【公開課課件】選修4-4圓的參數方程

1、第二講第二講 參數方程參數方程1、參數方程的概念、參數方程的概念（1）在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐）在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標標x 、y都是某個變數都是某個變數t的函數，即的函數，即并且對于并且對于t的每一個允許值，由上述方程組所確定的點的每一個允許值，由上述方程組所確定的點M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的條曲線的參數方程參數方程 ，聯(lián)系，聯(lián)系x、y之間關系的變數叫做之間關系的變數叫做參參變數變數，簡稱，簡稱參數參數。參數方程的參數可以是有物理、幾。參數方程的參數可以是有物理、幾何意義的變數，也可以是

2、沒有明顯意義的變數。何意義的變數，也可以是沒有明顯意義的變數。)()(tgytfx（2） 相對于參數方程來說，前面學過的直接給出曲相對于參數方程來說，前面學過的直接給出曲線上點的坐標關系的方程，叫做曲線的線上點的坐標關系的方程，叫做曲線的普通方程普通方程。即的函數都是縱坐標、的橫坐標點根據三角函數定義圓半徑為的坐標為如果點,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且對于并且對于 的每一個允許值的每一個允許值,由方程組由方程組所確定的點所確定的點P(x,y),都在圓都在圓O上上. o思考思考1：圓心為原點，半徑為圓心為原點，半徑為r 的圓的參數方程？的圓的參數方程？0 我們把方程組叫做

3、圓心在原點、半徑為我們把方程組叫做圓心在原點、半徑為r的圓的的圓的參數方程，參數方程， 是參數是參數.觀察觀察1sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么參數方程是什么呢為的圓的標準方程、半徑為圓心為思考rbyaxrbaO觀察觀察21),(111yxP(a,b)r11111( , ),( , )(,),O a brOrOP x yOP x y圓心為、半徑為 的圓可以看作由圓心為原點 、半徑為 的圓平移得到 設圓上任意一點是圓 上的點平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11（3）參數方程與普通方程的互化）參數方程與普通方程的互化sincosry

4、rxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、參數方程的特點是沒有直接體現曲線上點的、參數方程的特點是沒有直接體現曲線上點的橫、縱坐標之間的關系，而是分別體現了點的橫、縱橫、縱坐標之間的關系，而是分別體現了點的橫、縱坐標與參數之間的關系。坐標與參數之間的關系。 2、參數方程的應用往往是在、參數方程的應用往往是在x與與y直接關系很難直接關系很難或不可能體現時，通過參數建立間接的聯(lián)系?；虿豢赡荏w現時，通過參數建立間接的聯(lián)系。已知曲線C的參數方程是(1)判斷點（0，1）,(5,4)是否在上.(2)已知點（，a）在曲線上，求a.1232tytx

5、例例1 1、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它，將它化為參數方程?；癁閰捣匠?。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標準方程，化為標準方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，參數方程為參數方程為sin3cos1yx(為參數為參數)練習：練習： 1.填空：已知圓填空：已知圓O的參數方程是的參數方程是sin5cos5yx(0 2 ) 5 5 32,22QQ如果圓上點 所對應的坐標是則點 對應的參數 等于如果圓上點如果圓上點P所對應的參數所對應的參數 ，則點，則點P的

6、坐標是的坐標是 35235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 選擇題：參數方程為參數 表示的曲線是圓心在原點 半徑為 的圓圓心不在原點 但半徑為 的圓不是圓以上都有可能A半徑為表示圓心為參數方程、填空題sin2cos2) 1 (:3yx的圓，化為標準方程為（2，-2）112222yxsin22cos21yx化為參數方程為把圓方程0142)2(22yxyxxMPAyO解解:設設M的坐標為的坐標為(x,y),可設點可設點P坐標為坐標為(4cos,4sin)點點M的軌跡是以的軌跡是以(6,0)為圓心、為圓心、2為半徑的圓。為半徑的圓。由中點公式得由中點公式得:點點M的軌跡方

7、程為的軌跡方程為x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圓圓x2+y2=16的參數方程為的參數方程為例例2. 如圖如圖,已知點已知點P是圓是圓x2+y2=16上的一個動點上的一個動點, 點點A是是x軸上的定點軸上的定點,坐標為坐標為(12,0).當點當點P在圓在圓 上運動時上運動時,線段線段PA中點中點M的軌跡是什么的軌跡是什么?觀察觀察3解解:設設M的坐標為的坐標為(x,y),點點M的軌跡是以的軌跡是以(6,0)為圓心、為圓心、2為半徑的圓。為半徑的圓。由中點坐標公式得由中點坐標公式得: 點點P的坐標為的坐標為(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=1

8、6即即 M的軌跡方程為的軌跡方程為(x- -6)2+y2=4點點P在圓在圓x2+y2=16上上xMPAyO例例2. 如圖如圖,已知點已知點P是圓是圓x2+y2=16上的一個動點上的一個動點, 點點A是是x軸上的定點軸上的定點,坐標為坐標為(12,0).當點當點P在圓在圓 上運動時上運動時,線段線段PA中點中點M的軌跡是什么的軌跡是什么?例例3、已知點已知點P（x，y）是圓）是圓x2+y2- 6x- 4y+12=0上動上動點，求（點，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直線到直線x+y- 1=0的距離的距離d的最值。的最值。 解：圓解：圓x2+y2-

9、6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用參數方程表示為用參數方程表示為sin2cos3yx由于點由于點P在圓上，所以可設在圓上，所以可設P（3+cos，2+sin）（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值為的最大值為14+2 ，最小值為，最小值為14- 2 。1313(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）24 x+y的最大值為的最大值為5+ ，最小值為，最小值為5 - 。 22(3)2)4sin(2421sin

10、2cos3d顯然當顯然當sin（+ ）= 1時，時，d取最大值，最取最大值，最小值，分別為小值，分別為 ， 。4122221例例4、將下列參數方程化為普通方程：將下列參數方程化為普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步驟：步驟：（1）消參；）消參； （2）求定義域。）求定義域。小小 結結: :1、圓的參數方程、圓的參數方程2、參數方程與普通方程的概念、參數方程與普通方程的概念3、圓的參數方程

11、與普通方程的互化、圓的參數方程與普通方程的互化4、求軌跡方程的三種方法：相關點點問、求軌跡方程的三種方法：相關點點問題（代入法）；題（代入法）； 參數法；定義法參數法；定義法5、求最值、求最值)(2110012為參數，表示時間、tgthytx)(4132,41,32),(2為參數以時間的軌跡的參數方程為于是點則，動點的位置是、設經過時間ttytxMtytxyxMtxyACBO6)23(sin)21(cos)23(sin)21(cossin) 1(cos)sin,(cos)23,21(),23,21(),0 , 1 (,)(sincosCMBMAMCBAyxxCBABC則設