第三章函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、1第一節(jié)、微分中值定理第一節(jié)、微分中值定理 第三節(jié)、泰勒公式第三節(jié)、泰勒公式 第第3 3章章 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：第二節(jié)、洛必達(dá)法則第二節(jié)、洛必達(dá)法則 第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 第五節(jié)、函數(shù)的極值與最大值最小值第五節(jié)、函數(shù)的極值與最大值最小值 第六節(jié)、函數(shù)圖形的描繪第六節(jié)、函數(shù)圖形的描繪 第第3 3章章微分中值定理微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第七節(jié)、曲率第七節(jié)、曲率 2拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的第四節(jié)一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法點(diǎn)點(diǎn)二、曲線的凹凸性及拐二、曲線的凹凸性及拐三、小結(jié)及作業(yè)三、小結(jié)及作業(yè)3一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判

2、別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那末函數(shù)那末函數(shù)，內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)可內(nèi)可上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA4證證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf

3、.,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 5上的單調(diào)性。上的單調(diào)性。在在討論討論例例2 , 0sin1 xxy解：解：),2 , 0(, 0cos1 xxy上單調(diào)增加。上單調(diào)增加。在在2 , 0sin xxy例例2 2解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加).,(: D又又6yxo說(shuō)明說(shuō)明: : (1)(1)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除

4、駐點(diǎn)外單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外, ,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)點(diǎn). . 例如例如, ,),(,32xxy332xy 0 xy32xy (2) (2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), , 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 . .例如例如, ,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 7（3）函數(shù)在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)的，但）函數(shù)在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的點(diǎn)只可能是點(diǎn)只可能是 的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)0)( xf上不單調(diào)上不單調(diào)在在如如2

5、 , 0sin xy 2 23 2上單調(diào)上單調(diào)但在但在2 ,23,23,2,2, 0 0)23()2( ff且且。點(diǎn)不可導(dǎo)但改變單調(diào)性點(diǎn)不可導(dǎo)但改變單調(diào)性在在再如再如0 xxy立立換成無(wú)窮區(qū)間定理仍成換成無(wú)窮區(qū)間定理仍成）把）把（),(4ba 082)(2,82)(2 xxfxxxf上上在在如如8 （5）討論函數(shù)單調(diào)性的步驟： 1. 確定函數(shù)的定義域； 2. 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； 3. 這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，列表討論。 （6）區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零）區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增

6、加但在但在式。式。利用單調(diào)性可證明不等利用單調(diào)性可證明不等)(79例例3.3.確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,(),2()(xf的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為)2,1 (10例例4 4解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)

7、增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 11例例5 5證證.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即0)0()( fxf126例例時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)20 x。證證明明21sin2xxex 證明：證明： )21(sin)(2xxexfx 作作20 xxxexf

8、fx cos)(0)0(0cos)(0)0( xexffx因此，因此， 單調(diào)減少單調(diào)減少, , 0)0()( fxf)(xf 0)0()( fxf 單調(diào)減少單調(diào)減少 0)0()( fxf也就是也就是 0)21(sin2 xxex21sin2xxex )(xf 1sin)(0)0( xexffx)(xf單調(diào)減少單調(diào)減少, , 13例例7.7. 證明證明2031tan3 xxxx證：證：令令331tan)(xxxxF 2222tan1sec)(xxxxxF )(tan(tanxxxx 0 xxtan 0)( xF0)00()(0)00( FxFF從而從而2031tan3 xxxx成立成立01xse

9、c)xx(tan2 當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)，時(shí)，14只有一個(gè)實(shí)根。只有一個(gè)實(shí)根。證明證明0123 xxx證明：證明：1)(23 xxxxf令令123)(2 xxxf032)31(32 x上嚴(yán)格單增上嚴(yán)格單增在在),()x(f根根。所所以以方方程程最最多多有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí), 01)0( f又又051248)2( f上至少有一實(shí)根，上至少有一實(shí)根，在在所以所以0 , 2)( xf即方程只有一個(gè)實(shí)根即方程只有一個(gè)實(shí)根例例7.7.15問(wèn)題問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形

10、上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC點(diǎn)二、曲線的凹凸性及拐161. 1. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義定義定義 1 1. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù) , , ,21Ixx(1) (1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱則稱 的圖形的圖形)(xf是是凹凹的的; ;(2) (2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱則稱 的圖形的圖形)( xf函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱為函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn) . .是是凸凸的的 . .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xy

11、oxI172、曲線凹凸的判定、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf （證明略）（證明略）18例例4.4.判斷曲線判斷曲線4xy 的凹凸性的凹凸性. .解解: :,43xy 212xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)時(shí) x, 0 y故曲線故曲線4xy 在在),

12、( 上是向上凹的上是向上凹的. .說(shuō)明說(shuō)明: :1) 1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,0 ,2)2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, , 可得可得拐點(diǎn)的判別法拐點(diǎn)的判別法如下如下: :若曲線若曲線)(xfy ,0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)x0)(0 xf或不存在或不存在, ,但但)(xf 在在 兩側(cè)兩側(cè)異號(hào)異號(hào), ,0 x則點(diǎn)則點(diǎn))(,(00 xfx是曲線是曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn)的一個(gè)拐點(diǎn). .則曲線的凹凸性不變則曲線的凹凸性不變 . .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào), ,xyo19不存在的點(diǎn)。不存在的點(diǎn)。導(dǎo)導(dǎo)是二階導(dǎo)數(shù)為零及二階是二階導(dǎo)數(shù)為零及二階

13、）改變凹凸性的點(diǎn)可能）改變凹凸性的點(diǎn)可能3 4 4）判別曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟：）判別曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟：（a a）求出）求出 ；（b b）求出使）求出使 的點(diǎn)及的點(diǎn)及 不存在的點(diǎn)；不存在的點(diǎn)；（c c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)，從而決定曲線）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)，從而決定曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。 )(xf 0)( xf)(xf 20例例2 2.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0

14、(是曲線的拐點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,21例例3.3.求曲線求曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn). . 解解: :,3231 xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此點(diǎn)因此點(diǎn) ( 0 , 0 )( 0 , 0 ) 為曲線為曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) . .22例例4.4.求曲線求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn). .解解: :1) 1) 求求y ,121223xxy xxy24362 )(3632 xx2)2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得,03221 xx對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3) 3) 列表判別列表判別271121,1 yy)0,(),0(3232),

15、(y xy0320012711點(diǎn)點(diǎn)(0,1)(0,1)及及),(271132均為拐點(diǎn)均為拐點(diǎn). .32) 1 , 0(),(271132故該曲線在故該曲線在),32(),0 ,(,上凹上凹)32, 0(上凸上凸235例例證明不等式證明不等式)0, 0(2ln)(lnln yxyxyxyyxx證明：證明：)0(ln)( zzzzf令令1ln)( zzf)0(01)( zzzf是凹函數(shù)，是凹函數(shù)，)(zf)()(21)2(yfxfyxf 2ln2)lnln(21yxyxyyxx 即即2ln)(lnlnyxyxyyxx 故故有有24三三. .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf ,0)()(xf在在 I I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf ,0)()(xf在在 I I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減2.2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,0)(上向上凹上向上凹在在曲線曲線Ixfy)( Ixxf ,0)(+ +上向上凸上向上凸在在曲線曲線Ixfy)( 拐點(diǎn)拐點(diǎn) 連續(xù)曲線的凹凸分界點(diǎn)連續(xù)曲線的凹凸分界點(diǎn)25思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1