數(shù)學(xué)文化2教材

1、數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化第一章第一章 概論概論 第一節(jié)第一節(jié) 文化與數(shù)學(xué)文化文化與數(shù)學(xué)文化第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)學(xué)的語言及其特點數(shù)學(xué)的語言及其特點第三節(jié)第三節(jié) 數(shù)學(xué)發(fā)展簡史數(shù)學(xué)發(fā)展簡史 數(shù)學(xué)的發(fā)展史大致可以分為四個本質(zhì)上不同的時數(shù)學(xué)的發(fā)展史大致可以分為四個本質(zhì)上不同的時期（階段）：期（階段）： 第一個時期第一個時期數(shù)學(xué)形成時期。這是人類建立數(shù)學(xué)形成時期。這是人類建立最基本的數(shù)學(xué)概念的時期。最基本的數(shù)學(xué)概念的時期。 第二個時期第二個時期初等數(shù)學(xué)（即常量數(shù)學(xué)）時期。初等數(shù)學(xué)（即常量數(shù)學(xué)）時期。這個時期的基本的、最簡單的成果構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)這個時期的基本的、最簡單的成果構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。的主要內(nèi)容。 第

2、三個時期第三個時期變量數(shù)學(xué)時期。變量數(shù)學(xué)時期。 第四個時期第四個時期現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期。 人類從數(shù)數(shù)開始逐漸建立了自然數(shù)的概念，簡單人類從數(shù)數(shù)開始逐漸建立了自然數(shù)的概念，簡單的計算法，并認(rèn)識了最簡單的幾何形式，逐步地形成的計算法，并認(rèn)識了最簡單的幾何形式，逐步地形成了理論與證明之間的邏輯關(guān)系的了理論與證明之間的邏輯關(guān)系的“純粹純粹”數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)。 這一時期，算術(shù)與幾何還沒有分開，彼此緊密地這一時期，算術(shù)與幾何還沒有分開，彼此緊密地交錯著。交錯著。 這個時期從公元前這個時期從公元前5 5世紀(jì)開始，也許更早一些，世紀(jì)開始，也許更早一些，直到直到1717世紀(jì)，大約持續(xù)了兩千年。在這個時斯逐漸形世

3、紀(jì)，大約持續(xù)了兩千年。在這個時斯逐漸形成了初等數(shù)學(xué)的主要分支：算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角。成了初等數(shù)學(xué)的主要分支：算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角。 按照歷史條件不同，可以把常量（初等）數(shù)學(xué)史按照歷史條件不同，可以把常量（初等）數(shù)學(xué)史分為三個不同時期：希臘的、東方的和歐洲文藝復(fù)興分為三個不同時期：希臘的、東方的和歐洲文藝復(fù)興時代的時期時代的時期。 希臘時期正好與希臘文化普遍繁榮的時代希臘時期正好與希臘文化普遍繁榮的時代一致。到公元前一致。到公元前3 3世紀(jì)，在最偉大的古代幾何學(xué)家歐世紀(jì)，在最偉大的古代幾何學(xué)家歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼奧斯的時代達到了頂峰，幾里得、阿基米德、阿波羅尼奧斯的時代達到了頂峰，而

4、終止于公元而終止于公元6 6世紀(jì)，當(dāng)時最光輝的著作是歐幾里得世紀(jì)，當(dāng)時最光輝的著作是歐幾里得的原本。盡管這部書是兩千多年以前寫成的，但是它的原本。盡管這部書是兩千多年以前寫成的，但是它的一般內(nèi)容和敘述的特征，卻與我們現(xiàn)在通用的幾何的一般內(nèi)容和敘述的特征，卻與我們現(xiàn)在通用的幾何教科書非常相近。教科書非常相近。 希臘人不僅發(fā)展了初等幾何，并把它導(dǎo)向完整的希臘人不僅發(fā)展了初等幾何，并把它導(dǎo)向完整的體系，還得到許多非常重要的結(jié)果。例如，他們研究體系，還得到許多非常重要的結(jié)果。例如，他們研究了圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線；證明了某些屬了圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線；證明了某些屬于射影幾何的定理，以天

5、文學(xué)的需要為指南建立了球于射影幾何的定理，以天文學(xué)的需要為指南建立了球面幾何，以及三角學(xué)的原理，并計算出最初的正弦表，面幾何，以及三角學(xué)的原理，并計算出最初的正弦表，確定了許多復(fù)雜圖形的面積和體積。確定了許多復(fù)雜圖形的面積和體積。 在算術(shù)與代數(shù)方面，希臘人也做了不少工作。他在算術(shù)與代數(shù)方面，希臘人也做了不少工作。他們奠定了數(shù)論的基礎(chǔ)，并研究丟番圖方程，發(fā)現(xiàn)了無們奠定了數(shù)論的基礎(chǔ)，并研究丟番圖方程，發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，找到了求平方根、立方根的方法，知道算術(shù)級理數(shù)，找到了求平方根、立方根的方法，知道算術(shù)級數(shù)與幾何級數(shù)的性質(zhì)。數(shù)與幾何級數(shù)的性質(zhì)。 應(yīng)該指出，遠(yuǎn)在這以前好幾個世紀(jì)，我國的算術(shù)應(yīng)該指出，遠(yuǎn)在這

6、以前好幾個世紀(jì)，我國的算術(shù)和代數(shù)已達到很高的水平。在公元前和代數(shù)已達到很高的水平。在公元前2 2世紀(jì)到世紀(jì)到l l世紀(jì)已世紀(jì)已有了三元一次聯(lián)立方程組的解法。同時在歷史上第一有了三元一次聯(lián)立方程組的解法。同時在歷史上第一次利用負(fù)數(shù)，并且敘述了對負(fù)數(shù)進行運算的規(guī)則，也次利用負(fù)數(shù)，并且敘述了對負(fù)數(shù)進行運算的規(guī)則，也找到了求平方根與立方根的方法。找到了求平方根與立方根的方法。 在幾何方面希臘人已接近在幾何方面希臘人已接近“高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)”。阿基米。阿基米德在計算面積與體積時已接近積分運算，阿波羅尼奧德在計算面積與體積時已接近積分運算，阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線的研究接近于解析幾何。斯關(guān)于圓錐曲線的研究

7、接近于解析幾何。 隨著希臘科學(xué)的終結(jié)，在歐洲出現(xiàn)了科學(xué)蕭條，隨著希臘科學(xué)的終結(jié)，在歐洲出現(xiàn)了科學(xué)蕭條，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心移到了印度、中亞細(xì)亞和阿拉伯國家。數(shù)學(xué)發(fā)展的中心移到了印度、中亞細(xì)亞和阿拉伯國家。 在這些地方，從在這些地方，從5 5世紀(jì)到世紀(jì)到1515世紀(jì)的一千年中間，世紀(jì)的一千年中間，數(shù)學(xué)主要由于計算的需要，特別是由于天文學(xué)的需要數(shù)學(xué)主要由于計算的需要，特別是由于天文學(xué)的需要而得到發(fā)展。印度人發(fā)明了現(xiàn)代記數(shù)法，引進了負(fù)數(shù)，而得到發(fā)展。印度人發(fā)明了現(xiàn)代記數(shù)法，引進了負(fù)數(shù)，并把正數(shù)與負(fù)數(shù)的對立和財產(chǎn)與債務(wù)的對立及直線上并把正數(shù)與負(fù)數(shù)的對立和財產(chǎn)與債務(wù)的對立及直線上兩個方向的對立聯(lián)系了起來。他們

8、開始像運用有理數(shù)兩個方向的對立聯(lián)系了起來。他們開始像運用有理數(shù)一樣運用無理數(shù)，他們給出了表示各種代數(shù)運算包括一樣運用無理數(shù)，他們給出了表示各種代數(shù)運算包括求根運算的符號。由于他們沒有對無理數(shù)與有理數(shù)的求根運算的符號。由于他們沒有對無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別感到困惑，從而為代數(shù)打開了真正的發(fā)展道路。區(qū)別感到困惑，從而為代數(shù)打開了真正的發(fā)展道路。 “代數(shù)代數(shù)”這個詞本身起源于這個詞本身起源于9 9世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家天文學(xué)家穆罕默德穆罕默德伊本伊本穆斯穆斯阿里阿里花拉子花拉子米?；ɡ用椎闹骰旧辖⒘私夥匠痰姆椒?。從米。花拉子米的著作基本上建立了解方程的方法。從這時起，求方程的解作為

9、代數(shù)的基本特征被長期保持這時起，求方程的解作為代數(shù)的基本特征被長期保持了下來。他的代數(shù)著作在數(shù)學(xué)史上起了重大作用，因了下來。他的代數(shù)著作在數(shù)學(xué)史上起了重大作用，因為這部作品后來被翻譯成拉丁語，曾長期作為歐洲主為這部作品后來被翻譯成拉丁語，曾長期作為歐洲主要的教科書。要的教科書。 中亞細(xì)亞的數(shù)學(xué)家們找到了求根和一系列方程的中亞細(xì)亞的數(shù)學(xué)家們找到了求根和一系列方程的近似解的方法，找到了近似解的方法，找到了“牛頓二項式定理牛頓二項式定理”的普遍公的普遍公式，他們有力地推進了三角學(xué)，把它建成一個系統(tǒng)，式，他們有力地推進了三角學(xué)，把它建成一個系統(tǒng)，并造出非常準(zhǔn)確的正弦表。這時中國科學(xué)的成就開始并造出非常

10、準(zhǔn)確的正弦表。這時中國科學(xué)的成就開始傳人鄰國。約在公元傳人鄰國。約在公元6 6世紀(jì)我國已經(jīng)會解簡單的不定方世紀(jì)我國已經(jīng)會解簡單的不定方程，知道幾何中的近似計算以及三次方程的近似解法。程，知道幾何中的近似計算以及三次方程的近似解法。 到到1616世紀(jì)，所缺少的主要是對數(shù)及虛數(shù)，還缺乏世紀(jì)，所缺少的主要是對數(shù)及虛數(shù)，還缺乏字母符號系統(tǒng)。正像在遠(yuǎn)古時代，為了運用整數(shù)，應(yīng)字母符號系統(tǒng)。正像在遠(yuǎn)古時代，為了運用整數(shù)，應(yīng)該制定表示它們的符號一樣，現(xiàn)在為了運用任意數(shù)并該制定表示它們的符號一樣，現(xiàn)在為了運用任意數(shù)并對它們給出一般規(guī)則，就應(yīng)該制定相似的符號。這個對它們給出一般規(guī)則，就應(yīng)該制定相似的符號。這個任務(wù)

11、從希臘時代就開始而直到任務(wù)從希臘時代就開始而直到1717世紀(jì)才完成，在笛卡世紀(jì)才完成，在笛卡兒和其他人的工作中最后形成了現(xiàn)代符號系統(tǒng)。兒和其他人的工作中最后形成了現(xiàn)代符號系統(tǒng)。 在科學(xué)復(fù)興時期，歐洲人向阿拉伯學(xué)習(xí)，并且根在科學(xué)復(fù)興時期，歐洲人向阿拉伯學(xué)習(xí)，并且根據(jù)阿拉伯文的翻譯熟識了希臘科學(xué)。從阿拉伯沿襲過據(jù)阿拉伯文的翻譯熟識了希臘科學(xué)。從阿拉伯沿襲過來的印度計數(shù)法逐漸地在歐洲確定了下來。來的印度計數(shù)法逐漸地在歐洲確定了下來。 16 16世紀(jì)，歐洲科學(xué)終于越過了先人的成就。例世紀(jì)，歐洲科學(xué)終于越過了先人的成就。例如意大利人塔爾塔利亞和費拉里在一般形式上先解了如意大利人塔爾塔利亞和費拉里在一般形

12、式上先解了三次方程，然后四次方程。在這個時期第一次開始運三次方程，然后四次方程。在這個時期第一次開始運用虛數(shù)?，F(xiàn)代的代數(shù)符號也制造出來了，其中不僅出用虛數(shù)?，F(xiàn)代的代數(shù)符號也制造出來了，其中不僅出現(xiàn)了表示未知數(shù)的字母符號，也出現(xiàn)了表示已知數(shù)的現(xiàn)了表示未知數(shù)的字母符號，也出現(xiàn)了表示已知數(shù)的字母符號，這是韋達在字母符號，這是韋達在15911591年作出的。年作出的。 正是在這一時期，英國的納皮爾發(fā)明了供天文作正是在這一時期，英國的納皮爾發(fā)明了供天文作參考的對數(shù)，并在參考的對數(shù)，并在16141614年發(fā)表。布里格斯算出第一批年發(fā)表。布里格斯算出第一批十進對數(shù)表是在十進對數(shù)表是在16241624年。年。

13、 當(dāng)時在歐洲也出現(xiàn)了當(dāng)時在歐洲也出現(xiàn)了“組合論組合論”和和“牛頓二項式牛頓二項式定理定理”的普遍公式；級數(shù)知道得更早，所以初等代數(shù)的普遍公式；級數(shù)知道得更早，所以初等代數(shù)的建立是完成了，以后則是向高等數(shù)學(xué)，即變量數(shù)學(xué)的建立是完成了，以后則是向高等數(shù)學(xué)，即變量數(shù)學(xué)的過渡。的過渡。 1616世紀(jì)，封建制度開始消亡，資本主義開始發(fā)展世紀(jì)，封建制度開始消亡，資本主義開始發(fā)展并興盛起來。在這一時期中，家庭手工業(yè)，手工業(yè)作并興盛起來。在這一時期中，家庭手工業(yè)，手工業(yè)作坊逐漸地改革為工場手工業(yè)生產(chǎn)，并進而轉(zhuǎn)化為以使坊逐漸地改革為工場手工業(yè)生產(chǎn)，并進而轉(zhuǎn)化為以使用機器為主的大工業(yè)。因此，對數(shù)學(xué)提出了新的要求。

14、用機器為主的大工業(yè)。因此，對數(shù)學(xué)提出了新的要求。 這時，對運動的研究變成了自然科學(xué)的中心問題。這時，對運動的研究變成了自然科學(xué)的中心問題。實踐的需要和各門科學(xué)本身的發(fā)展使自然科學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)嵺`的需要和各門科學(xué)本身的發(fā)展使自然科學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)\動的研究，對各種變化過程和各種變化著的量之間運動的研究，對各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關(guān)系的研究。的依賴關(guān)系的研究。 作為變化著的量的一般性質(zhì)和它們之間依賴關(guān)系作為變化著的量的一般性質(zhì)和它們之間依賴關(guān)系的反映，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念。數(shù)學(xué)對的反映，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念。數(shù)學(xué)對象的這種根本擴展決定了數(shù)學(xué)向新的階段，即向變量象的這種根本擴展決

15、定了數(shù)學(xué)向新的階段，即向變量數(shù)學(xué)時期的過渡。數(shù)學(xué)時期的過渡。 數(shù)學(xué)中專門研究函數(shù)的領(lǐng)域叫做數(shù)學(xué)分析，或者數(shù)學(xué)中專門研究函數(shù)的領(lǐng)域叫做數(shù)學(xué)分析，或者叫無窮小分析。后一名詞的來源是，因為無窮小量概叫無窮小分析。后一名詞的來源是，因為無窮小量概念是研究函數(shù)的重要工具。念是研究函數(shù)的重要工具。 所以，從所以，從1717世紀(jì)開始的數(shù)學(xué)的新時期世紀(jì)開始的數(shù)學(xué)的新時期變量數(shù)變量數(shù)學(xué)時期可以定義為數(shù)學(xué)分析出現(xiàn)與發(fā)展的時期學(xué)時期可以定義為數(shù)學(xué)分析出現(xiàn)與發(fā)展的時期。 變量數(shù)學(xué)建立的第一個決定性步驟出現(xiàn)在變量數(shù)學(xué)建立的第一個決定性步驟出現(xiàn)在16371637年笛卡兒的著作年笛卡兒的著作“幾何學(xué)幾何學(xué)”。這本書奠定了解

16、析。這本書奠定了解析幾何的基礎(chǔ)，它一出現(xiàn)，變量就進入了數(shù)學(xué)，從而運幾何的基礎(chǔ)，它一出現(xiàn)，變量就進入了數(shù)學(xué)，從而運動進入了數(shù)學(xué)。動進入了數(shù)學(xué)。恩格斯指出：恩格斯指出：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻辯證法進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了成為必要的了”( (恩格斯自然辯證法，人民出版社恩格斯自然辯證法，人民出版社19711971年版第年版第236236頁頁) )。在這轉(zhuǎn)折之前，數(shù)學(xué)中占統(tǒng)治地位的是。在這轉(zhuǎn)折之前，數(shù)學(xué)中占統(tǒng)治地位的是

17、常量，而這之后，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向研究變量了。常量，而這之后，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向研究變量了。 在在“幾何學(xué)幾何學(xué)”里，笛卡兒給出了字母符號的代數(shù)里，笛卡兒給出了字母符號的代數(shù)和解析幾何原理，這就是引進坐標(biāo)系和利用坐標(biāo)方法和解析幾何原理，這就是引進坐標(biāo)系和利用坐標(biāo)方法把具有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條把具有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。曲線。 解析幾何給出了回答如下問題的可能：解析幾何給出了回答如下問題的可能： (1) (1)通過計算來解決作圖問題；通過計算來解決作圖問題； (2) (2)求由某種幾何性質(zhì)給定的曲線的方程；求由某種幾何性質(zhì)給定的曲線的方程； (3) (3)利用代數(shù)方法證明

18、新的幾何定理；利用代數(shù)方法證明新的幾何定理； (4) (4)反過來，從幾何方面來看代數(shù)方程。反過來，從幾何方面來看代數(shù)方程。 因此，解析幾何是這樣一個數(shù)學(xué)部門，即在采用因此，解析幾何是這樣一個數(shù)學(xué)部門，即在采用坐標(biāo)法的同時，用代數(shù)方法研究幾何對象。坐標(biāo)法的同時，用代數(shù)方法研究幾何對象。 在笛卡兒之前，從古代起在數(shù)學(xué)中起優(yōu)勢作用的在笛卡兒之前，從古代起在數(shù)學(xué)中起優(yōu)勢作用的是幾何學(xué)。笛卡兒把數(shù)學(xué)引向另一途徑，這就是使代是幾何學(xué)。笛卡兒把數(shù)學(xué)引向另一途徑，這就是使代數(shù)獲得更重大的意義。數(shù)獲得更重大的意義。 變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第二個決定性步驟是牛頓和變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第二個決定性步驟是牛頓和萊布尼茲在萊布尼茲

19、在1717世紀(jì)后半葉建立了微積分。事實上牛頓世紀(jì)后半葉建立了微積分。事實上牛頓和萊布尼茲只是把許多數(shù)學(xué)家都參加過的巨大準(zhǔn)備工和萊布尼茲只是把許多數(shù)學(xué)家都參加過的巨大準(zhǔn)備工作完成了，它的原理卻要溯源于古代希臘人所創(chuàng)造的作完成了，它的原理卻要溯源于古代希臘人所創(chuàng)造的求面積和體積的方法。求面積和體積的方法。 微積分的起源主要來自兩方面的問題：一是力學(xué)微積分的起源主要來自兩方面的問題：一是力學(xué)的一些新問題的一些新問題已知路程對時間的關(guān)系求速度，及已知路程對時間的關(guān)系求速度，及已知速度對時間的關(guān)系求路程；一是幾何學(xué)的一些相已知速度對時間的關(guān)系求路程；一是幾何學(xué)的一些相當(dāng)老的問題當(dāng)老的問題作曲線的切線和確

20、定面積和體積等問作曲線的切線和確定面積和體積等問題。這些問題在古代就研究過，在題。這些問題在古代就研究過，在1717世紀(jì)初期開普勒、世紀(jì)初期開普勒、卡瓦列里和許多其他數(shù)學(xué)家也研究過，但是這兩類問卡瓦列里和許多其他數(shù)學(xué)家也研究過，但是這兩類問題之間的顯著關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，解決這些問題的一般方法題之間的顯著關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，解決這些問題的一般方法的形成，要歸功于牛頓和萊布尼茲。微積分的發(fā)現(xiàn)在的形成，要歸功于牛頓和萊布尼茲。微積分的發(fā)現(xiàn)在科學(xué)史上具有決定性的意義。科學(xué)史上具有決定性的意義。 除了變量與函數(shù)概念以外，以后形成的極限除了變量與函數(shù)概念以外，以后形成的極限概念也是微積分以及進一步發(fā)展的整個分析的基礎(chǔ)。

21、概念也是微積分以及進一步發(fā)展的整個分析的基礎(chǔ)。 微分方程論研究的是這樣一種方程：方程中的未微分方程論研究的是這樣一種方程：方程中的未知項不是數(shù)，而是函數(shù)；微分幾何是關(guān)于曲線和曲面知項不是數(shù)，而是函數(shù)；微分幾何是關(guān)于曲線和曲面的一般理論；在的一般理論；在1919世紀(jì)還產(chǎn)生了另一個重要分支，即世紀(jì)還產(chǎn)生了另一個重要分支，即復(fù)變函數(shù)論，它使分析的內(nèi)容更加充實。復(fù)變函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論，它使分析的內(nèi)容更加充實。復(fù)變函數(shù)是將實分析的方法推廣到復(fù)數(shù)域中去了。將實分析的方法推廣到復(fù)數(shù)域中去了。 同微積分一道，還產(chǎn)生了分析的另外一部分：級同微積分一道，還產(chǎn)生了分析的另外一部分：級數(shù)理論、微分方程論、微分幾何。所有

22、這些理論都是數(shù)理論、微分方程論、微分幾何。所有這些理論都是因為力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)問題的需要而產(chǎn)生并向前發(fā)因為力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)問題的需要而產(chǎn)生并向前發(fā)展的。展的。 分析蓬勃地發(fā)展著，它不僅成為數(shù)學(xué)的中心和主分析蓬勃地發(fā)展著，它不僅成為數(shù)學(xué)的中心和主要部分，而且還滲入到數(shù)學(xué)較古老的范圍，如代數(shù)、要部分，而且還滲入到數(shù)學(xué)較古老的范圍，如代數(shù)、幾何與數(shù)論。幾何與數(shù)論。 在希臘人那里，數(shù)學(xué)基本上就是幾何；在牛頓以在希臘人那里，數(shù)學(xué)基本上就是幾何；在牛頓以后，數(shù)學(xué)基本上就是分析了。后，數(shù)學(xué)基本上就是分析了。 通過分析及其變量、函數(shù)和極限等概念，運動、通過分析及其變量、函數(shù)和極限等概念，運動、變化等思想，

23、使辯證法滲入了全部數(shù)學(xué)。同樣地，基變化等思想，使辯證法滲入了全部數(shù)學(xué)。同樣地，基本上通過分析，數(shù)學(xué)才在自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展中成本上通過分析，數(shù)學(xué)才在自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展中成為精確地表述它們的規(guī)律和解決它們問題的得力工具。為精確地表述它們的規(guī)律和解決它們問題的得力工具。 當(dāng)然，分析并不能包括數(shù)學(xué)的全部，在幾何、代當(dāng)然，分析并不能包括數(shù)學(xué)的全部，在幾何、代數(shù)和數(shù)論中都保留著它們特有的問題和方法。比如，數(shù)和數(shù)論中都保留著它們特有的問題和方法。比如，在在1717世紀(jì)，與解析幾何同時還產(chǎn)生了射影幾何，而純世紀(jì)，與解析幾何同時還產(chǎn)生了射影幾何，而純粹幾何方法在射影幾何中占統(tǒng)治地位。這時還產(chǎn)生了粹幾何方法在

24、射影幾何中占統(tǒng)治地位。這時還產(chǎn)生了另一個重要的數(shù)學(xué)部門另一個重要的數(shù)學(xué)部門概率論。它研究大量概率論。它研究大量“隨隨機機”現(xiàn)象的規(guī)律問題，給出了研究出現(xiàn)于偶然性中的現(xiàn)象的規(guī)律問題，給出了研究出現(xiàn)于偶然性中的必然性的數(shù)學(xué)方法。必然性的數(shù)學(xué)方法。 在希臘幾何的歷史上，歐幾里得所做的嚴(yán)格和系統(tǒng)的在希臘幾何的歷史上，歐幾里得所做的嚴(yán)格和系統(tǒng)的敘述結(jié)束了以前發(fā)展的漫長道路。和這種情況相似，隨著分析的敘述結(jié)束了以前發(fā)展的漫長道路。和這種情況相似，隨著分析的發(fā)展必然引起更好地論證理論，使理論系統(tǒng)化，批判地審查理論發(fā)展必然引起更好地論證理論，使理論系統(tǒng)化，批判地審查理論的基礎(chǔ)等這樣一些任務(wù)，這些任務(wù)是的基礎(chǔ)等

25、這樣一些任務(wù)，這些任務(wù)是1919世紀(jì)中葉到來的。這項重世紀(jì)中葉到來的。這項重要而困難的工作由于許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了；特別是要而困難的工作由于許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了；特別是獲得了實數(shù)、變量、函數(shù)、極限、連續(xù)等基本概念的嚴(yán)格定義。獲得了實數(shù)、變量、函數(shù)、極限、連續(xù)等基本概念的嚴(yán)格定義。 理論原則的建立是其發(fā)展的總結(jié)，但不是它的終結(jié)，相反理論原則的建立是其發(fā)展的總結(jié)，但不是它的終結(jié)，相反地，正是新理論的起點。分析的情形也是這樣，由于它的基礎(chǔ)的地，正是新理論的起點。分析的情形也是這樣，由于它的基礎(chǔ)的準(zhǔn)確化產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)理論，這就是準(zhǔn)確化產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)理論，這就是1919世紀(jì)世紀(jì)707

26、0年代德國數(shù)學(xué)家康年代德國數(shù)學(xué)家康托爾所建立的集合論。在此基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了分析的一個新部門托爾所建立的集合論。在此基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了分析的一個新部門實變函數(shù)論。同時集合論的一般思想滲入到數(shù)學(xué)的所有部門。實變函數(shù)論。同時集合論的一般思想滲入到數(shù)學(xué)的所有部門。這種這種“集合論觀點集合論觀點”與數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段不可分割地聯(lián)系在一起，與數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段不可分割地聯(lián)系在一起，進人數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段。進人數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段。 在希臘幾何的歷史上，歐幾里得所做的嚴(yán)格和系統(tǒng)的在希臘幾何的歷史上，歐幾里得所做的嚴(yán)格和系統(tǒng)的敘述結(jié)束了以前發(fā)展的漫長道路。和這種情況相似，隨著分析的敘述結(jié)束了以前發(fā)展的漫長道路。和這種情況相似

27、，隨著分析的發(fā)展必然引起更好地論證理論，使理論系統(tǒng)化，批判地審查理論發(fā)展必然引起更好地論證理論，使理論系統(tǒng)化，批判地審查理論的基礎(chǔ)等這樣一些任務(wù)，這些任務(wù)是的基礎(chǔ)等這樣一些任務(wù)，這些任務(wù)是1919世紀(jì)中葉到來的。這項重世紀(jì)中葉到來的。這項重要而困難的工作由于許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了；特別是要而困難的工作由于許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了；特別是獲得了實數(shù)、變量、函數(shù)、極限、連續(xù)等基本概念的嚴(yán)格定義。獲得了實數(shù)、變量、函數(shù)、極限、連續(xù)等基本概念的嚴(yán)格定義。 理論原則的建立是其發(fā)展的總結(jié)，但不是它的終結(jié)，相反理論原則的建立是其發(fā)展的總結(jié)，但不是它的終結(jié)，相反地，正是新理論的起點。分析的情形也

28、是這樣，由于它的基礎(chǔ)的地，正是新理論的起點。分析的情形也是這樣，由于它的基礎(chǔ)的準(zhǔn)確化產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)理論，這就是準(zhǔn)確化產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)理論，這就是1919世紀(jì)世紀(jì)7070年代德國數(shù)學(xué)家康年代德國數(shù)學(xué)家康托爾所建立的集合論。在此基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了分析的一個新部門托爾所建立的集合論。在此基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了分析的一個新部門實變函數(shù)論。同時集合論的一般思想滲入到數(shù)學(xué)的所有部門。實變函數(shù)論。同時集合論的一般思想滲入到數(shù)學(xué)的所有部門。這種這種“集合論觀點集合論觀點”與數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段不可分割地聯(lián)系在一起，與數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段不可分割地聯(lián)系在一起，進人數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段。進人數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段。 數(shù)學(xué)發(fā)展的第一時期與第二時期

29、所獲得的主要成果，數(shù)學(xué)發(fā)展的第一時期與第二時期所獲得的主要成果，即初等數(shù)學(xué)中的主要成果已經(jīng)成為中小學(xué)教育的內(nèi)容即初等數(shù)學(xué)中的主要成果已經(jīng)成為中小學(xué)教育的內(nèi)容。 第三個時期的基本結(jié)果，如解析幾何第三個時期的基本結(jié)果，如解析幾何( (已部分地放人中已部分地放人中學(xué)學(xué)) )、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等已成為高等、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等已成為高等學(xué)校理科教育的主要內(nèi)容。這個時期的數(shù)學(xué)的基本思想和學(xué)校理科教育的主要內(nèi)容。這個時期的數(shù)學(xué)的基本思想和結(jié)論已廣泛地為大眾所知道，幾乎所有的工程師和自然科結(jié)論已廣泛地為大眾所知道，幾乎所有的工程師和自然科學(xué)工作者都或多或少地運用著這些結(jié)果。

30、近幾十年來，數(shù)學(xué)工作者都或多或少地運用著這些結(jié)果。近幾十年來，數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況發(fā)生著深刻的變化。這些成果逐漸滲透到社學(xué)應(yīng)用的狀況發(fā)生著深刻的變化。這些成果逐漸滲透到社會科學(xué)研究的各個領(lǐng)域。因而這些內(nèi)容的一部分已進入文會科學(xué)研究的各個領(lǐng)域。因而這些內(nèi)容的一部分已進入文科各系的教學(xué)內(nèi)容。科各系的教學(xué)內(nèi)容。 數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)代階段的開端，以其所有基礎(chǔ)部門數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)代階段的開端，以其所有基礎(chǔ)部門代數(shù)、幾何、分析中的深刻變化為特征。代數(shù)、幾何、分析中的深刻變化為特征。 還在還在1919世紀(jì)上半葉，羅巴切夫斯基和波爾約就已經(jīng)建世紀(jì)上半葉，羅巴切夫斯基和波爾約就已經(jīng)建立了新的非歐幾何學(xué)，它的思想是別開生面的和出

31、乎意外的。立了新的非歐幾何學(xué)，它的思想是別開生面的和出乎意外的。正是從這個時候起，開始了幾何學(xué)的原則上的新發(fā)展，改變了幾何正是從這個時候起，開始了幾何學(xué)的原則上的新發(fā)展，改變了幾何學(xué)是什么的本來理解。它的研究對象與使用范圍迅速擴大。學(xué)是什么的本來理解。它的研究對象與使用范圍迅速擴大。18541854年年著名的德國的數(shù)學(xué)家黎曼繼羅巴切夫斯基之后在這個方向上完成了著名的德國的數(shù)學(xué)家黎曼繼羅巴切夫斯基之后在這個方向上完成了最重要的步驟。他提出了幾何學(xué)家能夠研究的最重要的步驟。他提出了幾何學(xué)家能夠研究的“空間空間”的種類有無的種類有無限多的一般思想，并指出這種空間的可能的現(xiàn)實意義。如果說，以限多的一般

32、思想，并指出這種空間的可能的現(xiàn)實意義。如果說，以前幾何學(xué)只研究物質(zhì)世界的空間形式，那么現(xiàn)在，現(xiàn)實世界的某些前幾何學(xué)只研究物質(zhì)世界的空間形式，那么現(xiàn)在，現(xiàn)實世界的某些其他形式，由于它們與空間形式類似，也成了幾何學(xué)的研究對象，其他形式，由于它們與空間形式類似，也成了幾何學(xué)的研究對象，可采用幾何學(xué)的各種方法對它們進行研究。因此，可采用幾何學(xué)的各種方法對它們進行研究。因此，“空間空間”這一術(shù)這一術(shù)語在數(shù)學(xué)中獲得了新的更廣泛的，也是更專門的意義，同時幾何學(xué)語在數(shù)學(xué)中獲得了新的更廣泛的，也是更專門的意義，同時幾何學(xué)方法本身也大大地豐富和多樣化了。歐幾里得幾何本身也發(fā)生了很方法本身也大大地豐富和多樣化了。歐

33、幾里得幾何本身也發(fā)生了很大的變化。現(xiàn)在可研究復(fù)雜得多的圖形，乃至任意點集的性質(zhì)。同大的變化?，F(xiàn)在可研究復(fù)雜得多的圖形，乃至任意點集的性質(zhì)。同樣地出現(xiàn)了研究圖形本身的嶄新的方法，在這些研究的基礎(chǔ)上，產(chǎn)樣地出現(xiàn)了研究圖形本身的嶄新的方法，在這些研究的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了各種新而又新的生了各種新而又新的“空間空間”和它們的和它們的“幾何幾何”：羅巴切夫斯基空：羅巴切夫斯基空間，射影空間，各種不同維數(shù)的歐氏空間、黎曼空間、拓?fù)淇臻g等，間，射影空間，各種不同維數(shù)的歐氏空間、黎曼空間、拓?fù)淇臻g等，所有這些概念都找到了自己的應(yīng)用。所有這些概念都找到了自己的應(yīng)用。 在在1919世紀(jì)，代數(shù)也出現(xiàn)了質(zhì)的變化。以往的代數(shù)

34、是世紀(jì)，代數(shù)也出現(xiàn)了質(zhì)的變化。以往的代數(shù)是關(guān)于數(shù)字的算術(shù)運算的學(xué)說。這種算術(shù)運算是脫離了給定的具體關(guān)于數(shù)字的算術(shù)運算的學(xué)說。這種算術(shù)運算是脫離了給定的具體數(shù)字在一般形態(tài)上形式地加以考察的。也就是說，在代數(shù)中，凡數(shù)字在一般形態(tài)上形式地加以考察的。也就是說，在代數(shù)中，凡量都以字母來表示，按照一定的法則對這些字母進行運算。量都以字母來表示，按照一定的法則對這些字母進行運算。 現(xiàn)代代數(shù)在保持這種基礎(chǔ)的同時，又把它大大地推廣了?，F(xiàn)現(xiàn)代代數(shù)在保持這種基礎(chǔ)的同時，又把它大大地推廣了?，F(xiàn)代代數(shù)中還考察比數(shù)具有更普遍得多的性質(zhì)的代代數(shù)中還考察比數(shù)具有更普遍得多的性質(zhì)的“量量”，并且研究，并且研究對這些量的運算，

35、這些運算在某種程度上按其形式的性質(zhì)來說與對這些量的運算，這些運算在某種程度上按其形式的性質(zhì)來說與加、減、乘、除等普通算術(shù)運算是類似的。向量是最簡單的例子，加、減、乘、除等普通算術(shù)運算是類似的。向量是最簡單的例子，我們知道，向量按照平行四邊形法則相加。在現(xiàn)代代數(shù)中進行的我們知道，向量按照平行四邊形法則相加。在現(xiàn)代代數(shù)中進行的推廣達到這樣的程度，以致推廣達到這樣的程度，以致“量量”這個術(shù)語本身也常常失去意義，這個術(shù)語本身也常常失去意義，而一般地是討論而一般地是討論“對象對象”了，對這種了，對這種“對象對象”可以進行像普通代可以進行像普通代數(shù)運算相似的運算。例如，兩個相繼進行的運動相當(dāng)于某一個總數(shù)運算相似的運算。例如，兩個相繼進行的運動相當(dāng)于