坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)，應(yīng)用主坐標(biāo)能使多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)轉(zhuǎn)化為獨(dú)立的主振動(dòng)的疊加。這種方法稱為振型疊加法或模態(tài)分析法。振型疊加法是線性多自由

2、度系統(tǒng)的基本分析方法。 在某些特殊的情況下，有阻尼的多自由度系統(tǒng)仍能使用振型疊加法進(jìn)行振動(dòng)分析。 矩陣方法是一種很適合進(jìn)行多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析和計(jì)算的方法，它可以把大量的方程組處理為簡潔的符號(hào)，并為求解提供規(guī)則的算法。 直接積分法是通過直接積分微分方程求出方程的數(shù)值解。較為復(fù)雜的多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的分析計(jì)算需要由計(jì)算機(jī)來求解問題的數(shù)值解。 建立多自由度振動(dòng)系統(tǒng)微分方程，一般采用兩種主要方法。 牛頓力學(xué)方法：分析力學(xué)方法： 這種方法必須考慮約束反力并畫出物體系統(tǒng)的受力圖，對(duì)于一些簡單問題，采用這種方法比較直觀簡便。 這種方法首先應(yīng)該合理選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，然后根據(jù)拉格朗日方程等分析力學(xué)方法，建立

3、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，由于這種方法僅涉及動(dòng)能、勢(shì)能和功等標(biāo)量形式的物理量，對(duì)于復(fù)雜的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)建立運(yùn)動(dòng)微分方程較為方便。5.1 多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 例例5.1 考慮圖5.1-1(a)的三個(gè)自由度系統(tǒng)，應(yīng)用牛頓第二定律導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。設(shè)彈簧是線性的，阻尼是粘性的。 解：解：如圖5.1-1(a)所示，坐標(biāo)q1，q2，q3分別表示m1，m2，m3偏離其各自平衡位置的水平位移，而Q1，Q2，Q3是相應(yīng)的外激勵(lì)。圖 5.1-1 為了用牛頓第二定律導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程，分別作出質(zhì)量m1，m2，m3的受力圖，如圖5.1-1(b)所示。對(duì)質(zhì)量mi(i=1, 2, 3)應(yīng)用牛頓第二

4、定律可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程 )()(1221221111111qqkqqcqkqcQqm )()()()(233233122122222qqkqqcqqkqqcQqm )()(233233333qqkqqcQqm 圖 5.1-1改寫成下列形式1221212212111)()(Qqkqkkqcqccqm 23323212332321222)()(Qqkqkkqkqcqccqcqm 33323332333Qqkqkqcqcqm 此式可用矩陣形式表達(dá)為 MqCqKqQ其中各矩陣和列陣分別為1230000,00mMmm1222233330,0cccCcccccc1222233330,0kkkKkkkkkk

5、123,qqqq123,qqqq123,qqqq123QQQQ其中M、C和K分別稱為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，q、 、 和Q分別稱為位移向量、速度向量、加速度向量和外激勵(lì)向量。顯然可見，M、C、K為對(duì)稱矩陣。q q 應(yīng)用牛頓力學(xué)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，必須畫受力圖，為此常常要引入那些未知的約束反力，因此對(duì)于較為復(fù)雜的系統(tǒng)，顯得很繁瑣。考慮有阻尼系統(tǒng)，其拉格朗日方程形式為 應(yīng)用拉格朗日方程建立多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，不必引入那些不用知道的未知約束反力，從能量觀點(diǎn)上統(tǒng)一建立起來系統(tǒng)的動(dòng)能T、勢(shì)能U和功W之間的標(biāo)量方程，在應(yīng)用上帶來了不少方便。 )(ddtQqUqTqTtjjjj), 2 ,

6、 1(nj(5.1-1)式中qj和 為振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，它是廣義速度的二次型，U為系統(tǒng)的勢(shì)能，它是廣義坐標(biāo)的二次型，Qj(t)為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qj的除有勢(shì)力以外的其它非有勢(shì)力的廣義力，n為系統(tǒng)的自由度數(shù)目。 jq 應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的主要步驟如下：判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)，并適當(dāng)選取廣義坐標(biāo)，其數(shù)目和自由度數(shù)相同；計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能；計(jì)算非有勢(shì)力所對(duì)應(yīng)的各廣義坐標(biāo)的廣義力；將求得的動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力代入拉格朗日方程中進(jìn)行運(yùn)算，即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 例例5.1-2 如圖5.1-2所示的平板剛體由四根彈簧連接，被限制在圖示光滑水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，圖示位

7、置為平衡位置，且彈簧為原長。已知質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Io。試導(dǎo)出微幅運(yùn)動(dòng)的微分方程。 解：解：取剛體質(zhì)心O點(diǎn)偏離平衡位置的x，y和剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，即321,qyqxq系統(tǒng)的動(dòng)能為22221)(21oIyxmT取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的勢(shì)能為244233222211)(21)(21)(21)(21aykaykaxkaxkU圖5.1-2計(jì)算拉格朗日方程中各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)如下：1122d,0,()()dTTUmxk xakxatxxx3344d,0,()()dTTUmykyakyatyyy11222333444d,0d()()()()oTTItUk xakxaakyaakyaa代入拉格朗日方程

8、(5.1-1)得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為0)()(221121akakxkkxm 0)()(443343akakykkym 1 122334422221 1223344()()()0oIk ak axk ak ayk ak ak ak a寫成矩陣形式0MqKq其中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為121 12234334422221 12233441 122334400000000omMmIkkk ak aKkkk ak ak ak ak ak ak ak ak ak a位移向量為Tqxy第一階主振型第二階主振型第三階主振型 例例5.1-3 如圖5.1-3所示的質(zhì)量塊m，可沿光滑水平面滑動(dòng)，其右側(cè)與剛度為k的彈簧

9、相連，左側(cè)與阻尼系數(shù)為c的阻尼器相連，并在質(zhì)量塊m上作用一水平外激勵(lì)Q。擺錘重m1，由一長為l的無重剛桿與滑塊m以鉸相連，并只能在圖示鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。試列出此系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。 解：解：以平衡時(shí)質(zhì)量塊m的質(zhì)心O點(diǎn)為坐標(biāo) 原 點(diǎn) 。 以 q1= x 和q2=為廣義坐標(biāo)，則質(zhì)點(diǎn)m1坐標(biāo)為sin1lxxcos1ly 圖 5.1-3系統(tǒng)動(dòng)能為)(2121212112yxmxmT即cos21)(21122121x lmlmxmmT 擺錘m1所受重力m1g和彈簧反力kx為有勢(shì)力，滑塊m所受重力mg與光滑面的反力相平衡。以平衡位置為勢(shì)能的零位置，則系統(tǒng)勢(shì)能為2121)cos1 (kxglmU 外激勵(lì)Q與阻尼

10、力 為非有勢(shì)力，它們與廣義坐標(biāo)q1和q2對(duì)應(yīng)的廣義力分別為xc0,21QxcQQ計(jì)算拉格朗日方程各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)如下： 2111d()cossin ,d0,Tmm xmlmltxTUkxxx211111dcossin ,dsin ,sinTmlmlxmlxtTUmlxm gl 代入拉格朗日方程(5.1-1)得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為0sincossincos)(11212111glmx lmlmQkxxclmlmxmm 上述方程是非線性方程，對(duì)于微幅振動(dòng)，有MqCqKqQ并略去非線性乘積項(xiàng)后，有sin , cos10)(112111glmx lmlmQkxxclmxmm 寫成矩陣形式，有其中質(zhì)量矩陣，阻尼矩

11、陣和剛度矩陣分別為11211100,000mmmlkcMCKmlmlm gl位移向量和外激勵(lì)向量分別為TT,0qxQQ 多自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程的一般表達(dá)式為式中M、C和K分別為nn階的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，q， ， 和Q分別為廣義坐標(biāo)、廣義速度、廣義加速度和廣義力的n維向量。q q 對(duì)無阻尼的自由振動(dòng)，方程(5.2-1)可以表示為( )MqCqKqQ t(5.2-1)0MqKq(5.2-2)它表示一組n個(gè)聯(lián)立的齊次微分方程組), 2 , 1,(011njiqkqmnjjijjnjij (5.2-3)5.2 無阻尼自由振動(dòng)特征值問題無阻尼自由振動(dòng)特征值問題 對(duì)于n個(gè)聯(lián)立的齊次方程一定存在

12、著同步運(yùn)動(dòng)的解，即在運(yùn)動(dòng)過程中，所有坐標(biāo)應(yīng)具有對(duì)時(shí)間相同的依賴關(guān)系。在數(shù)學(xué)上，這一類運(yùn)動(dòng)可以表示為式中uj是一組常數(shù)，而f(t)對(duì)于所有坐標(biāo)qj(t)是相同的。(5.2-4), 2 , 1()()(njtfutqjj 將方程(5.2-4)代入方程(5.2-3)，并注意到函數(shù)f(t)不依賴于下標(biāo)j，有(5.2-5), 2 , 1,(0)()(11njiuktfumtfnjjijjnjij 將其寫成下面的形式121( )( ,1,2, )( )nijjjnijjjk uf ti jnf tm u(5.2-6)在上式中分離開來了與時(shí)間有關(guān)的部分和位置有關(guān)的部分，可以看出，方程(5.2-6)的左邊不依

13、賴于下標(biāo)j，而右邊不依賴于時(shí)間t，因而兩個(gè)比值必定等于常數(shù)，并且可以證明，這個(gè)常數(shù)是一正實(shí)數(shù)，令常數(shù)=2，于是有(5.2-7)0)()(2tftf njjijijnjiumk12), 2 , 1,(0)(5.2-8) 如果同步運(yùn)動(dòng)是可能的，那么對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系是簡諧函數(shù)，因?yàn)閒(t)是一實(shí)函數(shù)，所以方程(5.2-7)唯一可以接受的解是具有頻率的簡諧函數(shù)，即式中C為任意常數(shù)，為簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率，為相角。這三個(gè)量對(duì)每一個(gè)坐標(biāo)qj(t)(j=1,2,n)都是相同的。)sin()(tCtf(5.2-9)把方程(5.2-8)寫成矩陣形式2()0KM u(5.2-10a)或者寫為(5.2-10b)2KuMu

14、方程(5.2-10)是關(guān)于矩陣M和K的特征值問題。 方程(5.2-10)存在非零解的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式等于零，即式中(2)稱為特征行列式，而方程(5.2-11)稱為特征方程或頻率方程，將其展開后可得到2的n次代數(shù)方程式，即22()det()0KM(5.2-11)021)2(22)1(212nnnnnaaaa(5.2-12)這一n次代數(shù)方程有n個(gè)根 (r=1,2,n)，這些根稱為特征值，它們的平方根r (r=1,2,n)稱為系統(tǒng)的固有頻率。將固有頻率由小到大依次排列，有2r12rn(5.2-13)稱最低的固有頻率1為基頻。 在實(shí)際問題中，往往基頻是所有頻率中最重要的一個(gè)。 這n個(gè)根 (r

15、=1,2,n)可以是單根，也可以是重根；可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。2r 對(duì)于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為正定實(shí)對(duì)稱矩陣，剛度矩陣為正定或半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，所有的特征值都是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或零。 只有當(dāng)剛度矩陣為半正定時(shí)，系統(tǒng)才有零特征值。 將求得的固有頻率r (r=1,2,n)分別代入方程(5.2-10)，得2( )()0 (1,2, )rrKM urn(5.2-14) 解式(5.2-14)特征值問題，可求得非零解向量，即 ( )T12 (1,2, )rrrrnuuuurn 稱向量u(r)為對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量，也稱為振型向量或模態(tài)向量，它表示了所謂的固有振型。 2r 特征向量的各元素的值是不唯一確

16、定的量，但任意兩個(gè)元素 和 的比值是一常數(shù)。)(riu)(rju 固有振型的形狀是唯一的，而振幅不是唯一的。 u(r)為齊次方程組(5.2-14)的解，那么ru(r)也是一個(gè)解，r為任意常數(shù)。 如果特征向量u(r)中的一個(gè)元素被指定為某一個(gè)值，那么特征向量就是唯一確定的向量。因?yàn)槠溆嗟膎-1個(gè)元素的值可以根據(jù)任意兩個(gè)元素的比值是常數(shù)這一點(diǎn)自行調(diào)整。 調(diào)整固有振型的元素使其成為單值的過程稱為正則化，而所得到的向量稱為正則振型。 一個(gè)很簡便的正則化方法就是令( )T( )1(1,2, )rruMurn(5.2-15) 將方程(5.2-14)兩邊前乘特征向量u(r)轉(zhuǎn)置u(r)T，有( )T( )2

17、(1,2, )rrruKurn(5.2-16) 例例5.2-1 圖5.2-1表示一個(gè)三自由度系統(tǒng)，求固有頻率和固有振型，并求正則振型。 解：解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 0MxKx其中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為002000 ,20002mkkMmKkkkmkk 圖 5.2-1其特征值問題為2KuMu特征方程為0)24)(2(20202)(224222222kmkmmkmkkkmkkkmk求得固有頻率mkmkmk)22(,2,)22(321計(jì)算對(duì)應(yīng)三個(gè)固有頻率的固有振型，將1代入特征值問題方程，有因?yàn)檫@是齊次方程組，如果振型向量的某一元素被給定，那么就可以唯一地求出其余兩個(gè)元素。 (1)1(1)2(1)3210012100012uuu 至于給定哪一個(gè)元素是無關(guān)緊要的，因?yàn)闊o論給定哪一個(gè)元素，都可以得到相同的結(jié)果。習(xí)慣上，令 ，可解得1)1(1u(1)2(1)221uu故求得對(duì)應(yīng)固有頻率1的固有振型為(1)1(1)2(1)3121uuu 同理，將2代入特征值問題方程，并令 可解出對(duì)應(yīng)固有頻率2的固有振型為1)2(1u(2)1(2)2(3)3101uuu(3)1(3)2(3)3121uuu 同樣，可得到對(duì)應(yīng)于固有頻率3的固有振型為 代入u(1)TM