第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則

1、1復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則全微分形式不變性全微分形式不變性第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的多元復合函數(shù)的 求導法則求導法則2一、一、復合函數(shù)的求導復合函數(shù)的求導法則法則(鏈導法則鏈導法則)1.)(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可導可導都在點都在點及及如果函數(shù)如果函數(shù)ttvtu ),(),(vuvufz在對應點在對應點函數(shù)函數(shù) ,)(),(可導可導在對應點在對應點則復合函數(shù)則復合函數(shù)tttfz 且且其導數(shù)可用下列公式計算其導數(shù)可用下列公式計算: tzdd多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù), tuuzdd.ddtvvz

2、3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微可微)( ovBuAz 由于函數(shù)由于函數(shù)),(),(vuvufz在點在點 有有連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù) vvzuuz,21vu ,0, 0時時當當 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0時時當當 t0, 0 vu tzt0lim tuuzddtvvzdd tzdd證證),()(tttu 則則);()(tttv ，獲得增量獲得增量設設tt 4復合函數(shù)的復合函數(shù)的中間變量多于兩個中間變量多于兩個的情況的情況.定理推廣定理推廣 tzdduvwtz導數(shù)導數(shù)tzdd變量樹圖變量樹圖),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz

3、vz tudd wz tvdd twdd 稱為稱為多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則5項數(shù)項數(shù)問問:每一項每一項中間變量中間變量函數(shù)對函數(shù)對中間變量中間變量的偏導數(shù)的偏導數(shù)該中間變量對其該中間變量對其指定自變量指定自變量的偏導數(shù)的偏導數(shù)(或導數(shù)或導數(shù)).的個數(shù)的個數(shù). 函數(shù)對某自變量的偏導數(shù)之結構函數(shù)對某自變量的偏導數(shù)之結構),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 6例例 設設 求求xydd這是冪指函數(shù)的導數(shù)這是冪指函數(shù)的導數(shù),但用但用全導數(shù)公式全導數(shù)公式較簡便較簡便

4、.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 則則可用可用取對數(shù)求導法取對數(shù)求導法計算計算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則7多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則),(),(),(yxvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 復合函數(shù)為復合函數(shù)為,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在點都在點及及如果如果 ,的偏導數(shù)的偏導數(shù)和和具有對具有對yx在對在對且函數(shù)且函數(shù)),

5、(vufz ),(vu應點應點則復合函數(shù)則復合函數(shù)),(),(yxyxfz 的兩個的兩個在對應點在對應點),(yx偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在, 且可用下列公式計算且可用下列公式計算 兩個中間變量兩個中間變量 兩個自變量兩個自變量具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù),2.的情形的情形.yvvzyuuzyz 8uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 變量樹圖變量樹圖uv多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則),(),(yxyxfz 9解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vex

6、veuu).cos()sin(yxyxxexy 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則例例 ,sinyxvxyuvezu 設設.yzxz 和和求求10中間變量多于兩個的情形中間變量多于兩個的情形 xz yz類似地再推廣類似地再推廣,),(),(),(yxwyxvyxu 設設,),(的偏導數(shù)的偏導數(shù)和和處具有對處具有對都在點都在點yxyx復合函數(shù)復合函數(shù)),(),(),(yxyxyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏導數(shù)存在的兩個偏導數(shù)存在, 且可用下列公式計算且可用下列公式計算:三個中間變量兩個自變量三個中間變量兩個自變量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz y

7、vvzywwz 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則11例例 設設,1222wvuz xz 解解)()(23222wyvxuxwvu 自己畫變量樹自己畫變量樹uwvuuz2)(2123222 xxu2 求求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則12),(),(yxuyxufz 其中其中即即,),(yxyxfz xz yz兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似3.的情形的情形.xwwzxvvzxuuzxz 把復合函數(shù)把復合函數(shù),),(yxyxfz 中的中的y看作不變而對看作不變而對x的偏導數(shù)的偏導數(shù)),(yxufz 把

8、把中的中的u及及y看作不變看作不變而對而對x的偏導數(shù)的偏導數(shù)ywwzyvvzyuuzyz xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 13,xz yz 解解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy變量樹圖變量樹圖)sin(yxeu )sin(yxeu 例例多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則y )cos(yxeu x 求求而而,),sin(xyuyxezu )cos(yxeu 14 例例 設設 f具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), ,22xu 求求.2txu 變量樹圖變量樹圖ursxtxssfxrrf 或記或記 sfxtrfx 2

9、2 u對中間變量對中間變量 r,s 的的偏導數(shù)偏導數(shù) ),(22xttxfu 注注從而也是從而也是自變量自變量x, t 的復合函數(shù)的復合函數(shù). 解解),(srf仍是仍是r, s 的函數(shù)的函數(shù), 對抽象函數(shù)在求偏導數(shù)時對抽象函數(shù)在求偏導數(shù)時, 一定要設中間變量一定要設中間變量.多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則sr xu,1frf 2fsf ,rf sf 15sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt變量樹圖變量樹圖,22xu 求求.2txu rs 設設 f具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(22xt

10、txfu x2 )2xt sfxt 322xt 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 16rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt變量樹圖變量樹圖 txu2,22xu 求求.2txu 設設 f具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt )122xsf trfx2(222 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則)1x (rsf 2t 2 srf 217多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則解解具有二階連

11、續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), 且滿足且滿足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研數(shù)學三年考研數(shù)學三, 8分分).( yvfxufyg 故故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyufy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ),(vuf18 已知已知f(t)可微可微,證明證明 滿足方程滿足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 為中間變量為中間變量, x, y

12、為自變量為自變量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中間變量引入中間變量,則則,22yxt 令令多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則19二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性),(vufz 設函數(shù)設函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù), 則有則有全微分全微分;dddvvzuuzz ,),(),(時時當當yxvyxu 則有全微分則有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 全微分形式不變性的實質全微分形式不變性的實質多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則

13、20解解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例, 02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通過全微分求所有一階偏導數(shù)通過全微分求所有一階偏導數(shù),比鏈比鏈導法則求偏導數(shù)有時會顯得靈活方便導法則求偏導數(shù)有時會顯得靈活方便.多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則211994年研究生考題年研究生考題,計算計算,3分分,),(),(均均連連續(xù)續(xù)可可微微設設gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx

14、 答案：答案：多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則221989年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分,)(),()2(二二階階可可導導其其中中設設tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有連續(xù)二階導數(shù)有連續(xù)二階導數(shù) 解解,2yxt 設設 xz yxz20( vugyvvvuvtggxygxf 21 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv tf 2 ug y )1(2 tf多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則231990年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分yxz 2求求 解解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx

15、 cossin xfvv sin xfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 設設2 uf)1( 2 uuf)1( vuf多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則有連續(xù)的二階導數(shù)有連續(xù)的二階導數(shù),),(),sin,2(vufxyyxfz其中其中設設 241992年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分yxz 2求求 解解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv

16、 設設yefxusin yefxuucos( 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則連續(xù)的二階導數(shù)連續(xù)的二階導數(shù),有有其中其中設設),(),sin(22vufyxyefzx yefxvucos( 25) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 ,1)1 ,1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求求.1)(dd3 xxx ),(yxfz 在點在點(1,1)處可微處可微, ,且且設函數(shù)設函數(shù),3)1 , 1( yf解解2 3)32(

17、2001年考研數(shù)學一年考研數(shù)學一, 6分分多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則由題設由題設1 x1 x 1 x26多元復合函數(shù)求導法則多元復合函數(shù)求導法則 (鏈導法則鏈導法則)全微分形式不變性全微分形式不變性(理解其實質理解其實質)多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則三、小結三、小結(大體分三種情況大體分三種情況)求抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)特別注意混合偏導求抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)特別注意混合偏導27思考題思考題即即次齊次函數(shù)次齊次函數(shù)是是設設,),(kzyxf),(),(zyxfttztytxfk 則結論則結論為某一常數(shù)為某一常數(shù), );,()(zyxfkzfzyfyxfxA );,()(zyxfzfzyfyxfxBk );,()(zyxkfzfzyfyxfxC ).,()(zyxfzfzyfyxfxD C多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則正確的是正確的是( ).28思考題解答思考題解答),(),(zyxfttztytxfk 令令,txu ,tyv ,tzw 則則),(),(zyxfttztytxfk ),(),(zyxftwvufk 兩邊對兩邊對t求導求導,得得 tuuf tvvft