材料力學(xué)答案

1、8.2.1 8.2.1 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平衡原理的應(yīng)用平衡原理的應(yīng)用 微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程正正 應(yīng)應(yīng) 力力xxxx 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法剪剪 應(yīng)應(yīng) 力力 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法x y yx xyq 角角xyyxq 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平衡原理的應(yīng)用平衡原理的應(yīng)用微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程0 yF0 xF y yxxx y xydAq qx0 xFq qq q - -cos)cos(dAx- - q qq qydA(sin )sin 0dA x

2、+ + q qq qdA(cos )sinxy+ + q qq qdA(sin )cosyx 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法 y yxxx y xydAq qx0 yF- - x ydA + + q qq qxdA(cos )sin+ + q qq qxydA(cos )cos 0- - q qq qydA(sin )cos- - q qq qyxdA(sin )sin 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法 y yxxx y xydAq qx x q qxcos2- - q qq qxysincos- - q qq qyxsincos+ + q qysin2 x y q qq q

3、xsincos+ + q qxycos2- - q qq qysincos- - q qyxsin2 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法 x xy+ +2+ +- - q qxy22cos- - q qxysin 2 x y q qxy- -22sin+ + q qxycos2 y yx xyxxy x y y y x xxy y xypxp 平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAx-sincosdAx+cossindAy+sinsindAy-0dAsincosdAx-coscosdAx-sinsindA

4、y+cossindAy+022cos1cos2+22cos1sin2-yx xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+8.2.2 8.2.2 二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 應(yīng)力圓應(yīng)力圓（Mohrs Circle for Stresses）222)(Ryax+-圓心坐標(biāo)：圓心坐標(biāo)： +0,2yx半徑：半徑： 222xyx+-任一點(diǎn)坐標(biāo)：任一點(diǎn)坐標(biāo)： ,上述方程所表示的圓上述方程所表示的圓應(yīng)力圓或莫爾圓應(yīng)力圓或莫爾圓二二.應(yīng)力圓的畫(huà)法：應(yīng)力圓的畫(huà)法： 1.設(shè) ,軸，選取應(yīng)力比例尺。 2.以 xx,為坐標(biāo)，得D點(diǎn)， yy,得E點(diǎn)。 3.連DE交 軸于

5、C點(diǎn)，C點(diǎn)即為應(yīng)力圓的圓心應(yīng)力圓的圓心。4.以CD或CE為半徑畫(huà)圓。即得應(yīng)力圓。5.以CD為基準(zhǔn)線(xiàn)基準(zhǔn)線(xiàn)，沿反時(shí)針?lè)较蛄砣〗嵌?2圓交于G點(diǎn) ，得一射線(xiàn)，與,三三.驗(yàn)證驗(yàn)證 ,的正確性由應(yīng)力圓可得：由應(yīng)力圓可得：6.按比例尺量出 ,值，即為單元體 斜面上的正應(yīng)力和剪,應(yīng)力 x x xy yx xy yx y yxyn O C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF2yxOC+2yxCA-222222xyxCADACD+-+則：則： +2cos2sin2cos2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin22sinDACACD

6、CDCECEELCEOCCLLCOL+由上式可以看出：由應(yīng)力圓得到的 ,與數(shù)解法 ,的計(jì)算公式相對(duì)照，完全相符，由此證明，應(yīng)力圓上與點(diǎn) xx,成 2角的點(diǎn)的坐標(biāo)值為相應(yīng)的 斜截面上的正應(yīng)力 ，剪應(yīng)力 值。 -+-+2sin2cos222sin2sin2cos2cos22cosxyxyxCDCDOCCGOCCLLCOL目錄目錄、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系 點(diǎn)面對(duì)應(yīng)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力； 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線(xiàn)旋轉(zhuǎn)方向半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線(xiàn)旋轉(zhuǎn)方向一致；一致；二倍角對(duì)應(yīng)二倍角對(duì)應(yīng)

7、半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。的兩倍。 yyxADxa( x , x)d( y , y)c o yyxx caA c2 2anb 某單元體應(yīng)力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線(xiàn)分別與x軸成300和600角，試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy+ +22cos2yx-+2sinx-23010030+060cos23010-+060sin20-MPa32. 2- 2sin2yx-2cosx+03060sin230100-060cos20+MPa33. 12n23010

8、060+-0120cos23010-+0120sin20-MPa32.42060120sin230100-0120cos20-+MPa33. 1-+-006030+yxMPa40在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個(gè)垂直面上，其的和為一常數(shù)。分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說(shuō)明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時(shí)，其上任意一點(diǎn)都是單向應(yīng)力狀態(tài)。x xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+2sin2x0452045x2045xmax低碳鋼試樣拉伸至屈服時(shí)沿低碳鋼試樣拉伸至屈服時(shí)沿45o 表面表面出現(xiàn)滑移線(xiàn)，是由最大切應(yīng)力引起的。出現(xiàn)滑移線(xiàn)，是由最大切應(yīng)力引起的。

9、2cos22yx+x 分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)最大切應(yīng)力的作用面，說(shuō)明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。 xy+ +22cos2yx-+2sinx-2sin- 2sin2yx-2cosx+2cos045-max450+-max4500045minmax 鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時(shí)，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面（即45o螺旋面）斷開(kāi)的。因此，可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。例題例題4:mKNLPMC2542KNPQC502（壓應(yīng)力）MPaIyMZCC04.1106002001210150102512333-MPabISQZZCC469.010200106002001210225200150105039393-

10、MPaC04. 1-MPaC469. 0已知：MPaxyxyx07. 1)80sin(469. 0)80cos(204. 1204. 1)80sin()80cos(2240-+-+MPaxyx431.0)80cos()80sin(240-+-8-2-3 平面應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力，主應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力，主應(yīng)力 yxxtg-22y0)2cos2sin2(2+-xyxddy22)max()2(2xyxyxmix+-+yO C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF22max22xyxyxACAOC+-+1122min22xyxyx

11、BCBOC+-+-11yxxtgCFDFtg-22200DACA 圓A1、B1兩點(diǎn)位于應(yīng)力圓上同一直徑的兩端，即最大正最大正應(yīng)力應(yīng)力所在截面與最小正應(yīng)力所在截面互相垂直，故，應(yīng)力圓中各正應(yīng)力極值所在截面的方位可表示如下：maxminyx0yminmaxx從應(yīng)力圓中還可看出：應(yīng)力圓上對(duì)應(yīng)于G1G2兩點(diǎn)，剪應(yīng)力最大，由此可得到，最大、最小剪應(yīng)力分別為：*從應(yīng)力圓中可看出：它們所在截面也相垂直從應(yīng)力圓中可看出：它們所在截面也相垂直目錄目錄O C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD ( x, xy)A AF22max2xyxKR+-22min2xyxMR+-平面

12、應(yīng)力狀態(tài)的幾種特殊情況軸向拉伸壓縮軸向拉伸壓縮2sin2 x)2cos1 (2 +xx 10 322minmaxx xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+平面應(yīng)力狀態(tài)的幾種特殊情況扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2cos x 2sin x-x 1x3- xminmax xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+0 2 彎 曲22minmax)2(xx+221322xxx+2sin2cos22xxx-+2cos2sin2xx+ 已知矩形截面梁已知矩形截面梁, ,某截面上的剪力某截面上的剪力Q=120kNQ=120kN及彎矩及彎矩M=10kNm.M=10k

13、Nm.繪出表示繪出表示1 1、2 2、3 3、4 4點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并求出各點(diǎn)的主應(yīng)力。求出各點(diǎn)的主應(yīng)力。b=60mm,h=100mm.b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、畫(huà)各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)圖、畫(huà)各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)圖1323412、計(jì)算各點(diǎn)主應(yīng)力、計(jì)算各點(diǎn)主應(yīng)力123bhIz4500cm zIMy14310500501010MPa1001點(diǎn)021MPa1003-2點(diǎn)(處于純剪狀態(tài)處于純剪狀態(tài))AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyx+-+MPa30102MPa303-3點(diǎn)(一般平面狀態(tài)一般平面狀態(tài)) zIMy343

14、10500251010MPa50bISFzzs*60105005 .3725601012043MPa5 .22MPa6 .58102MPa6 . 83-4點(diǎn)MPa10010203 自受力構(gòu)件內(nèi)取一單元體自受力構(gòu)件內(nèi)取一單元體, ,其上承受應(yīng)力如圖示其上承受應(yīng)力如圖示, ., .試求此點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面試求此點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面. .3abd060060abcxad面面,db面是該點(diǎn)的主面是該點(diǎn)的主平面平面.xy0 xF030cos30sin00+abxabAA3-x3-10233-3例例3：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的分別用解析法和圖解法求圖示單元體的(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力指定

15、斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力;(2)主應(yīng)力值及主方向，并畫(huà)在單元體上；主應(yīng)力值及主方向，并畫(huà)在單元體上； (3)最大剪應(yīng)力值。最大剪應(yīng)力值。單位：?jiǎn)挝唬篗Pa xyxxyxyxxyx-+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.解：(一)使用解析法求解 xyxxyxyxxyx-+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.maxmintan.+- +-xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmintan.+