人教版高中數(shù)學選修1-1 331函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1、 首先我們回憶一下函數(shù)的首先我們回憶一下函數(shù)的單調(diào)性的概念單調(diào)性的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義. .函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間在給定區(qū)間 G 上，當上，當 x 1、x 2 D 且且 x 1 x 2 時時yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在D 上是增函數(shù)上是增函數(shù)；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在D 上是減函數(shù)上是減函數(shù)；若若 f(x) 在在D上是增函數(shù)或減函數(shù)，上是增函數(shù)或減函數(shù)，則則 f(x) 在在D上具有嚴格的單調(diào)性。上具有嚴格的單調(diào)性。D 稱為稱為

2、單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間D = ( a , b )二、復(fù)習引入二、復(fù)習引入:yx0abc( )0f x ( )0f x 觀觀 察察: 下圖下圖(1)表示高臺跳水運動員的高度表示高臺跳水運動員的高度 h 隨時間隨時間 t 變化的變化的函數(shù)函數(shù) 的圖象的圖象, 圖圖(2)表示高臺跳水運表示高臺跳水運動員的速度動員的速度 v 隨時間隨時間 t 變化的函數(shù)變化的函數(shù) 的圖象的圖象. 運動員從起跳到最高點運動員從起跳到最高點, 以及從最高點到入水這兩段時以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?105 . 69 . 4)(2ttth5 . 69 . 4)(ttvaabbttvhOO

3、 運動員從起跳到運動員從起跳到最高點最高點, ,離水面的高度離水面的高度h隨時間隨時間t 的增加而增加的增加而增加, ,即即h(t)h(t)是增函數(shù)是增函數(shù). .相應(yīng)相應(yīng)地地, ,. 0)()(thtv 從最高點到入水從最高點到入水, ,運動員運動員離水面的高度離水面的高度h隨時間隨時間t t的的增加而減少增加而減少, ,即即h(t)h(t)是減函數(shù)是減函數(shù). .相應(yīng)地相應(yīng)地, ,. 0)()(thtv(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 觀察下面一些函數(shù)的圖象觀察下面一些函數(shù)的圖象, 探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負的

4、關(guān)系數(shù)正負的關(guān)系. 在某個區(qū)間在某個區(qū)間( (a, ,b) )內(nèi)內(nèi), ,如果如果 , ,那么函數(shù)那么函數(shù) 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; ; 如果如果 , ,那那么函數(shù)么函數(shù) 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. .0)( xf)(xfy 0)( xf)(xfy 如果恒有如果恒有 ，則，則 是常數(shù)。是常數(shù)。)(xf0)(xf例例1 已知導(dǎo)函數(shù)已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息的下列信息:當當1 x 4 , 或或 x 1時時,當當 x = 4 , 或或 x = 1時時,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf試畫出函數(shù)試畫出函數(shù) 的圖象的大致形狀的圖象的大致形狀.)(xf

5、解解: 當當1 x 4 , 或或 x 1時時, 可知可知 在此區(qū)在此區(qū)間內(nèi)間內(nèi)單調(diào)遞減單調(diào)遞減;( )0,fx)(xf 當當 x = 4 , 或或 x = 1時時, . 0)( xf 綜上綜上, 函數(shù)函數(shù) 圖象圖象的大致形狀如右圖所示的大致形狀如右圖所示.)(xfxyO14題型一：題型一：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 當當時時，當當或或時時，當當或或時時，試畫出函數(shù)試畫出函數(shù) 圖象的大致形狀。圖象的大致形狀。( )f x分析分析：( )f x在在此此區(qū)區(qū)間間遞

6、遞減減()fx在在 此此 區(qū)區(qū) 間間 遞遞 增增()fxx圖圖 象象 在在 此此 兩兩 處處 附附 近近 幾幾 乎乎 沒沒 有有 升升 降降 變變 化化 , ,切切 線線 平平 行行軸軸ABxyo23( )yf x ABxyo23( )yf x 題型一：題型一：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 當當時時，當當或或時時，當當或或時時，試畫出函數(shù)試畫出函數(shù) 圖象的大致形狀。圖象的大致形狀。( )f x分析分析：( )f x在在此此區(qū)區(qū)間間遞遞減減()fx在在 此此 區(qū)

7、區(qū) 間間 遞遞 增增()fxx圖圖 象象 在在 此此 兩兩 處處 附附 近近 幾幾 乎乎 沒沒 有有 升升 降降 變變 化化 , ,切切 線線 平平 行行軸軸ABxyo23( )yf x 題型一：題型一：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象解：解： 的大致形狀如右圖：的大致形狀如右圖：( )f x這這里里，稱稱A A, ,B B兩兩點點為為“臨臨界界點點”xyo12( )yf x xyo12( )yf x xyo1 2( )yf x xyo12( )yf x xyo( )yfx 2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工類浙江理工類)練習：練習：設(shè)設(shè) 是函數(shù)是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)

8、，的導(dǎo)函數(shù)， 的圖象如的圖象如右圖所示右圖所示,則則 的圖象最有可能的是的圖象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x 題型二題型二 判斷函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間并求出單調(diào)區(qū)間:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因為因為 , 所以所以xxxf3)(3. 0) 1(333)(22xxxf因此因此, 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.xxxf3)(3Rx(2) 因為因為 , 所以所以32)(2xxxf).1(222)(x

9、xxf當當 , 即即 時時, 函數(shù)函數(shù) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增;0)( xf1x32)(2xxxf當當 , 即即 時時, 函數(shù)函數(shù) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減.0)( xf1x32)(2xxxf; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因為因為 , 所以所以), 0(,sin)(xxxxf. 01cos)(xxf因此因此, 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.xxxfsin)(), 0(x(4) 因為因為 , 所以所以12432)(23xxxxf 當當 , 即即 時時, 函函數(shù)數(shù) 單調(diào)遞增單

10、調(diào)遞增;0)( xf21712171xx或)(xf 當當 , 即即 時時, 函數(shù)函數(shù) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減.0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf題型二題型二 判斷函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間并求出單調(diào)區(qū)間:練習課本練習課本判斷下列函數(shù)的單調(diào)性判斷下列函數(shù)的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間并求出單調(diào)區(qū)間:;)( )2( ; 42)( ) 1 (2xexfxxxfx.)( )4( ;3)( )3(233xxxxfxxxf總結(jié)總結(jié): 當遇到三次或三次以上的當遇到三次或三次以上的,或圖象很難或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào)性問題時，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)法。畫出的函數(shù)求單調(diào)性問題時，應(yīng)考慮

11、導(dǎo)數(shù)法。求定義域求定義域求求( )fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的遞遞增增區(qū)區(qū)間間解解不不等等式式的的遞遞減減區(qū)區(qū)間間作出結(jié)論作出結(jié)論1 1什么情況下，用什么情況下，用“導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法” ” 求函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)單調(diào)性、 單調(diào)區(qū)間較簡便？單調(diào)區(qū)間較簡便？2 2試總結(jié)用試總結(jié)用“導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法” ” 求單調(diào)區(qū)間的步驟？求單調(diào)區(qū)間的步驟？總結(jié)：總結(jié)：cossin335(,)( ,2 )(,)(2 ,3 )22.2.2.yxxxABCD 函函數(shù)數(shù)在在下下面面哪哪個個區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)是是增增函函數(shù)數(shù)( ( ) ) B ( ,2 )該該函函數(shù)數(shù)在在上上為為增增函函數(shù)數(shù)。xxxx

12、 ( ,2 )sin0,sin0,如如圖圖, ,當當時時，yxxxxx cos(cos ) (sin )解解： xxxxxx cossinossincy 0即即：xyo 2 3yx sin練習練習例例3 3（課本）（課本） 如圖如圖, , 水以常速水以常速( (即單位時間內(nèi)注入水的體即單位時間內(nèi)注入水的體積相同積相同) )注入下面四種底面積相同的容器中注入下面四種底面積相同的容器中, , 請分別找出與請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度各容器對應(yīng)的水的高度h h與時間與時間t t的函數(shù)關(guān)系圖象的函數(shù)關(guān)系圖象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht

13、tOh ht tO 一般地一般地, , 如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大的絕對值較大, , 那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快快, , 這時這時, , 函數(shù)的圖象就比較函數(shù)的圖象就比較“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函數(shù)的圖象就函數(shù)的圖象就“平緩平緩”一些一些. . 如圖如圖, ,函數(shù)函數(shù) 在在 或或 內(nèi)的圖內(nèi)的圖象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 內(nèi)的圖象內(nèi)的圖象平緩平緩. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a練習練習函數(shù)函數(shù) 的圖象如圖所示的圖象如圖所示, 試畫出導(dǎo)函數(shù)試畫出導(dǎo)函數(shù)

14、圖象圖象的的大致形狀大致形狀)( xfy )( xf 題型三題型三 分類討論單調(diào)性分類討論單調(diào)性1.討論二次函數(shù)討論二次函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.)0()(2acbxaxxf解解: )0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0 ) 1 (a 由由 , 得得 , 即函數(shù)即函數(shù) 的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間是是 ; 相應(yīng)地相應(yīng)地, 函數(shù)的遞減區(qū)間是函數(shù)的遞減區(qū)間是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0 )2(a 由由 , 得得 , 即函數(shù)即函數(shù) 的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間是是 ; 相應(yīng)地相應(yīng)地, 函數(shù)的遞減區(qū)間是函數(shù)的遞減區(qū)間是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab2.報紙平

15、行練習報紙平行練習3.導(dǎo)學案導(dǎo)學案P157展題一（展題一（14全國大綱）全國大綱）上單調(diào)遞減；）在（）上單調(diào)遞增，在（易知則令此時時當）上單調(diào)遞減；，在（上單調(diào)遞增，）在（易知則時，令，即若上單調(diào)遞增；在則函數(shù)時，即若時當解析：定義域的單調(diào)性。討論函數(shù)),(,)(.11,11,0)(,0,0)3(),(,)(.11,11,0)(100)(,0)(10,0)1().1(444),12(3363)(,)().0(33)(1212211212212223xxxxxfaaxaaxxfaxxxxxfaaxaaxxfaRxfxfaaaaxaxxaxxfRxxfaxxaxxf4.導(dǎo)學案導(dǎo)學案P159（14廣

16、東）廣東）.),(),( ,)(.11,110)(,1,0)(0)(,10).1 (444,2)(.),( 131)(121221223單調(diào)遞減上單調(diào)遞增，在）在（易知，令時即時當上單調(diào)遞增；在，則時時，即當解析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間已知函數(shù)xxxxxfaxaxxfaRxfxfaaaaxxxfRaaxxxxf5.（15年江蘇）年江蘇）已知函數(shù)已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。討論)().,()(23xfRbabaxxxf）上單調(diào)遞減；，（區(qū)間可知函數(shù)）上單調(diào)遞增；同理，），（，在（即函數(shù)時，解得則當時當）上單調(diào)遞減；，（區(qū)間可知函數(shù)）上單調(diào)遞增；同理，），（，在（即函數(shù)時，解得則當時當上單調(diào)遞增；），在（所以函

17、數(shù)時，因為當，解得令解析：320)(320)(.0,320)(,0)3(032)(032)(.32,00)(,0)2()(),0(03)(0)1 (.32,00)(,23)(12122212axfaxfxaxxfxxaaxfaxfaxxxfxxaxfxxxfaaxxxfaxxxf證明: 因為f(x)=2x3-6x2+7 /(x)=6x2-12x=6x(x-2), 當x(0,2)時,f/(x)=6x(x-2)0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx31max而 ( )在（ 0， 1上單調(diào)遞增，( )(1)=-1g xxg xg1a -2120 10 1已 知 函 數(shù) （ ），( 若 （ ） 在(

18、上 是 增 函 數(shù) ， 求的 取 值 范 圍fxaxx,fxxx,a.例例2：322當a1時， ( )f xx 1對x （0， 1）也有 ( ) 0時，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)f xa-f x所以a的范圍是-1，+ ）在某個區(qū)間上，在某個區(qū)間上， ，f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由（遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到僅僅得到 是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使也能使f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)，）在這個區(qū)間上單調(diào)，所以對于能否取到等號的問題需要單獨驗證所以對于能否取到等號的問題需要單獨驗證( )0(或0(或0)f x2120 10 1已知函數(shù)（ ），(若（ ）在(上是增函數(shù)，求 的取值范圍f xaxx, ,f xxx,a.增例增例2：322當a1時， ( )f xx 1對x （0， 1）也有 ( ) 0時，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)f xa-f x所以a的范圍是-1，+ ）本題用到一個重要的轉(zhuǎn)化：本題用到一個重要的轉(zhuǎn)化