第39講上界定理的概念

1、張貴杰張貴杰Tel-Mail： 河北聯(lián)合大學(xué)金屬材料及加工工程系河北聯(lián)合大學(xué)金屬材料及加工工程系金屬塑性變形理論金屬塑性變形理論第第39講講2022-5-222第十五章 上界定理及其應(yīng)用主要內(nèi)容主要內(nèi)容Main Content 虛功原理及最大塑性功原理虛功原理及最大塑性功原理 上界定理的概念上界定理的概念 上界定理的應(yīng)用上界定理的應(yīng)用間斷速度場(chǎng)間斷速度場(chǎng)2022-5-22315.2 上界定理的概念上界定理的概念 15.2.1 邊界條件邊界條件可動(dòng)工具可動(dòng)工具 Fv固定工具固定工具 Fvv=v0，p=?v=0，p=?自由邊界自由邊界 Fp已知外力邊界已知外力邊界 Fpp

2、=0，v=?p=p0，v=?p0速度不連續(xù)線速度不連續(xù)線 Fd2022-5-22415.2.2 下界定理下界定理 設(shè)剛設(shè)剛塑性物體的體積是塑性物體的體積是V，總表面積是，總表面積是F，表面，表面力力pi（外載荷）在一部分表面（外載荷）在一部分表面Fp上是已知的，在上是已知的，在其余部分表面其余部分表面Fv上位移速度上位移速度vi也是已知的。真實(shí)也是已知的。真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)是的應(yīng)力場(chǎng)是s sij，應(yīng)變速度場(chǎng)是，應(yīng)變速度場(chǎng)是e eij ，邊界位移速度，邊界位移速度是是vi 。對(duì)于真實(shí)的情況，令外功等于內(nèi)功，有對(duì)于真實(shí)的情況，令外功等于內(nèi)功，有 ijFiiFiiFiipvdFvpdFvpdFvpsdVi

3、je2022-5-225 再設(shè)再設(shè)s s*ij是靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)，它在每點(diǎn)滿足平衡是靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)，它在每點(diǎn)滿足平衡方程和屈服條件。令這個(gè)虛設(shè)應(yīng)力場(chǎng)方程和屈服條件。令這個(gè)虛設(shè)應(yīng)力場(chǎng)s s*ij在真實(shí)的在真實(shí)的應(yīng)變速度場(chǎng)上作虛功，根據(jù)虛功方程有應(yīng)變速度場(chǎng)上作虛功，根據(jù)虛功方程有 VijijFiiFiiFiidVdFvpdFvpdFvppves2022-5-226 兩式相減并按最大塑性功原理有兩式相減并按最大塑性功原理有 0vijijijFiiidVdFvppvessvvFiiFiidFvpdFvp即即該式為下界定理。即任何靜力可能的應(yīng)力分布所對(duì)該式為下界定理。即任何靜力可能的應(yīng)力分布所對(duì)應(yīng)的外

4、力必不大于真實(shí)外力。應(yīng)的外力必不大于真實(shí)外力。 2022-5-22715.2.3 上界定理上界定理 用用 表示真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)、塑性應(yīng)變速度場(chǎng)和表示真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)、塑性應(yīng)變速度場(chǎng)和邊界位移速度。此外，再設(shè)定一個(gè)虛的位移速度邊界位移速度。此外，再設(shè)定一個(gè)虛的位移速度場(chǎng)場(chǎng) 。在給定了邊界速度的那一部分表面。在給定了邊界速度的那一部分表面Fv上，上，滿足邊界速度條件，即滿足邊界速度條件，即 ，并且在每一點(diǎn)滿，并且在每一點(diǎn)滿足體積不可壓縮條件。足體積不可壓縮條件。 由設(shè)定的位移速度場(chǎng)，可以導(dǎo)出應(yīng)變速度由設(shè)定的位移速度場(chǎng)，可以導(dǎo)出應(yīng)變速度場(chǎng)場(chǎng) iijijv,es*iviivv *ije2022-5-228 設(shè)

5、定的位移速度場(chǎng)設(shè)定的位移速度場(chǎng) 還可能包含有速度間斷，假定還可能包含有速度間斷，假定速度沿曲面速度沿曲面 發(fā)生間斷。由于不能肯定發(fā)生間斷。由于不能肯定 是真實(shí)的速是真實(shí)的速度間斷面，所以沿度間斷面，所以沿 的切向剪應(yīng)力只能用的切向剪應(yīng)力只能用 表示。表示。 ijjiijxvxv21e*ivdFdFdF2022-5-229 真實(shí)的外力真實(shí)的外力 和內(nèi)力場(chǎng)和內(nèi)力場(chǎng) 在虛設(shè)的位移速度場(chǎng)在虛設(shè)的位移速度場(chǎng) 上作功，則由虛功率方程得出上作功，則由虛功率方程得出式中式中 是沿是沿 的切向速度不連續(xù)量。從物理上判的切向速度不連續(xù)量。從物理上判斷，在不連續(xù)面斷，在不連續(xù)面 上所消耗的功上所消耗的功 一定為正一

6、定為正值，其極限是值，其極限是 。 ipivijsFFFVFijijiiiiiipvddFvdVdFvpdFvpdFvpes*ivdFdF*iv*ivk 2022-5-2210 按最大塑性功原理有按最大塑性功原理有 VijijijdVd0essVijijijdV0*ess或或vdpFVFFiiijijiidFvpdFvkdVdFvp*es則則 該式即為上界定理。即表示力在給定的邊界位移該式即為上界定理。即表示力在給定的邊界位移速度上付出的功率，以在真實(shí)的位移速度場(chǎng)情況下為速度上付出的功率，以在真實(shí)的位移速度場(chǎng)情況下為最小?；蛘哒f(shuō)，由虛設(shè)位移速度場(chǎng)（位移場(chǎng)、應(yīng)變速最小?；蛘哒f(shuō)，由虛設(shè)位移速度場(chǎng)（

7、位移場(chǎng)、應(yīng)變速度場(chǎng)）算得的載荷大于或等于真實(shí)載荷。度場(chǎng)）算得的載荷大于或等于真實(shí)載荷。 2022-5-2211 上界定理簡(jiǎn)化表達(dá)式上界定理簡(jiǎn)化表達(dá)式bsiWWWJJ*不等式左邊不等式左邊J表示真實(shí)外力功率表示真實(shí)外力功率vFiidFvpJ不等式右邊不等式右邊J*表示虛構(gòu)速度場(chǎng)下的外力功率表示虛構(gòu)速度場(chǎng)下的外力功率vFiidFvpJ*等式右邊表示虛構(gòu)速度場(chǎng)下的各項(xiàng)功率等式右邊表示虛構(gòu)速度場(chǎng)下的各項(xiàng)功率2022-5-2212其中其中VijijidVW*esdFsdFvkWpFiibdFvpW為內(nèi)部塑性變形功率為內(nèi)部塑性變形功率為不連續(xù)面上的剪切功率為不連續(xù)面上的剪切功率為附加外力功率為附加外力功率2022-5-2213 如果把接觸面上的摩擦功率也單獨(dú)表達(dá)出來(lái)，則有如果把接觸面上的摩擦功率也單獨(dú)表達(dá)出來(lái)，則有 在上界定理表達(dá)式中把摩擦功率也移到不等式右邊在上界定理表達(dá)式中把摩擦功率也移到不等式右邊vvFfFiidFvdFvpJpvvdFiiFfFVFijijiidFvpdFvdFvkdVdFvpes*或或bfsiWWWWJJ*2022-5-2214vFffdFvW*為摩擦剪切功率為摩擦剪切功率 慣性功率、孔隙擴(kuò)張功率、表面變化功率