最新離散數(shù)學 集合證明

1、2022-5-24離散數(shù)學 集合證明1第4講 集合恒等式內(nèi)容提要 1. 集合恒等式與對偶原理 2. 集合恒等式的證明 3. 集合列的極限 4. 集合論悖論與集合論公理2022-5-24離散數(shù)學 集合證明2集合恒等式(關(guān)于與)等冪律(idempotent laws)AA=AAA=A交換律(commutative laws)AB=BAAB=BA2022-5-24離散數(shù)學 集合證明3集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))結(jié)合律(associative laws)(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(distributive laws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)202

2、2-5-24離散數(shù)學 集合證明4集合恒等式(關(guān)于與 、續(xù))吸收律(absorption laws)A(AB)=AA(AB)=A2022-5-24離散數(shù)學 集合證明5集合恒等式(關(guān)于)雙重否定律(double complement law)A=A德摩根律(DeMorgans laws)(AB)=AB(AB)=AB2022-5-24離散數(shù)學 集合證明6集合恒等式(關(guān)于與E)零律(dominance laws)AE=EA=同一律(identity laws)A=AAE=A2022-5-24離散數(shù)學 集合證明7集合恒等式(關(guān)于,E)排中律(excluded middle)AA = E矛盾律(contr

3、adiction)AA = 全補律 = EE = 2022-5-24離散數(shù)學 集合證明8集合恒等式(關(guān)于-)補交轉(zhuǎn)換律(difference as intersection)A-B=AB2022-5-24離散數(shù)學 集合證明9集合恒等式(推廣到集族)分配律德摩根律)()(ABABSS)()(ABABSS)()(ABABSS)()(ABABSS)()(AASS )()(AASS 2022-5-24離散數(shù)學 集合證明10對偶(dual)原理對偶式(dual): 一個集合關(guān)系式, 如果只含有, , E,=, , 那么, 同時把與互換, 把與E互換, 把與互換, 得到的式子稱為原式的對偶式. 對偶原理:

4、 對偶式同真假. 或者說, 集合恒等式的對偶式還是恒等式.2022-5-24離散數(shù)學 集合證明11對偶原理(舉例)分配律A (B C) = (A B ) (A C )A (B C) = (A B ) (A C )排中律A A=E矛盾律A A= 2022-5-24離散數(shù)學 集合證明12對偶原理(舉例、續(xù))零律A E =EA = 同一律A =AA E=A2022-5-24離散數(shù)學 集合證明13對偶原理(舉例、續(xù)) A B AA B A AE A2022-5-24離散數(shù)學 集合證明14集合恒等式證明(方法)邏輯演算法: 利用邏輯等值式和推理規(guī)則集合演算法: 利用集合恒等式和已知結(jié)論2022-5-24

5、離散數(shù)學 集合證明15邏輯演算法(格式)題目: A=B. 證明: x, xA (?) xB A=B. #題目: AB. 證明: x, xA (?) xB AB. #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明16分配律(證明)A(BC)=(AB)(AC)證明: x, xA(BC) xA x(BC) (定義) xA (xB xC) (定義) (xAxB)(xAxC) (命題邏輯分配律) (xAB)(xAC) (定義) x(AB)(AC) (定義) A(BC)=(AB)(AC)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明17零律(證明)A = 證明: x, xA xA x (定義) xA 0 (定義) 0 (命題

6、邏輯零律) A = 2022-5-24離散數(shù)學 集合證明18排中律(證明)AA = E證明: x, xAA xA xA (定義) xA xA (定義) xA xA (定義) 1 (命題邏輯排中律) AA = E2022-5-24離散數(shù)學 集合證明19集合演算法(格式)題目: A=B. 證明: A =(?) =B A=B. #題目: AB. 證明: A (?) B AB. #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明20吸收律(證明)A(AB)=A證明: A(AB) = (AE)(AB) (同一律) = A(EB) (分配律) = AE (零律) = A (同一律) A(AB)=AAB2022-5-2

7、4離散數(shù)學 集合證明21吸收律(證明、續(xù))A(AB) = A證明: A(AB) = (AA)(AB) (分配律) = A(AB) (等冪律) = A (吸收律第一式) A(AB) = AAB2022-5-24離散數(shù)學 集合證明22集合演算法(格式,續(xù))題目: A=B. 證明: () AB () A B A = B. #說明: 分=成與題目: AB. 證明: AB (或AB) =(?) = A (或B) AB. #說明: 化成=AB=AABAB=BAB 2022-5-24離散數(shù)學 集合證明23集合恒等式證明(舉例)基本集合恒等式對稱差()的性質(zhì)集族(AS)的性質(zhì)冪集(P( )的性質(zhì)2022-5-

8、24離散數(shù)學 集合證明24補交轉(zhuǎn)換律A-B = AB證明: x, xA-B xA xB xA xB x ABA-B = AB. #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明25德摩根律的相對形式A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)證明: A-(BC) = A(BC) (補交轉(zhuǎn)換律) = A(BC) (德摩根律) = (AA)(BC) (等冪律) = (AB)(AC) (交換律,結(jié)合律)= (A-B)(B-A) (補交轉(zhuǎn)換律). #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明26對稱差的性質(zhì)交換律: AB=BA結(jié)合律: A(BC)=(AB)C分配律: A(BC)=(AB)(AC

9、)A=A, AE=AAA=, AA=E2022-5-24離散數(shù)學 集合證明27對稱差的性質(zhì)(證明2)結(jié)合律: A(BC)=(AB)C證明思路： 分解成 “基本單位”, 例如: 1. ABC 2. A BC 3. A B C 4. ABCABCABC12342022-5-24離散數(shù)學 集合證明28對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)1)結(jié)合律: A(BC)=(AB)C證明: 首先, AB = (A-B)(B-A) (定義) = (AB)(BA) (補交轉(zhuǎn)換律) = (AB)(AB) (交換律) (*)A BAB2022-5-24離散數(shù)學 集合證明29對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)2) 其次, A(BC) = (A

10、(BC)(A(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明30對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)3) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明31對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)4) 同理, (AB)C = (AB)C)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C) (AB

11、)(AB)C) (德摩根律)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明32對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)5) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律) A(BC)=(AB)C. #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明33對稱差的性質(zhì)(討論)有些作者用表示對稱差: AB=AB 消去律: AB=AC B=C (習題一,23) A=BC B=AC C=AB對稱差與補: (AB) = AB = AB AB = AB問題: ABC=ABC ?2022-5-24離散數(shù)學 集合證明34對稱差的

12、性質(zhì)(討論、續(xù))如何把對稱差推廣到n個集合: A1A2A3An = ? x, xA1A2A3An x恰好屬于A1,A2,A3,An中的奇數(shù)個特征函數(shù)表達: A1A2An(x) = A1(x)+A2(x)+An(x) (mod 2) = A1(x)A2(x)An(x) (mod 2),都表示模2加法,即相加除以2取余數(shù))2022-5-24離散數(shù)學 集合證明35特征函數(shù)與集合運算: AB(x) = A(x)B(x)A(x) = 1-A(x)A-B(x) = AB(x)=A(x)(1-B(x)AB(x) = (A-B)B(x) = A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x) = A(x)+B(x

13、) (mod 2) = A(x)B(x)AB2022-5-24離散數(shù)學 集合證明36對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))問題: ABC = ABC ? 答案: ABC = (ABC) = (ABC) = ABC ABCD = ABCD = ABCD = (ABCD) =A = (A)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明37對稱差的性質(zhì)(證明3)分配律: A(BC)=(AB)(AC)證明 A(BC) = A(BC)(BC) = (ABC) (ABC)ABCA(BC)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明38對稱差分配律(證明3、續(xù))(續(xù)) (AB)(AC) = (AB)(AC)(AB)(AC) =(AB)(A

14、C)(AB)(AC) =(ABC)(ABC) A(BC)=(AB)(AC). #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明39對稱差分配律(討論)A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) ?A(BC)=(AB)(AC) ?A(BC)=(AB)(AC) ?2022-5-24離散數(shù)學 集合證明40集族的性質(zhì)設(shè)A,B為集族集族, 則1. AB A B2. AB A B 3. A AB B A4. AB B A5. A A A2022-5-24離散數(shù)學 集合證明41集族的性質(zhì)(證明1)AB A B證明: x, xA A(AA xA) (A定義) A(AB xA) (AB) xB (B定義)

15、 A B. #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明42集族的性質(zhì)(證明2)AB A B 證明: x, xA AB xA (AB, 合取) A(AB xA) (EG) xB A B. #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明43集族的性質(zhì)(證明3)A AB B A說明: 若約定 =E, 則A的條件可去掉.證明: x, x B y( yB xy ) y( yA xy ) (AB) x A B A . #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明44集族的性質(zhì)(證明4)AB B A證明: x, x B y( yB xy ) AB x A (UI) xA (AB) B A . #2022-5-24離散數(shù)學 集

16、合證明45集族的性質(zhì)(證明5)A A A說明: A的條件不可去掉!證明: A y(yA), 設(shè) AA. x, x A y( yA xy ) AA xA xA (AA) AA xA y( yA xy) x A A A . #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明46冪集的性質(zhì)AB P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B) = P(AB)P(A-B) (P(A)-P(B)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明47冪集的性質(zhì)(證明1)AB P(A)P(B)證明: () x, xP(A) xA xB (AB) xP(B) P(A)P(B)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明48冪集的性

17、質(zhì)(證明1、續(xù))AB P(A)P(B)證明(續(xù)): () x, xA xP(A) xP(B) (P(A)P(B) xB AB. #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明49冪集的性質(zhì)(證明2)P(A)P(B) P(AB)證明: x, xP(A)P(B) xP(A)xP(B) xAxB xAB xP(AB) P(A)P(B) P(AB)2022-5-24離散數(shù)學 集合證明50冪集的性質(zhì)(證明2、續(xù))P(A)P(B) P(AB)討論: 給出反例, 說明等號不成立: A=1, B=2, AB=1,2, P(A)=,1, P(B)=,2, P(AB)= ,1,2,1,2 P(A)P(B) ,1,2 此時

18、, P(A)P(B) P(AB). #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明51冪集的性質(zhì)(證明3)P(A)P(B) = P(AB)證明: x, xP(A)P(B) xP(A) xP(B) xA xB x AB xP(AB) P(A)P(B) = P(AB). #2022-5-24離散數(shù)學 集合證明52冪集的性質(zhì)(證明4)P(A-B) (P(A)-P(B)證明: x, 分兩種情況, (1) x=, 這時 xP(A-B) 并且 x(P(A)-P(B) (2) x, 這時 xP(A-B) x A-B xAxB xP(A)xP(B) xP(A)-P(B) P(A-B) (P(A)-P(B). #AB2022-5-24離散數(shù)學 集合證明53集合運算的優(yōu)先級分三級: 第一級最高, 依次降低第一級: 補, 冪P()第二級: 廣義并, 廣義交 第三級: 并, 交, 相對補-, 對稱差同一級: 用括號表示先后順序2022-5-24離散數(shù)學 集合證明54集合列的極限2022-5-24離散數(shù)學 集合證明55集合列的極限Infinite often( i.o.):Almost everywhere(a.e