高中數學北師大選修2-1 2.3.1雙曲線的標準方程 課件

1、1F2F 0, c 0, cXYO yxM,( ) 實驗探究:如圖如圖A取一條拉鏈取一條拉鏈, ,拉開它的一部分拉開它的一部分, ,在拉開的兩邊上各選擇一點在拉開的兩邊上各選擇一點, ,分別分別固定在固定在F1 1F2 2上上, ,把筆尖放在點把筆尖放在點M處處, ,隨著拉鏈逐漸拉開和閉合隨著拉鏈逐漸拉開和閉合, ,筆尖所筆尖所經過的點就畫出一條曲線經過的點就畫出一條曲線. .這是一這是一條怎樣的曲線呢條怎樣的曲線呢? ?如果按圖如果按圖B那樣固定拉鏈那樣固定拉鏈, ,又可得一又可得一條怎樣的曲線呢條怎樣的曲線呢? ? 拉鏈實驗演示oF2 2F1 1M 注意注意F2F112121,202_MF

2、MFaaFF若則圖形為12122,202_MFMFaaFF若則圖形為顯示顯示曲線曲線顯示顯示曲線曲線F2 2F1 1MxOy|MF1| - |MF2|=2a22222xcyxcya 即222bac2222()()2xcyxcya 222222()2()xcyaxcy 222()cxaaxcy 22222222()()ca xa ya ca22221(0,0)yxababxyoF1F2雙曲線的標準方程：=x2a2-y2b21(a0,b0)方程方程叫做雙曲線的標準方程叫做雙曲線的標準方程 它表示的雙曲線焦點在它表示的雙曲線焦點在x軸上，軸上，焦點為焦點為F1(-c,0),F2(c,0),且且c2=

3、a2+b2Myx=x2a2-y2b21(a0,b0)x2y2方程方程叫做雙曲線的標準方程叫做雙曲線的標準方程它表示的雙曲線焦點在它表示的雙曲線焦點在y軸上，軸上，焦點為焦點為F1(0,-c),F2(0,c),且且c2=a2+b2yxyxF2F1Moyx12422yx12422yx12422xx12422xx（1） （2） （3）（4）2,2,6.abc2,2,6.abc1916. 122yx1916. 322xy1169. 222yx1169. 422xy22,xy問題問題6:6:雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有何區(qū)別與聯(lián)系有何區(qū)別與聯(lián)系? ? F（c，0）F

4、（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab變題變題3：已知雙曲線：已知雙曲線 的左支的左支上一點上一點P到左焦點的距離為到左焦點的距離為10，則點，則點P到右焦點的距離為到右焦點的距離為_.變題變題4：已知雙曲線：已知雙曲線 上一點上一點P到左焦點到左焦點 的距離為的距離為8，則，則 的周長的周長為為_.191622yx191622yx1F21F

5、PF1201622xy注：注：待定系數法和定義法的運用待定系數法和定義法的運用例例2 2: :如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm解解: :22121xymm 變題變題1 1：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由2m 變題變題2：討論方程討論方程 所所表示的曲線表示的曲線0,22都不為CBACByAx2222222221211.31_.3192.(3, 4 2)( ,5),_411,42.5.44,xykkkxyxyaaxyF FF是方程表示雙曲線的條件已知雙曲線過點和則雙曲線方程為.3.橢圓與雙曲線有相同焦點 則a=_.4.設動點

6、M到A(-5,0)的距離與它到B(5,0)的距離之差為6,則點P的軌跡方程為_雙曲線的左右焦點分別為過 的直線交右支5,_.B1于A,B兩點,若 AB則 AF 的周長為 設點設點A,BA,B的坐標分別為的坐標分別為(-5,0),(5,0).(-5,0),(5,0).直線直線AM,BMAM,BM相交于點相交于點M,M,且它們的斜率之積是且它們的斜率之積是 , ,試求點試求點M M的軌跡方程的軌跡方程. .由由斜率之積斜率之積你有什么發(fā)你有什么發(fā)現現? ?49分析分析: :設點設點M M的坐標為的坐標為(x,y(x,y),),那那么直線么直線AM,BMAM,BM的斜率就可以用含的斜率就可以用含x,

7、yx,y的式子表示的式子表示, ,由于直線由于直線AM,BMAM,BM的斜率之積是的斜率之積是 , ,因此因此, ,可以建可以建立立x,yx,y之間的關系式之間的關系式, ,得出點得出點M M的的軌跡方程軌跡方程49xoMyAB解解:設點設點M的坐標為的坐標為(x,y),因為點因為點A的坐標是的坐標是(-5,0),所以直線所以直線AM的斜率是的斜率是同理同理,直線直線BM的斜率是的斜率是 由已知有由已知有化簡化簡,得點得點M的軌跡方程為的軌跡方程為(5)5AMykxx (5)5BMykxx4(5)559yyxxx 221(5)100259xyx 進一步分析進一步分析,可以發(fā)現可以發(fā)現:一個動點

8、一個動點M與兩個定點與兩個定點A、B連線的斜率之積是連線的斜率之積是一個正常數一個正常數n.則動點則動點M的軌跡為雙曲線（扣除的軌跡為雙曲線（扣除這兩個定點）這兩個定點）當斜率之積是一個負常數當斜率之積是一個負常數n(n0)時呢？時呢？當當n=-1時時,動點動點M的軌跡為圓（扣除這兩個點）的軌跡為圓（扣除這兩個點）.當當n680|AB|680m, ,所以所以爆炸點的軌跡是以爆炸點的軌跡是以A A、B B為焦點的雙曲線為焦點的雙曲線在靠近在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例3.3.已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點的軌跡方程求炮彈爆炸點的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標系如圖所示，建立直角坐標系xO Oy, ,設爆炸點設爆炸點P的坐標為的坐標為( (x, ,y) )，則則340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為因此炮彈爆炸點的軌跡方程為44400bca 2 22 22 2答答: :再增設一個觀測點再增設一個觀測點C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處